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1、第四章 相似三角形一、单选题1如图，白炽灯正下方有一个乒乓球，当乒乓球沿竖直方向越来越远离白炽灯时，它在地面上的影子（） A越来越大B越来越小C先变大后变小D先变小后变大2如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于（） A5B6C7D83已知 ，点A、B、C对应点分别是D、E、F， ，那么 等于（） ABCD4如图，在 中， ， 于点D， ， ，则AD的长是（） A1.BC2D45已知线段a、b、c，求作线段x，使 ，以下做法正确的是（） ABCD6如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O， ，则S四边形EFGHS四边形AB
2、CD（） ABCD7如图，ABC和ABC位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、 点A（2，-4），若ABC的面积为4，则ABC的面积是（） A2B4C8D168如图，在等腰 中， 为射线 上一点，过点B作 交 于点G，过点E作 ，垂足为F，下列说法正确的是() ABCD9如图，在 中，点D在BC上一点，下列条件中，能使 与 相似的是（） ABADCBBACBDACAB2BDBCDAC2CDCB10如图，直线abc，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，C，E和点B，D，F，若AC=4，AE=10，BF= ，则DF的长为（） AB10C3D二、填空题11已知线段a=4，b=9，线段c是a，b的
3、比例中项，则线段c= 。12已知ABCDEF，且相似比为3：4，SABC=2cm2，则SDEF= 13如图，在中，点D在上，连接请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明14如图，相交于点，若，则的长为 15在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是 km. 三、解答题16如图，将ABC绕点A旋转得到ADE，连接BD，CE求证：ADBAEC17如图，在ABC中，ADDB，12.求证：ABCEAD.18如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不
4、添加字母和线段）19已知在ABC中，ABC=90，AB=3cm，BC=4cm动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；（1）当t为何值时，APQ与ABC相似？（2）当t为何值时，APQ为等腰三角形？20在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 ，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为
5、该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 ， ， ， 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？四、综合题21如图，在平行四边形AB
6、CD中，点E是边BC上的点，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC； （2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求DE的长 答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】解：根据中心投影的特点，当乒乓球沿竖直方向越来越远离白炽灯时，它在地面上的影子越来越小，故答案为：B.【分析】根据中心投影的特点：等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短，判断即可.2【答案】B【解析】【解答】解：DEBC，ADEABC， ，即 ，解得：BC6。故答案为：B。【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形
7、原三角形相似得出ADEABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出BC的长。3【答案】B【解析】【解答】ABCDEF， ， SABC：SDEF 故答案为：B【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答4【答案】D【解析】【解答】解：在RtABC中,ACB=90，CDAB，CDB=ACB=90，ACD+BCD=90,BCD+B=90，ACD=B，ACDCBD， ，CD=2，BD=1， ，AD=4.故答案为：D.【分析】由在RtABC中，ACB=90，CDAB，根据同角的余角相等，可得ACD=B，又由CDB=ACB=90，可证得ACDCBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，
8、即可求得答案.5【答案】B【解析】【解答】解：A、根据平行线的性质得 ，故 ，故此选项不符合题意； B、根据平行线的性质得 ，故 ，故此选项符合题意；C、根据平行线的性质得 ，故 ，故此选项不符合题意；D、根据平行线的性质得 ，故 ，故此选项不符合题意故答案为：B【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等。可判断两个三角形相似，对应边成比例，列出关系式，即可对选项进行判断。6【答案】B【解析】【解答】四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O， 则 故答案为：B【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答.7【答案】D【解析】【解答】解：ABC和ABC位
9、似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A（2，-4），ABCABC，OA= = ，OA= =2 ， ， ，ABC的面积为4，ABC的面积=16，故答案为：D【分析】根据位似变换的性质、点A和点A的坐标，得到ABCABC，且相似比为1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可8【答案】D【解析】【解答】解： ， ，A不符合题意； ，C不符合题意； ， ，B不符合题意； ， ，D符合题意故答案为：D【分析】根据相似三角形的判定和性质进行推导即可得解9【答案】D【解析】【解答】 与 有一个公共角，即 ， 要使 与 相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，观察四个选项
10、可知，选项D中的 ，即 ，正好是 与 的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，故答案为：D【分析】根据相似三角形的判定即可10【答案】A【解析】【解答】解：AC=4，AE=10，CE=6，直线abc，AE：CE=BF：DF，即10：6=7.5：DF，DF=4.5，故答案为：A【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AE：CE=BF：DF，再将数据代入计算即可。11【答案】6【解析】【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得c249，解得c6（线段是正数，负值舍去），c6cm，故答案为：6【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出c.12【答案】【解析】【解答】解：ABCDEF，且
11、相似比为3：4SABC：SDEF=9：16SDEF= 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方建立方程，求解即可。13【答案】ACD=B（答案不唯一），证明见解析【解析】【解答】解：添加，又，故答案为：ACD=B（答案不唯一）【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。14【答案】5【解析】【解答】解：，BC，AD，EABEDC，AB：CDAE：DE1：2，又AB2.5，CD5故答案为：5【分析】先证明EABEDC，可得AB：CDAE：DE1：2，再将数据代入求出CD的长即可。15【答案】1.25【解析】【解答】解：设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则： ，解得：x=125000.1250
12、00cm=1.25km.故答案为：1.25.【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离.16【答案】解：将ABC绕点A旋转得到ADE， ACAE，ABAD，CAEBAD， ，ADBAEC【解析】【分析】先求出 ACAE，ABAD，CAEBAD， 再求出 ， 最后证明三角形相似即可。17【答案】解:AD=DB, B=BAD,BDA=1+C=2+ADE,C=ADE,ABCEAD.【解析】【分析】先根据等边对等角可得: B=BAD,继而可得:C=ADE,利用两角相等可判定两三角形相似.18【答案】解：BPQCDP， 证明：四边形ABCD是正方形，BC90，QPD9
13、0，QPB+BQP90，QPB+DPC90，DPCPQB，BPQCDP【解析】【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明BPQCDP.19【答案】（1）解：ABC=90，AB=3cm，BC=4cm，AC= =5，A=A，当 = 时，AQPACB，即 = ，解得t= （s）；当 = ，AQPABC，即 = ，解得t= （s）；当t为 s或 s时，APQ与ABC相似（2）解：当AQ=AP时，2t=3t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PMAQ于M，如图1，则AM=MQ=t，MAP=BAC，AMPABC， = ，即 = ，解得t= （s）；当QA=QP时，作QNAP于
14、N，如图2，则AN=PN= （3t），QNBC，ANQABC， = ，即 = ，解得t= （s），当t为1s或 s或 s，APQ为等腰三角形【解析】【分析】（1）在RtABC中，利用勾股定理求得AC的长，APQ与ABC有一个公共角A，由于对应边不确定进行分类讨论：AQPACB和AQPABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。20【答案】（1）解：如图2所示：（2）证明：在图1中，过点B作BDx轴，交x轴于点D.根据题意可证AOCCDB.m（5-m）=2.m2-5m+2=0.m是方
15、程x2-5x+2=0的实数根.（3）解：方程ax2+bx+c=0（a0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.（4）解：以图3为例：P（m1，n1）Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0，即x2+x+=0.比较系数可得：m1+m2=-.m1m2+n1n2=.【解析】【分析】（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.（2）在图1中，过点B作BDx轴，交x轴于点D.依题意可证AOCCDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，
16、化简后为m2-5m+2=0，从而得证。（3）将方程ax2+bx+c=0（a0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。（4）以图3为例：P（m1，n1）Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又x2+x+=0.再依据相对应的系数相等即可求出。21【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， （2）解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ，从而可证平行四边形的性质得出CD=AB=8，由可得 17 / 17学科网（北京）股份有限公司