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1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积基础过关练题组一圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.(2019湖南长沙雅礼中学高一上期末)圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为()A.B.3C.2D.42.圆台的上、下底面半径和高的比为144,若母线长为10,则圆台的表面积为()A.81B.100C.168D.1693.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为()A.120B.150C.180D.2404.(2020湖南长沙一中高一上第二次阶段性考试)已知圆锥的母线长为5,高为4,则这个圆锥的表面积为()A.21B.24C.33D.395.(2020重庆南开中学高二
2、上期末)已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为()A.2+14B.2+13C.22D.136.(2019上海大学附属中学高二下期中)若一圆柱的侧面积为6,则经过圆柱的轴的截面的面积为.题组二圆柱、圆锥、圆台的体积7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是162,则圆锥的体积是()A.643B.1283C.64D.12828.(2020四川乐山十校高二上期中联考)圆台的上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,则这个圆台的体积是()A.233B.23C.736D.7339.(2019福建莆田一中高一下期中)若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相
3、等,那么圆柱与圆锥的体积之比为.10.(2020湖南长沙一中高一上期中)如图所示的圆锥SO中,母线长为4,且其侧面积为8,则该圆锥的体积为.题组三球的表面积和体积11.(2020浙江舟山高二上期末)半径为2的球的表面积是()A.163B.323C.16D.3212.(2019湖南常德高一下期末)已知两个球的表面积之比为19,则这两个球的体积之比为()A.13B.13C.19D.12713.(2019河南濮阳高一下期末)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为()A.1003B.2083C.5003D.4163314.(2019重庆永川高二下期末)64个直径都
4、为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲V乙且S甲S乙B.V甲V乙且S甲S乙D.V甲=V乙且S甲=S乙题组四简单组合体的表面积和体积15.某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为3,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为()A.20B.43+12C.16D.43+816.(2020安徽铜陵高二上期末)直角梯形ABCD如图放置,已知C=D=90,CD=2,BC=3,AD=4.现将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成几何体.求这个几何体的体积. 能
5、力提升练 题组一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)圆锥的高h和底面半径r之比为21,且圆锥的体积V=18,则圆锥的表面积为()A.185B.9(1+25)C.95D.9(1+5)2.(2020福建高三下月考,)已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为()A.853B.453C.235D.41133.(2019山东潍坊高二下期末,)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为5,则该圆锥的体积为()A.13B.23C.2D.1634.(2019重庆八中高二下期中,)南北朝时期杰出的数学家祖
6、冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造,其最著名的成就是祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱体和一个长方体,它们的底面面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱体的体积为4,则根据祖暅原理可推断圆柱体的高()A.有最小值B.有最大值C.有最小值4D.有最大值45.(2020浙江宁波余姚中学高二上期中,)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积是;若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是.6.(2020福建南平高一上期
7、中,)用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为.7.(2020上海高三模拟,)某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24 cm,高为30 cm,圆锥的母线长为20 cm.(1)求这种“笼具”的体积(3.14,结果精确到0.1 cm3); 8.(2020辽宁葫芦岛高一期末,)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4 cm2和25
8、cm2,求:(1)圆台的高;(2)圆台的体积;(3)截得此圆台的圆锥的表面积.深度解析9.(2019上海行知中学高二下期中,)如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.(1)求圆柱的侧面积和体积;(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值. 题组二球的表面积和体积10.(2019福建龙岩一级达标校高一下期末,)一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A.13B.31C.23D.3211.(2019广东东莞高三上期末调研,)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆的圆
9、心)的侧面积与底面积的比是21,则圆锥SD与它的外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为()A.932B.827C.922D.92812.(2020河南三门峡高一上期末,)麻团又叫煎堆,呈球形,北方地区称麻团,是一种古老的传统特色油炸面食.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒的上、下底、侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576 cm2,则一个麻团的体积为()A.36 cm3B.48 cm3C.24 cm3D.72 cm313.(2020重庆八中高二上月
10、考,)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何体,就是圆柱容器里放了一个球,这个球“顶天立地”,四周碰边,如图,若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1,圆柱的表面积和体积分别为S2和V2,则()A.S1S2V1V2D.S1S2与V1V2的大小关系不确定14.()已知球、母线长和直径相等的圆柱、正方体的体积依次为V1,V2,V3,若它们的表面积相等,则V12V22V32=()A.62B.32C.64D.32题组三简单组合体的表面积和体积15.(2020四川成都树德中学高三上月考,)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方
11、盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为()A.16B.163C.163D.3216.(2020山西高二上期中联考,)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为()A.0,3S10B.3S10,+C.S5,3S10D.3S10,S217.(2019黑龙江牡丹江一中高一下期末,),如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗
12、实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A.7B.9C.11D.1318. (2020辽宁省实验中学高三上月考,)已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为8的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为3的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为.答案全解全析基础过关练1.D因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积S=212+21=4.故选D.2.C圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l=h2+(R-r)2=(4
13、r)2+(3r)2=5r=10,所以r=2,R=8.故S侧=(R+r)l=(8+2)10=100,S表=S侧+r2+R2=100+4+64=168.故选C.3.A设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则rl+r2=4r2,l=3r,圆锥的侧面展开图的圆心角为2rl=23=120.故选A.4.B由题意得,圆锥的底面半径为52-42=3,则底面圆的周长为6,所以圆锥的侧面积是1265=15,又底面积为9,所以表面积为15+9=24.故选B.所以圆锥和圆柱的表面积之比为(2+1)r24r2=2+14.故选A.6.答案6解析设圆柱的底面半径为r,高为h,则6=2rh,即rh=3,因此圆柱的轴截面的面积为2
14、rh=6.7.A设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,2r=l2+l2,即l=2r.由题意得,S侧=rl=2r2=162,解得r=4,l=42,h=l2-r2=4,圆锥的体积为13424=643.故选A.8.D由于圆台的上、下底面面积分别是,4,故上、下底面半径分别为1,2.设圆台的母线长为l,高为h.由圆台的侧面积公式可得(2+1)l=6,则圆台的母线长l=2,圆台的高h=22-12=3,这个圆台的体积V=133(4+1+2)=733.故选D.9.答案34解析设圆柱与圆锥的底面半径分别为r,R,高均为h,则2rh=122Rh,R=2r,圆柱和圆锥的体积之比为
15、r2h13R2h=r2h134r2h=34.10.答案833|SO|=42-22=23,11.C由球的表面积公式可得S=4R2=16.故选C.12.D设两个球的半径分别为R1,R2.由题意知,19=4R124R22,R1R2=13,两个球的体积之比为43R1343R23=133=127,故选D.13.C如图,过球心O作OO垂直圆面于O,连接O与圆面上一点A,则OA=42+32=5,故球的体积V=4353=5003.故选C.14.CV甲=6443a83=a36,S甲=644a82=4a2,V乙=43a23=a36,S乙=4a22=a2.故V甲=V乙且S甲S乙,故选C.15.A由题意得,正四棱锥P
16、-EFGH的斜高为3+1=2,故该组合体的表面积为22+421+41222=20.故选A.16.解析旋转后的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体.该几何体的体积为43+1341=403.能力提升练1.D由题意得,h=2r.设圆锥的母线长为l.圆锥的体积V=18,即13r2h=2r33=18,解得r=3,h=6,l=h2+r2=62+32=35,圆锥的表面积S=rl+r2=335+32=9(1+5).故选D.由题意知,圆柱的底面半径为r2,设圆柱的高为h2.因为圆锥与圆柱的表面积相等,所以3r2=2r22+2r2h2,解得h2=52r,所以圆柱的体积为r22h2=58r3.所以圆锥与圆柱的体
17、积之比为33r358r3=853,故选A.3.B设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则高为2R,母线长l=(2R)2+R2=5R,又S侧=Rl=5R2=5,所以R=1,所以圆锥的体积为13R22R=23.故选B.4.C由题意得,长方体的体积为4.设圆柱的高为h,长方体的底面相邻两边长分别为x,y,则x+y=2,xyx+y22=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,h=4xy4.故选C.5.答案2;43解析设圆柱的底面半径为r,则2r=2,故r=1,又圆柱的高为2,所以圆柱的体积为122=2.设圆锥的底面半径为r,则底面周长为2r,故展开后的扇形弧长为2r,又扇形圆心角为120=23,半径为1,故2
18、r1=23,所以r=13,故圆锥的侧面积为121213=3,表面积为3+132=49.故表面积与侧面积的比是493=43.6.答案1632解析由题意得,圆柱的底面圆的周长为2R.设圆柱的底面圆的半径为r1,则2r1=2R,即r1=R.又圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为r122R=2R3.由题意得,圆锥的底面圆的周长为R.设圆锥的底面圆的半径为r2,则2r2=R,即r2=R2,所以圆锥的高为R2-r22=32R,所以圆锥的体积为13r2232R=3R324.所以圆柱与圆锥的体积之比为2R33R324=1632.7.解析设圆柱的底面半径为r cm,圆锥的高为h1 cm.(1)由题意得,2r=24,
19、所以r=12,h1=202-122=16,所以“笼具”的体积为30r2-13r2h1=3 55211 158.9 cm3.(2)圆柱的侧面积为2r30=720 cm2,圆柱的底面积为r2=144 cm2,圆锥的侧面积为r20=240 cm2,所以“笼具”的表面积为720+144+240=1 104 cm2,故制作50个“笼具”共需1 104508104=1 10425139元.8.解析(1)圆台的轴截面示意图如图所示:过点D作DHAB于H.因为圆台的上底面面积为4 cm2,所以上底面圆的半径DG=2 cm.因为圆台的下底面面积为25 cm2,所以下底面圆的半径BE=5 cm,所以BH=5-2=
20、3 cm,所以圆台的高DH=DB2-BH2=144-9=315 cm.(2)圆台的体积为13DH(4+25+425)=1331539=3915 cm3.(3)设圆锥的母线长为l,圆台的母线长为l,则l-ll=DGBE=25,所以l=20 cm,所以圆锥的表面积为25+520=125 cm2.解题反思求解圆台的有关问题时,画出圆台的轴截面示意图是关键,求解圆台所在的圆锥的有关问题时,可将圆台轴截面示意图中的两条母线延长相交于一点,根据比例关系求解相关值.9.解析(1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为212=4,圆柱的体积为122=2.(2)将PAC绕PA所在直线旋转到PA
21、C的位置,使其与平面PAB共面,且C在AB的反向延长线上.此时CD与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.PA=AB=2,PBA=4,BD=12BP=2,又BC=BA+AC=2+1=3,在CBD中,由余弦定理得CD=32+(2)2-23222=5,CE+ED的最小值为5.10.D设圆柱的底面半径为r,轴截面正方形的边长为a,则a=2r,所以圆柱的侧面积为2ra=4r2.设与圆柱侧面积相等的球的半径为R,则球的表面积为4R2=4r2,解得R=r.因此圆柱的体积为r2a=2r3,球的体积为43R3=43r3.所以圆柱的体积与球的体积之比为32.11.A设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母
22、线长为l,则侧面积为rl,所以侧面积与底面积的比为rlr2=lr=2,所以l=2r,h=l2-r2=3r,所以圆锥的体积为13r2h=33r3.设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图,则OB=OS=R,OD=h-R=3r-R,BD=r.在直角三角形BOD中,由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即R2=r2+(3r-R)2,整理,得R=23r,所以外接球的体积为43R3=43833r3=32r393.故所求体积比为33r332r393=932.故选A.12.A设麻团的半径为r cm.因为麻团与长方体纸盒的上、下底、侧面都相切,所以长方体的长为4r cm,宽为4r cm,高为2r cm.又长方体
23、的表面积为576 cm2,所以32r2+16r2+16r2=576,解得r=3,故麻团的体积为43r3=36(cm3).13.B设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,V2=R22R=2R3,V1=43R3,S2=2R2R+2R2=6R2,S1=4R2,V1V2=43R32R3=23,S1S2=4R26R2=23,S1S2=V1V2.故选B.14.C设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,正方体的棱长为a.由它们的表面积相等,得4R2=6r2=6a2,则R2r2a2=141616,所以V12V22V32=43R32(2r3)2(a3)2=64.故选C.15.C因为正方体的棱长为2,所以其
24、内切球的半径r=1,所以V球=4313=43,又V球V牟合方盖=4,所以V牟合方盖=443=163,故选C.16.D设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2R2+2Rh,所以Rh=S2-R2,所以V=23R3+R2h=23R3+S2-R2R=-3R3+S2R43R3,解得R3S10.又h0,所以S2-R20,解得RS2.所以3S10RS2.故选D.17.A原空间几何体如图所示.该几何体的体积为43231234+1322334=7.故选A.18.答案16963解析由题得三个球是平放在一起的,三个球的球心O1,O2,O3组成一个边长为23的等边三角形,其中心为O,所以O1O=(23)2-(3)223=2.由题得圆台的高为23,其轴截面如图所示,由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x,则BM=x,在直角三角形ABG中,(x+2)2=(23)2+(2-x)2,所以x=32,所以下底面的半径为2+32=72,所以圆台的体积为1342+722+4272223=16963.故答案为16963.