立体几何基础题题库一（360道附详细答案）.pdf-淘文阁

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1、立体几何基础题题库一(有详细答案)1、二面角a-/-是直二面角，A s a,B e。，设直线48与a、/所成的角分别为N 1和/2,贝U(A)Zl+Z2=90(B)/l+N2290(C)Nl+N2W90(D)Zl+Z2Z2Q ZAB0+Z1=9 0 Z2+Z1 力 C 则,B D=1 a 2+b2,C D=Jc2+b2,B C=d/+c2是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题()若 a _L J.a,则baa10,a工则a/a其中正确的命题的个数是若 a a,a J_/,则a _L(3 若 a _L b,a _L a,b J-民则 a _L()A.

2、0个 B.1个 C.2个 D.3个B解析：注意中b可能在a上；中q可能在a上；中b a,或均有a _L ,故只有个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥S A B C D侧棱长为正，底面边长为石，E 是 SA 的中点，则异面直线BE与 SC所成角的大小为A.90B.60C.45D.30B解析：平移SC到S 5,运用余弦定理可算得B E =SE =SB=V2.9.对于平面M 与平面N,有下列条件:M、N 都垂直于平面Q;M、N 都平行于平面Q;M内不共线的三点到N 的距离相等;/,M 内的两条直线,且/M,m/N;/,m 是异面直线,且/M,m/M;/N,m /N,则可判定平面M 与平面N

4、面a内，并且都不在平面B内；乙：直线/、m中至少有一条与平面B相交；丙：平面a与平面B相交.当甲成立时，A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内”时，若“/、m中至少有一条与平面8相交”，则“平面a与平面B相交.”成立；若“平面a与平面B相交”，则“/、m中至少有一条与平面B相交”也成立.选（C）.1 3 .已知直线机、及平面a,其中用，那么在平面a内到两条直线加、距离相等的点的集合可能是：（I）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（

5、4）空集.其中正确的是解析：（1）成立，如都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，加、在平面。的同一侧，且它们到a的距离相等，则平面a为所求，（4）成立，当,、所在的平面与平面a垂直时，平面a内不存在到机、距离相等的点1 4.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定个平面，则可确定平面的个数为（）A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3解析：C如三棱柱的三个侧面。1 5 .若4、为异面直线，直线。4,则C与的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交解析：D如正方体的棱长。1 6 .在正方体 A B|C j D i A B C D 中，A C 与 B j D

6、()A.兀7c.71TD.兀2解析：D B Q 在平面A C 上的射影B D 与 A C 垂直，根据三垂线定理可得。1 7.如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线P Q 与 R S 是异面直线的一个图是（）解析：CA,B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图:1 8.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中,Z A B C 等于A.45 B.60C.90 D.120()解析：B 如图A右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：A B 与 C D 所在直线垂直；C D 与 E F所在直线平行A

7、B 与 M N 所在直线成6 0 角；M N 与 E F所在直线异面其中正确命题的序号是()A.B.C.D.解析：DDB19.线段的,O B,%不共面，Z A O B-Z BO O Z C O A=60 ,O A=1,O B-2,0 0 3,则/a1是（）A.等边三角形 B非等边的等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析：B.设 A C=x,A B=y,BC=z,由余弦定理知：y=r+3-3=7,y=r，+2?-2=3,2=22+32-6=74比是不等边的等腰三角形，选（皮.7T2 0.若 a,b,/是两两异面的直线，a与。所成的角是乙，1 与 a、，与6所成的角都是a,3则a的取

8、值范围是（）A.一7t,5TT ,B_ .一乃 ,C.R 一7 T ,57r ,D_ .7一1,一71、6 6 3 2 3 6 6 2解析：D7T解当/与异面直线a,方所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值生，当/与a、6的公垂线平行67T时，a取得最大值一，故选（）.221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测树高时，因树靠近幢建筑物，影子不全落在地面上，有部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的影高 1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）4.2 米C D 1 2 1解析：树高为A B,影长为BE

9、,C D 为树留在墙上的影高，=,CE=L08米，树影长C E C E 0.9BE=2.7+1.08=3.78 米,树高AB=BE=4.2 o0.92 2.如图，正四面体A-B CD（空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中，E,F分别是棱A D,B C的中点,则跖和 N C 所成的角的大小是.解析：设各棱长为2,则 E F=J 5,取 A B的中点为M,cosNM FE=Y 4.即6=工.2 423.O X,O Y,OZ是空间交于同一点。的互相垂直的三条直线，点 P 到这三条直线的距离分别为3,4,7,则。尸长为.解析：在长方体Z8PC中，O X、O Y.OZ是相交

10、的三条互相垂直的三条直线。又尸Z_LOZ,PY1 O Y,P X 1 OX,有 O*+OZ2=49,（?72=（92=9,OK2+OZ2=16,得亦+W+0=3 7,循历.2 4.设直线a 上有6 个点，直线人上有9 个点，则这15个点，能确定_ _ _ _ _ 个不同的平面.解析：当直线“，右共面时，可确定一个平面；当直线a,6 异面时，直线。与人上9 个点可确定 9 个不同平面，直线b 与。上 6 个点可确定6 个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面.25.在空间四边形ABCD中，E,F 分别是AB,B C的中点.求证：EF和 AD为异面直线.解析：假设 EF和 AD在同一平面

11、a 内，（2 分），则 A,B,E,F e a ；.（4 分）又 A,EeAB,.A B ua,.B ea,.（6 分）同理 C e a.（8 分）故 A,B,C,D e a ,这与 ABCD 是空间四边形矛盾。；.E F和 AD为异面直线.26.在空间四边形ABCD中，E,H 分别是AB,A D 的中点，F,G 分别是CB,CD 的中点，若 AC+BD=a,AC B D=b,求 EG?+FH?.A解析：四边形EFGH是平行四边形，.（4 分）E/2 7.如图,在三角形/A B C 中，ZACB=90,AC=b,BC=a,P 是/ABC 所在平面外一点，PB1AB,点，A B 1 M C,求异

12、面直M C与 PB 间的距离.M 是 PA的中解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N.（2 分）：PBJ_AB,，PB J_MN。ABMC,/.MNMC.（8 分）MN即为异面直线MC与 PB的（4 分）又公垂线段,（10分）其长度就是MC与 PB之间的距离，则得 JM N=AB=yja2+b2.2 228.已知长方体ABCDA iB C D i中,AiA=AB,E、F 分别是BD|和 A D 中点.（1）求异面直线CD1、EF所成的角；（2）证明EF是异面直线AD和 BD,的公垂线.（1）解析：在平行四边形A 4 4 G 中，E 也是N G 的中点，（2 分）两相交直线D C与C D i所

13、成的角即异面直线C D i与EF所成的角.（4分）乂A1A=A B,长方体的侧面都是正方形,；.DiCJ_CD|.异面直线C D、EF所成的角为90。.（7分）（2）证：设 AB=AA|=a,：D F=型=8；.EFJ_BD|.（9 分）由平行四边形8/O|G，知E也是N g的中点，且点E是长方体ABCDA|B iC iD i的对称中心，（12分）；.E A=E D,，E F _LA D,又 E F J_ B D|,，EF 是异面直线 BD1A D的公垂线.（14分）29.Z A B C是边长为2的正三角形，在/A B C所在平一点 P,PB=PC=,P A=-,延长 BP

14、至 D,使2 2B D=J 7,E是B C的中点，求A E和C D所成角的大小条直线间的距离.解析:分别连接PE和C D,可证PE/CD,（2分测/P E AA E和C D所成角.（4分）在R t/P B E中，面外有和这两即是PB=,BE=1,：.PE=.在/AEP 中，A E=G，2 2c 3 93 4-cos ZA E P =-=.2.存也22A ZAEP=60,即AE和CD所成角是60.（7分）VAEBC,PEJ_BC,PEDC,.C D LBC,，CE为异面直线AE和CD的公垂线段,（12分）它们之间的距离为1.（14分）30.在正方体ABCDA|B|C Q|中，E,F,G,H,

15、M,N 分别是正方体的棱 AB,BC,C G，G R，2 4 的中点，试证：E,F,G,H,M,N 六点共面.解析：EN/M F,，EN与 M F 共面a,（2 分）又T EF/M H,，EF和 M H共面夕.（4 分）：不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6 分）.平面a 与4 重合，.点H e a。（8 分）同理点G e a.（10分）故 E,F,G,H,M,N 六点共面.31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有D()A.1 条B.2 条C.3 条D.1 条或2 条解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时,条有两条交线;2）当三个平面交于一直

16、线时，有一条交线，故选D3 2.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是()A.4 个B.5 个C.6 个D.8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面，C：=6 个。33.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、于点M,则H 四点如果EF与 HG 交（）A.M 一定在直线AC上B.M 一定在直线BD上C.M 可能在AC上，也可能在BD上D.M 不在AC上，也不在BD上解析：.平面ABCA平面ACD=AC,先证MG平面ABC,M G平面A C D,从而MG ACA3 4.用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是解析：6 条35.已知：au a,bu

17、a,acb=A,P s b,PQ Ha.求证：P 0 u a.（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：TPQ2 PQ与。确定一个平面人.直线4 u 点Pwp.。p b,b u a.:.pea又O a u a /.a 与;合P Q c:a36.已知ABC三边所在直线分别与平面a 交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点侵。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：T A、B、C 是不在同一直线上的三点过A、B、C 有一个平面又 A B c a =P,且u 0，点P既在月内又在a 内，设ac =l,则 e/.同理可证:Q w l,R w /：.

18、P,Q,R三点共线.3 7.已知：平面。小平面/=。,6（=%6 八。=4。2：夕且。4,求证：b、c 是异面直线解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交若b c.。a llc,.a H b 这与a c b=/矛盾（2）若b,c相交于8,则8 G p,又a c b =A,:.4 e 0A B u即力u能马 b c/3 =4 矛盾.6,c是异面直线.3 8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F 分别是AB、C D 的中点，E F=J 5,求 AD与 BC所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：取 BD 中点M,连结EM、M F,则

19、EM/AD,且EM=-A D =,MF/BCiLMF=1 8C=1,2 2在 AME尸中 EF=后,由余弦定理得 cos ZEMF=*“F-EF=1 +1二 3=_2-EM-MF 2 2NEMF=12。异面直线4D,8c所成角的大小为6039.如图，在正方体ABCDA|B iG D 中，M、N 分别为棱AA|和 BB1的中点，求异面直线CM与 D N 所成角的正弦值.（14分）欠 C,（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）&衿、H解析：取 DD|中点G,连结 BG,MG,MB,GC得矩形MB（1 炉-则 BG和 M C所成的角为异面直线CM 与 D|N 所成的角.10 MC2=A/

20、T+/C?=(1”)“设正方体的棱长为a)BC=acos ZBOC=-sin NBOC=9 9而 CM 与 D|N 所成角的正弦值为/5940.如图，P 是正角形ABC所在平面外一点，M、N 分别是A B和（1）求证：MN是 AB和 PC 的公垂线（2）求异面二直线AB和 PC之间的距离解析：（1）连结AN,B N,APC与ABPC是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点.AN=BN又：M 是 A B的中点，AMN1AB同理可证MN_LPC又：MNnAB=M,MNAPC=NA M N是 A B和 PC 的公垂线。(2)在等腰在.角形 A N B”i,e AN=BN=*a,AB=Q,:,MN=

21、T；AB=a即异面二直线A B和PC之间的距离为变q.241空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 A.可能有3个，也可能有2个 B.可能有4个，也可能有3个C.可能有3个，也可能有1个 D.可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.42.下列命题中正确的个数是三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形矩形-定是平面图形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错

22、误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.如果一条直线上有个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2,推论3确定平面的条件

23、。45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有 3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。4 6 .三条平行直线可以确定平面个。答案：1 个或3 个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。4 7 .画出满足下列条件的图形。a C B=l,a U a ,b U B ,a C b=A(2)a n

24、 B=a,b u B ,b a解析：如图 1-8-甲，1-8-乙图1-848.经过平面a 外两点A,B 和平面a 垂直的平面有几个?解析：一个或无数多个。当 A,B 不垂直于平面。时，只有一个。当A,B 垂直于平面a 时，有无数多个。4 9 .设空间四边形 AB C D,E、F、G、H 分别是 AC、B C、D B、D A 的中点，若 AB=1 2 0 C D=4 4 1 ,且四边形E F G I I 的面积为12石，求 AB 和 C D 所成的角.解析：由三角形中位线的性质知，H G/B,H E D,.z E H G 就是异面直线AB 和 C D 所成的角.E F G 1 I 是平行四边形

25、，H G=1 AB=6A/2,2H E，C D=2 百，2,SB F G H=I I G -I I E -s i n z l I G=1 2 V 6 s i n E H G,/.1 2#s i n/H G12A/3.AECFB亚s i n z E H G=-，故z E H G=4 5.2.AB和 CD 所成的角为45。注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。5 0.点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC,E、F分别是AB、C D 的中点，且 E F=2 AD,和 BC所成的角。（如图）解析：设 G是 A C 中点，连接D G、F G o 因 D、F分别是AB、点，故 E G

26、Z BC且 E G=!BC,F G M D,且 F G=A D,由异面直成角定义可知E G 与 F G 所成锐角或直角为异面直线AD、BC角，即2 G F 为所求。由BC=AD 知 E G=G F=A D,又 E F=AD.2弦定理可得c o s*G F=0,即/G F=9 0。求异面直线ADC D 中线所所成山余22注：本题的平移点是A C 中点G,按定义过G分别作两条异面直线的平行线，然后在4 EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点,中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。出了以构成5 1.已知空间四边形A B C D中，AB=BC=CD=D A=D B=AC,M、N分

27、别为B C、A D的中点。求：A M与 C N所成的角的余弦值；解析：连接D M,过 N作 N E A M 交 DM于 E,则N C N E为 A M与C N所成的角。VN为 A D的中点,N E A M 省，N E=；A M且 E为 MD的中点。1 73 V3 1设正四面体的棱长为1,则 N C=巨=巨且 M E=-M D=2 2 43 1 7在 Rt Z M E C 中，CE2=M E2+C M2=+-=16 4 16CN2+NE2-CE2Ac o s Z CN E=-2-CN-NE）2+（4 分4-）柩柩2-4 416=_2一327XV Z CN E （0,）22二异面直线AM 与

28、CN 所成角的余弦值为一.3注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在4CE N外计算CE、CN、E N长，再回到4CE N中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。5 2.如图所示，在空间四边形A B C D中，点E、F分别是BC、A D上的点，已知AB=4,CD=2 0,E F=7,AJ7 RF 1=-o求异面直线A B与C D所成的角。F D E C 3解

29、析：在B D上取一点G,使得也=,连结E G、F G CG D 3在.A B C D中,，一BE =B G ,故.E G/CD,并且a 匚EE C G DE G BE I 7 B GA 1匚 D所以，E G=5；类似地，可证F G/AB,且=-A B A D 4故F G=3,在A E F G中,利用余弦定理可得cosZE G2+GF2-E F2 32+52-72F G E=-=-2 E G G F 2-3-5-,故/F G E=1 2 0。2另一方面，由前所得E G/CD,F G/AB,所以E G与F G所成的锐角等于A B与C D所成的角，于是A B与C D所成的角等于6 0。5 3.

30、在长方体ABCD-ABCD中,A AFC,AB=a,AD=b,且a b.求A3与BD所成的角的余弦.解一：连AC,设ACP BD=0,则0为AC中点，取3 C的F,连 O F,贝lO F ACl 且 O F=1 AC1,所以/F O B 即2AC1 与 D B 所成的角。在F O B 中，O B，/+/,O F=-V o2+b2+c2,BE=-2 2 2由余弦定理得-(a2+Z 2)+-(2+b2+c2)-(b2+-c2)c o s Z O B=-J.2-y/a2+b2 x l a2+b2+c24a2-b27(o2+b2)(a2+b2+c2)解二：取A G中点G,B B中点G.在 CQ6中，N

31、 C Q 即AC1与D B所成的角。解三：.延长CD到E,使E D=D C.则ABD E为平行四边形.AE BD,所以N E A3即为AG与BD所成的角.连E C,.在AE C1中，A E=y/a2+b2,AC1=V 72+b2+c2,Cl E=j 4q 2 +由余弦定理,得c o s/E AG-S+/)+(/+/+2)(4/+J.注:以筮攸/tj三垂线定理,CD Y AD(2)当ZPZM=45。时,MAP/。为等腰直角三角形则ZE 1 P D,又MV AE,:.MN LP D，P DcCD=DMN 1 平面PCD四边形PQVM为平行四边形P Q/MN0 MN u 面B B,P Q(Z 面Bt

32、 B尸 0 面44闽 5证法二：连结力A,“反，在&4BQ|中，显然P,0 分别是/A,2 8 的中点P Q/I AB,S.P QAB.e P Q(Z面44出力,AB】u 面44避8/.P QHAA.B.B_ /y(2)方法一：P Q=MN=AiM2=y-a方法二：=#证得“线面,本题证法评注：本题提供了两种解法，方法、通过平行四边形的对边斗平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平较多。76.如图，已知 a c 0=l,EA 工 arA,EB 1 /?于8,求证。/解析:E A La.E B L 0a c 0 =1ILE A=1 2E Bn /_L 平面48又。u a,

33、4 _ L a,.，.4 _ L E4又。a J_ A Bz.a _ L 平面EM/.a /.7 7.如图，ABCD为正方形，过 A 作线段SAL面 A B C D,又过A 作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于 E、K、H,求证：E、H 分别是点A 在直线SB和 SD上的射影。(12分)解析:0S/4 1 平面 48CO北 n S/_ L 8c8 C u 平面力8CQ J又_ L BC,SA c 48=A,:.B C1 平面BC 1 A E SC _ L 平面4/KESC 1 A E又 B C c S C =CA E 平面SBCA E 1 SB,即E为在S5上的射影.用理可证,H是点4在

34、SD上的射影.78.在正方体ABCDA|B|CQ i，G 为 CCI的中点，0 为底面ABCD的中心。求证：AQJ_平面GBD（14分）解析：Q A.A 1 BD BD 1 平面4 A D =BD A.A.OA C 1 B D J 4。u 面4 4 0 J又。4。2 =4 力 2+4。2 =/+（立 q）2 =3/2 20 G-=0 C2+C G2=停 a）2 +受=la22 Q4G 2 c J+G G?=（亿尸+（、）=#At02+0 G2=AtG2At010 G 又3DcOG=0 4。_ 1,平面GB。79.如图，已知a、b 是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段A B的长为定值m,定长为

35、n(nm)的线段PQ 的两个端点分别在a、b 上移动，M、N 分别是A B、PQ 的中点.(1)求证:A B M N；（2）求证：M N 的长是定值（14解析:取尸8 中点连结 V,则 N/6又。A BhA B 1 H N同理4 B L M H4 8 _ L 平面M N”A B _ L 平面M V A B L M Nb A B fh。n 61.平面/8;.6_ 1尸 8.b L a J在 R/AP B 0 中,802 =P Q2-PB2=n2-PB2 X(1)在R M B/中，尸/=PB?-A B-=PB2-m2(2),(2)两式相加尸才+B Q2=n2-m20 4 71 b,:.A

36、M H N=9 0M N =y/MH2+N H2=J(-y)2+(等了=3，2 _ 加 2(定值)80.已知：平面a与平面力相交于直线，直线b 与。、力都平行，求证：b/a.证明：在。上取点P,6 和尸确定平面/设y与a交于“，/与万交于a”：b a A b B：.6。且 6，/与a 重合，而 u a,a u 0,实际上是a 、a”、。三线重合,a/b.81.有三个几何事实（a,6 表示直线，a表示平面），a/h,a a,6 b/a。在a外I I ：a/hb/a =o a。在a外I、I I 是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行.证明：过。作平

37、面与 a交于 a/aa/a而 a/h6。且人在a外，在a内h/a.I l l：a/a 、二阳6b/a J命题：平行于同一个平面的两条直线平行,这是错的，如右图8 2.两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行.已知：a、仅是两个平面，直线/_ L a,/邛,垂足分别为4、B.求证：a 4 思路 1：根据判定定理证.证法 1：过/作平面a d/=A C,(3 C y=BD,过/作平面万a C y 8 A E,B C 5=BF,l-a=ll.A C、IJ3=I1 BD =A C/BD A C/J3,I、A C.8 D 共面 J同理 4 E 夕，A C C A E 手 A C,AEu a

38、,故 a 夕.思路2：根据面面平行的定义，用反证法.证法2：设a、阳公共点尸则/与尸确定平面外且a C 尸，/3 C 尸 BP./_L a=/J _Z PI L p n l L B P/、A P、8 尸共面，于是在同一平面内过一点有两条直线Z P、8P都与/垂直，这是不可能的.故a、月不能有公共点，a 尸.8 3.已知：a、6是异面直线，au 平面a,b u 平面向a/P，b/a.求证:a ll R.证法 1 ：在 a上任取点P,显然P d b.于是6 和点尸确定平面y.且/与a有公共点尸/.a 0y=h,旦和。交于P,*/b a,h/hf：.br/p而 a/p这样a 内相交直线

39、。和都平行于夕，a ll(5.证法2：设 Z B 是 a、b 的公垂线段，过和6 作平面y,/n cr=b,过力8 和 4 作平面5,3 n=.a/3=。/b/a =b/b.A B-LaA B A.af,ABA-bABA-b于是且431.万，a/p,8 4.已知夕、b、c 是三条不重合的直线，a、是三个不重合的平面，下面六个命题:。c,b/c=a/b；a/r,b/r=a/b；a&c=a ；(4)a 尸，厂=a ；。c,a/c=a/Q；a/，a 厂二。a.其中正确的命题是)(A)(C)(B)(D)解析：由公理4 平行于同条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平行于个平面

40、，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和个平面分别平行于同条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选A.85.已知直三棱柱/8C一48 1 G中，A C=BC,M、N分别是小9，的中点，P点在线段囱C上，则N P与平面的位置关系是 ()(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)要依尸点的位置而定解析：由题设知且止四边形4 NS/W是平行四边形,故 B N A M,SN 工M G 平面.

41、又C|M CM 得CN平面1 M G，则平面S N C/M G，N P U平面&NC,，NP平面/MG.答案选B.86.已知：正方体N 8 C D小B C Q i棱长为a.(1)求证：平面小即平面BQC；(2)求平面4 8。和平面BQC的距离.证明：(1)在正方体4 88/山CiA中，8以平行且等于二四边形88QQ是平行四边形，图07图08Z.BD B D ,，平面 BQ|C.同理小2平面8 Q C，又 4 B C B D=B,：.平面小平面5 O C解：(2)连/G交平面小8。于M,交平面B|D|C于N./C是/G在平面4 C上的射影，又NCL8。，A CA CXLBD,同理

42、可证,A C LA B,，ZG_L平面小8。，即以L L平面小3。，图08同理可证MV_L平面B,Z)iC.M V的长是平面到平面B M C的距离，设力C、B D交于E,则平面与平面小C交于直线小E.：A/e平面A/e/C|U平面 4 C,二 M A iE.同理NeCF.在矩形小G C中，见图92 1(2),由平面几何知识得MN=(AC,：.MN=a.3评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行，主要是在其中个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法.8 7.已知正三棱柱

43、/8 C m S G，底面边长为8,对角线81c=1 0,。为NC的中点.(1)求证Z批平面C 1 BD：(2)求直线A Bi到平面C BD的距离.证明：(1)设团cn 8 G=o.连。O,则。是 8 1 c的中点.在/C S 中，。是 Z C 中点，。是 8 1 c中点.?.D O/A Bi，又。O u 平面 C|8D,平面 G8Z),Z B/平面 G 8D解：(2)由于三棱柱ZBC小B iG 是正三棱柱，。是 NC中点，,B DL AC,且 8O_LCG，8_L平面/G，平面平面/G，C Q 是交线.在平面Z G 内作垂足是H,二 N_L 平面 C/O,又 Z81 平面C i B D,故A

44、H的长是直线A B到平面C BD的距离.由 2 c=8,81c=1 0,得 CG=6,在 RtZXGDC 中，D C=4,CG=6,sin A C,DC=/$一 =“2+62 V13在中，Z A D H=Z C D C：.Z =/O.sin/C Q C =.1 13即A B,到平面C BD的距离是呸叵13评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的。0.本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用4 3平面G8。，把求直线到平面的距离变换为求点/到平面的距离.8 8.已知：直线a 平面a.求证：经过“和平面a平行的平面有且仅有一个.证：过 a作平面与a交于，在。

45、内作直线与,相交，在上任取一点P,在6 和确定的平面内，过 P作6在a外，/在a内，二 b/a而 a/a：.a,b 确定的平面力过a且平行于a.,/过。，b的平面只有一个，过 a平行于平面a的平面也只有一个89.已知平面 a、。、y、.其中/r i b =/,a n y=a,f t n y=a,a/a,a n b=b,0 c 5=b,b/b上述条件能否保证有a夕？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有。不足以保证a 4.如右图.如果添加条件。与人是相交直线，那么a 夕.证明如下：a/a=a/b/b=b/p,：a,6是a内两条相交直线，.a/(3.9 0 .三个平面两两

46、相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面 an平面 =a,平面尸n平面 y =6,平面 yn平面a =c.求证：a、b、c 相交于同一点，或 a 6 c.证明：a C 6=a,8 C y =b:a、b u :a、A 相交或a 方.(D a、6 相交时，不妨设即户P G b而 3、b u B,a u a:.p e B,p e a,故 2为。和的公共点又 an Y=c由公理2知 P W c，a、b、c 都经过点只即 a、b、c 三线共点.(2)当 a。时；a n Y=C 5.a u C l,a(Z Y/.a/c 且 a/ba/b/c故 a、b、c 两两平

47、行.由此可知a、b、。相交于一点或两两平行.说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.9 1.如图，正方体力及力一4出G 中，在 4 5 上，尸在劭上，旦&E=BF.求证：平面BBC C.证法一：连力/延长交比于忆连结尻K-A D/BC：./A F D /MF BAF DFFM BF又,：B g B、A,RE=BF:.DF=AE.AF AE：.EF/BM,&Mu 平面能G C.小平面BBCC.证法二：作月7 4。交4 6于，连结监JAD/BC：.FH/BC,BCu BBCC二9平面BRCCBF由FHA。可得-BDBHBA又 BF=B、E,BQAB.B、E _ BH,布一

48、应：.EH/BxB,8归u 平面跖G C.仍平面BRCCEHCFH=H，平面砸1平面BBxQC u 平面FIIE尸平面BBGC说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.9 2.已知：平面。平面,线段四分别交。、于点以N；线段皿分别交。、于点 C、D；线段跖分别交。、于点尺E,0 止冏面积=（研p）（加0）,求：股的面积.解析：如图，面/初分别交。、B 干 2C,N D,因为。,故加?加，同理，监 M；得N F MC=/E N D,：.N D M C=（加 p）：m 和 E N：F M=n：（加而1

49、 EN-ND-smENDS2END S赳欣=-FMMCsinFMC2得*SA5EN ND-x-X SLFM MCn m+p/、/、n/x2=-（研夕）（7 7+2）二一（加夕）一n+p m mn、:AEND的面积为一（m+p）2 平方单位.m9 3.如图，在正方体力及力一48 C。中，点 N在切上，点 M上，并且。生回求证:加,平面 B.解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在4 6 6 M 内找条直线与助V 平行，除上面的证法外，还可以连长交直线创于点只连 B R就是所找直线，然后再设法证BxP.平面a v 并延明/四在 6 c分析二：要证“线面平行”也可转

50、化为证“面面平行”，因此,平面与平面AB B A平行，从而证得A/M平面A BB A .本题也可设法过M N作一个平面,使此9 4.已知E,F 分别是正方形A B C D边 A D,A B 的中点，E F交 A C 于 M,G C 垂直于A B C D所在平面.G图 1-77(1)求证：E F_ L 平面G MC.(2)若 A B=4,G C=2,求点B到平面E FG 的距离.解析：第 1 小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理：第 2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题.解：(1)连结B D交 A C

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