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1、立体几何根底题题库一有具体答案1、二面角是直二面角，设直线及所成的角分别为1和2，那么A1+2=900 B1+2900 C1+2900 D1+2900解析：C如下图作扶植线，分别作两条及二面角的交线垂直的线，那么1和2分别为直线AB及平面所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2. 以下各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是 A B C DD解析： A项：底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形B项： 如图C项：是个平行四边形D项：是异面直线。3. 有三个平面，以下命题中正确的选项是
2、 A假设，两两相交，那么有三条交线 B假设，那么 C假设，=a，=b，那么ab D假设，=，那么=D解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C项：如图4. 如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB及直线B1C1的间隔 相等，那么动点P所在曲线的形态为 C解析：平面AB1，如图：P点到定点B的间隔 及到定直线AB的间隔 相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中及AD1成600角的面对角线的条数是 A4条 B6条 C8条 D10条C解
3、析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满意，那么BCD是 A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定C解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且那么，BD=，CD=，BC=如图那么BD为最长边，根据余弦定理最大角为锐角。所以BCD是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，那么以下四个命题 假设假设 其中正确的命题的个数是 A0个B1个C2个D3个B 解析：留意中b可能在上；中a可能在上；中b/，或均有，故只有一个正确命题8.如下图，正四棱锥SABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，那么异面直线
4、BE及SC所成角的大小为 A90B60C45D30B 解析：平移SC到，运用余弦定理可算得9. 对于平面M及平面N, 有以下条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q; M内不共线的三点到N的间隔 相等;l, M内的两条直线,且l/ M,m / N; l,m是异面直线,且l/ M,m / M;l/ N,m / N,那么可断定平面M及平面N平行的条件的个数是 A1B2C3D4只有、能断定M/N，选B10. 正三棱柱ABCA1B1C1中，A1BCB1，那么A1B及AC1所成的角为 A450 B600 C900 D1200C解析：作CDAB于D，作C1D1A1B1于D1，连B1D、AD1，易知
5、ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1BAC1，选C。11. 正四面体棱长为1，其外接球的外表积为A.B. C. 解析：正四面体的中心原委面的间隔 为高的1/4。可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线、m中至少有一条及平面相交；丙：平面及平面相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线、m都在平面内，并且都不在平面内时，假设“、m中至少有一条及平面相交，那么“平面及平面相交成立；假设“平面及平面相交，那么“、
6、m中至少有一条及平面相交也成立选C13. 直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n间隔 相等的点的集合可能是：1一条直线；2一个平面；3一个点；4空集其中正确的选项是 解析：1成立，如m、n都在平面内，那么其对称轴符合条件；2成立，m、n在平面的同一侧，且它们到的间隔 相等，那么平面为所求，4成立，当m、n所在的平面及平面垂直时，平面内不存在到m、n间隔 相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,那么可确定平面的个数为 A3B1或2C1或3D2或3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15假设为异面直线，直线ca，那么c及b的位置关系是 A相交B异面C平行D 异面
7、或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC及B1D所成的角的大小为 ABCD解析：DB1D在平面AC上的射影BD及AC垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，那么直线PQ及RS是异面直线的一个图是 解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：18如图，是一个无盖正方体盒子的外表绽开图，A、B、C为其上的三个点，那么在正方体盒子中，ABC等于 A45 B60C90 D120解析：B 如图右图是一个正方体的绽开图，在原正方体中，有以下命题：AB及CD所在直线垂直；CD及EF所在直线平行AB及M
8、N所在直线成60角；MN及EF所在直线异面其中正确命题的序号是 ABCD解析：D19线段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，那么ABC是 A等边三角形B非等边的等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形解析：B 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。 ABC是不等边的等腰三角形，选B20假设a，b，l是两两异面的直线，a及b所成的角是，l及a、l及b所成的角都是，那么的取值范围是 ABCD解析：D解 当l及异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a获得最小值，当l及
9、a、b的公垂线平行时，a获得最大值，应选D21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所, 留在墙壁部分的影高, 求树高的高度太阳光线可看作为平行光线_.42米解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，CE=米，树影长BE=米，树高AB=BE=米。22如图,正四面体空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等中,分别是棱的中点, 那么和所成的角的大小是_.解析：设各棱长为2，那么EF=，取AB的中点为M，即23OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线，点P到这三条直线
10、的间隔 分别为3，4，7，那么OP长 为_.解析：在长方体OXAYZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZOZ，PYOY，PXOX，有 OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=24设直线a上有6个点，直线b上有9个点，那么这15个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a及b上9个点可确定9个不同平面，直线b及a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点求证：EF和AD为
11、异面直线.解析：假设EF和AD在同一平面内，2分，那么A，B，E，F；4分又A，EAB，AB，B，6分同理C8分故A，B，C，D，这及ABCD是空间四边形冲突。EF和AD为异面直线26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，假设AC + BD = a ，ACBD =b，求.解析：四边形EFGH是平行四边形，4分=2=27. 如图，在三角形ABC中，ACB=90，AC=b,BC=a,P是ABC 所在平面外一点，PBAB，M是PA的中点，ABMC，求异面直MC及PB间的间隔 .解析：作MN/AB交PB于点N2分PBAB，PBMN。4分又ABMC，MN
12、MC8分MN即为异面直线MC及PB的公垂线段，10分其长度就是MC及PB之间的间隔 ， 那么得MN=AB=28. 长方体ABCDA1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.1求异面直线CD1、EF所成的角；2证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.1解析：在平行四边形中，E也是的中点，2分两相交直线D1C及CD1所成的角即异面直线CD1及EF所成的角.4分又A1A=AB，长方体的侧面都是正方形，D1CCD1 异面直线CD1、EF所成的角为90.7分2证：设AB=AA1=a, D1F=EFBD19分由平行四边形，知E也是的中点，且点E是长方体ABCDA1B1C1D1的对称
13、中心，12分EA=ED，EFAD，又EFBD1，EF是异面直线BD1及AD的公垂线.14分29. ABC是边长为2的正三角形，在ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的间隔 .解析：分别连接PE和CD，可证PE/CD，2分那么PEA即是AE和CD所成角4分在RtPBE中，PB=，BE=1，PE=。在AEP中，AE=，=AEP=60，即AE和CD所成角是607分AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE为异面直线AE和CD的公垂线段，12分它们之间的间隔 为114分30. 在正方体ABCDA1B1C1D1
14、中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面解析：EN/MF，EN及MF 共面，2分又EF/MH，EF和MH共面4分不共线的三点E，F，M确定一个平面，6分平面及重合，点H。8分同理点G10分故E，F，G，H，M，N六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 A1条B2条C3条D1条或2条D解析：分类：1当两个平面平行，第三个平面及它们相交时，有两条交线； 2当三个平面交于一条直线时，有一条交线，应选D32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 A4个B5个C6个D8个解析：C 如四棱锥的四个侧面，个。33.在空间
15、四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点假设EF及HG交于点M，那么 AM确定在直线AC上BM确定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：平面ABC平面ACD=AC，先证M平面ABC，M平面ACD，从而MACA 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，那么这个多边形的边数最多是 .解析：6条35. ：此题主要考察用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQa,PQ及a确定一个平面36. ABC三边所在直线分别及平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。12分此题主要考察用平面公理和推论证明共线问题的方法解析：A
16、、B、C是不在同始终线上的三点过A、B、C有一个平面又 37. ：平面 求证：b、c是异面直线解析：反证法：假设b及c不是异面直线，那么bc或b及c相交38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD及BC所成角的大小此题考察中位线法求异面二直线所成角解析：取BD中点M，连结EM、MF，那么39. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM及D1N所成角的正弦值.(14分)此题考察平移法，补形法等求异面二直线所成角解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MCBG=0那么BG和
17、MC所成的角为异面直线CM及D1N所成的角.而CM及D1N所成角的正弦值为40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。1求证：MN是AB和PC的公垂线2求异面二直线AB和PC之间的间隔 解析：1连结AN，BN，APC及BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点AN=BN又M是AB的中点，MNAB同理可证MNPC又MNAB=M，MNPC=NMN是AB和PC的公垂线。2在等腰在角形ANB中，即异面二直线AB和PC之间的间隔 为.41空间有四个点，假设其中随意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有3个，也可能有2个 B
18、可能有4个，也可能有3个C可能有3个，也可能有1个 D可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，那么有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，那么任何三点都确定一个平面，共有4个。.42. 以下命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形确定是平面图形A1个 B2个 C3个 D4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特别的四边形。命题是正确的，因为矩形必需是平行四边形，有一组对边平
19、行，那么确定了一个平面。43. 假设一条直线上有一个点不在平面上，那么这条直线及这个平面的公共点最多有_1个。解析：假设有两个，那么直线就在平面内，那么直线上的全部点都在这个平面内，这就及有一个点不在平面上冲突，所以这条直线及这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，假设连结这两点的直线及直线_，那么它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中确定是平面图形的有_3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点确定不在一条直线上，这三点即确定一个
20、平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不确定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。47. 画出满意以下条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图1-8-甲，1-8-乙 48.经过平面外两点A，B和平面垂直的平面有几个？解析：一个或多数多个。当A，B不垂直于平面时，只有一个。当A，B垂直于平面时，有多数多个。 49. 设空间四边形ABCD，E、F、G
21、、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，假设AB12，CD4 ，且四边形EFGH的面积为12 ，求AB和CD所成的角. 解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG就是异面直线AB和CD所成的角. EFGH是平行四边形，HG AB6，HE ，CD2， SEFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12. sinEHG,故EHG45. AB和CD所成的角为45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角。如图解析：设G是AC中点，
22、连接DG、FG。因D、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EG= BC，FGAD，且FG=AD，由异面直线所成角定义可知EG及FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90。 注：此题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。51. 空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM及CN所成的角的余弦值；解
23、析：(1)连接DM,过N作NEAM交DM于E，那么CNE 为AM及CN所成的角。 N为AD的中点, NEAM省 NE=AM且E为MD的中点。设正四面体的棱长为1，那么NC= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0, ) 异面直线AM及CN所成角的余弦值为.注：1、此题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN外计算CE、CN、EN长，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法断定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来断定这个角是锐角也就是异面直线所成的角或钝角
24、异面直线所成的角的邻补角。最终作答时，这个角的余弦值必需为正。52. .如下图，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB及CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得，连结EG、FG 在BCD中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；类似地，可证FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 cosFGE=，故FGE=120。 另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以EG及FG所成的锐角等于AB及CD所成的角，于是AB及CD所成的角等于60。53. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD
25、=b，且ab求AC1及BD所成的角的余弦解一：连AC，设ACBD=0，那么O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，那么OFAC1且OF=AC1，所以FOB即为AC1及DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosOB=解二：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即AC1及DB所成的角。解三：延长CD到E，使ED=DC那么ABDE为平行四边形AEBD，所以EAC1即为AC1及BD所成的角连EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1及BD所成的角的余弦为54. AO是平面
26、的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，那么直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，解析：设AO及AB所成角为，AB及AC所成角为，AO及AC所成角为，那么有。在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=，求异面直线SC及AB所成角的大小。略去了该题的1,2问由SA平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，设异面直线SC及AB所成角为，那么 ，由 得 ， ， ， 即异面直线SC及AB所成角为 。55. 平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明 。略去了该题的2，3问解析： 设在平面ABCD内射影为H，那么CH为在平面ABCD内的射影， ， ，由题意 ， 。又 ， 从而CH为的平
27、分线，又四边形ABCD是菱形， 及BD所成角为， 即56. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，求异面直线AE及CF所成角的大小。解析： 连接BF、EF，易证AD平面BFC， EF为AE在平面BFC内的射影，设AE及CF所成角为， ，设正四面体的棱长为，那么 ，明显 EFBC， ， ， ， ， 即AE及CF所成角为 。57. 三棱柱，平面平面OAB，且，求异面直线及所成角的大小，略去了该题的1问解析： 在平面内作于C ，连，由平面平面AOB， 知，AO平面， ， 又 ， BC平面， 为在平面内的射影。设及所成角为，及所成角为， 那么，由题意易求得 ， ，在矩形中易求得及所成角的
28、余弦值：， ，即及所成角为 。58. 异面直线及所成的角为，P为空间确定点，那么过点P且及，所成的角均是的直线有且只有 A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 解析： 过空间一点P作，那么由异面直线所成角的定义知：及的交角为，过P及，成等角的直线及，亦成等角，设，确定平面，交角的平分线为，那么过且及垂直的平面设为内的任始终线及，成等角证明从略，由上述结论知：及，所成角大于或等于及，所成角，这样在内的两侧及，成角的直线各有一条，共两条。在，相交的另一个角内，同样可以作过角平分线且及垂直的平面，由上述结论知，内任始终线及，所成角大于或等于，所以内没有符合要求的直线，因此过P及，成的直线有且只有2条
29、，应选B59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 C.异面 解析：D60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2及l1、l2都相交，那么m1、m2的位置关系是 解析：D 61. 在正方体ABCD-ABCD中,及棱AA异面的直线共有几条 解析：A62.在正方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是 解析：B棱AA有4条及之异面,所以,全部棱能组成412=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.63. 正方体ABCD-ABCD中,异面直线CD和BC所成的角的度数是 解析：BADC=60即为异面直线CD和BC所成的角的度数为6064.异面直线a、b，ab，c及a成30角
30、，那么c及b成角的范围是 A. B. C. D. 解A直线c在位置c2时,它及b成角的最大值为90,直线c在c1位置时,它及b成角的最小值是6065.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，那么P、Q的最短间隔 为 解析：B当M,N分别为中点时。因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短间隔 就是异面直线AB,CD的间隔 为最短。连接BN,AN那么CDBN,CDAN且AN=BN,所以NMAB。同理，连接CM,MD可得MNCD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN所以在RTBMN中，MN求异面直线的间隔 通常利用定义来求，它包括两个步骤
31、:先证一条线段同时及两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而无视第一步。66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF3，那么AD,BC所成的角为 解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需留意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家留意。同时求角的大小是先证明再求解这一根本过程。67. 直线a是平面的斜线，b在平内，a及b成60的角，且b及a在平内的射影成45角时，a及所成的角是 解A68. m和n是分别在两个互相垂直的面、内的两条直线，及交于l，m和n及l既不垂直
32、，也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不行能平行 B.可能平行，但不行能垂直 C.可能垂直，也可能平行 D.既不行能垂直，也不行能平行解析：这种构造的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此根底上进展推理，假设无冲突，且推理过程可逆，就确定这个假设；假设有冲突，就否认这个假设。 设m/n,由于m在外，n在内， m/ 而过m及交于l m/l，这及冲突， m不平行n. 设mn，在内作直线l, , a, ma. 又由于n和a共面且相交假设a/n 那么nl，及冲突 m, ml及冲突， m和n不能垂直. 综上所述，应选D.69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是
33、AD、DD1的中点，那么面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤。从图形特点看，应当过E或F作面BCC1的垂线.解析：过E作EHBC，垂足为H. 过H作HGBC1，垂足为G.连EG.面ABCD面BCC1，而EHBCEH面BEC1，EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.HGBC1， EGBC1， EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在RtBCC1中：sinC1BC= 在RtBHG中：sinC1BC= HG=设底面边长为1. 而EH=1，
34、 在RtEHG中：tgEGH= EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.那么三棱锥D-ABC的体积为 解析：设AC、BD交于O点，那么BOAC 且DOAC，在折起后，这个垂直关系不变，因此BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长，所以可求出BOD： 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高事实上是DOB中，OB边上的高DE，理由是： DEOB DE面ABC. 由cosDOB=，知sinDOE= DE= 应选B71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面间隔 等于大圆周长
35、的. B和C间的球面间隔 等于大圆周长的.假设球的半径是R，那么球心到截面ABC的间隔 等于 解析：此题考察球面间隔 的概念及空间想像实力. 如下图，圆O是球的大圆，且大圆所在平面及面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的间隔 ，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径. 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、COB中求得O是球心.由于A、B间球面间隔 是大圆周长的，所以AOB=2=，同理AOC=，BOC=.|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 在ABC中，由
36、于AB2+AC2=BC2. BAC=90,BC是小圆ABC的直径. |ED|= 从而|OD|=. 故应选B.72.答案D解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于_ 解析：90连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，ABCN，ABDN.74. PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.1求证：MNCD；2假设PDA=45，求证MN面PCD.(12分)解析：75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如图：1证明：PQ平面AA1B1B；2求线段PQ
37、的长。12分评注：此题供应了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行，从而证得“线面平行；方法二，通过三角形的中位线及底边平行得到“线线平行，从而证得“线面平行。此题证法较多。76. 如图，求证al解析：77. 如图，ABCD为正方形，过A作线段SA面ABCD，又过A作及SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。12分解析：78. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD14分解析：79. 如图，a、b是两条互相垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为nnm的
38、线段PQ的两个端点分别在a、b上挪动，M、N分别是AB、PQ的中点。1求证：ABMN；2求证：MN的长是定值14分解析：80. ：平面及平面相交于直线a，直线b及、都平行，求证：ba证明：在a上取点P，b和P确定平面设及交于，及交于 b且b b且b 及重合，而， ，事实上是、a三线重合， ab81. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言表达这些命题，并推断真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab a b b在外：ab b a a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面
39、外，假设其中一条及平面平行，那么另一条也及该平面平行证明：过a作平面及交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图82. 两个平面同时垂直于一条直线，那么两个平面平行：a、b是两个平面，直线la，lb，垂足分别为A、B求证：ab思路1：根据断定定理证证法1：过l作平面g ，agAC，bgBD，过l作平面d，adAE，bdBF，lalAClblBD ACBDACb，l、AC、BD共面同理AEb，ACAEf ，AC，AEa ，故ab思路2：根据面面平行的定义，用反证法证法2：设a、b有公共点P那么l及P确定平面g，且agAP，bgBPlalAPlblBPl、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都及l垂直，这是不行能的故a、b不能有公共点， ab83. ：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，ab，ba求证：ab证法1：在a上任取点P，明显Pbb于是b和点P确定平面g且g