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1、立体几何基础题题库一(有详细答案)1、二面角a-/-是直二面角，As a,B e。，设 直 线 与a、/所成的角分别为N 1和N2,贝U(A)Zl+Z2=90(B)/l+N2290(C)Nl+N2W90(D)Zl+Z2Z2Q ZABO+Zl=90/.Z2+Z1 6 C则,BD=J a +/,CD=yjc2+b2,BC=Ja2+C27.设、b 是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题（）若 a b,a a,则b a若 Q a,a _ L /?,则。Pa 1/3,a1 0,则Q/a 若 4 b,a a,b 民 则 a 其中正确的命题的个数是()A.0 个 B.1个 C.2 个 D.
2、3 个B解析：注意中b 可能在a 上；中。可能在Q上；中ba,或b w a 均有a_L/?,故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为后，底面 边 长 为 百，E 是 SA的中点，则异面直线BE与 SC所成角的大小为A.90 B.60C.45 D.30ABD.45B解析：平移S C到S 5,运用余弦定理可算得3 =S E =S 8 =J 19.对于平面M与平面N,有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q;M内不共线的三点到N的距离相等;/,M内的两条直线,且/M,m N;/,m是异面直线,且/M,m/M;/N,m/N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是(
3、)A.1 B.2 C.3 D.4 c只有、能判定乂此选BA B10.已知正三棱柱A B C A|B|C i中，A j B X C B p则A|B与A C 1所成的角为C1(A)4 5 (B)6 0 A i B(C)9 0 (D)1 2 0 C解析：作C D L A B于D,作C D|_L A B i于D 1,连BQ、A D,易知A D B Q 1是平行四边形，由三垂线定理得A|B _L A G，选C。1 1.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为rr 3 5A.V 3 *B.C.n D.3*2 2解析：正四面体的中心到底面的距离为高的l/4 o(可连成四个小棱锥得证12.设有如下三个命题：甲：相
4、交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内；乙：直线/、m中至少有一条与平面B相交；丙：平面。与平面B相交.当甲成立时，A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内”时，若“/、m中至少有一条与平面B 相交”，则“平面a与平面B相交.”成立；若“平面。与平面B相交”，则“/、m中至少有一条与平面B相交”也 成 立.选（C）.13.已知直线加、及平面a,其中根，那么在平面a内到两条直线打、距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；
5、（3）一个点；（4）空集.其中正确的是解析：（1）成立，如 八 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、在平面。的同一侧，且它们到a的距离相等，则平面a为所求，（4）成立，当,、所在的平面与平面a垂直时，平面a内不存在到机、距离相等的点14.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15.若、6 为异面直线，直线c a,则 c与 b的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交解析：D 如正方体的棱长。解析：D BQ 在平面AC上的射影BD与 AC垂直，根据
6、三垂线定理可得。1 7.如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线P Q 与 R S 是异面直线的一个图是（）解析：C A,B选项中的图形是平行四边形，而 D选项中可见图:1 8.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中,Z ABC等于A.4 5 B.60 C.9 0 D.1 2 0 解析：B 如图A()右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有卜.列命题:AB与 CD所在直线垂直：AB与 MN所在直线成60 角;其中正确命题的序号是A.B.CD与 E F 所在直线平行MN与 E F 所在直线异面()C.D.解析：DD
7、 B1 9.线段的，O B,0 c 不共面，Z AOB-Z BOOZ C f l4=600,%=1,A.等边三角形OB=2,贻 3,则4 先是()B 等边的等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析：B.设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知：/=12+3-3=7,/=1+22-2=3,z =22+3-6=7o比是不等边的等腰三角形，选（8）.TT2 0.若a,b,/是两两异面的直线，a与。所成的角是一，1 与 a、/与6所成的角都是a,3则a的取值范围是()乃5)A.,6 6D.6 2解析：DJT解 当/与 异 面 直 线a,8所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值巴，当/与a、6
8、的公垂线平行6冗时，a取得最大值一，故 选（）.22 1.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m,但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7 m,留在墙壁部分的影 高1.2 m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）4.2米解析：树高为A B,影长为B E,CD为树留在墙上的影高，.C!=D =1 2 =1,C E=L 0 8米，树影长CE CE 0.9B E=2.7 +1.0 8 =3.7 8 米,树高A B=B E=4.2 o0.92 2.如图，正四面体A-B C D（空间四边形的
9、长及两对角线的长都相等）中，区户分别是棱是。,5。的中点，则四条边和 4。所成的角的大小是解析：设各棱长为2,则 E F=J 5,取 A B 的中点为M,=.即6=工.2 423.OX,OY,OZ是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点 P 到这三条直线的距离分别为3,4,1,则。尸长为.解析：在长方体Z3PC中，OX.OY,0 Z 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZJ_OZ,PY1.OY,PX1.O X,有 OA2+9Z2=49,072=（9%2=9,Of+OZ2=6,得*W+0 3 7,0六 国.24.设直线a 上有6 个点，直 线 6上有9 个点，则 这 15个点，能确定_ _
10、个不同的平面.解析：当直线。，6 共面时，可确定一个平面；当直线a,b 异面时，直线。与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面，直线6 与。上 6 个点可确定6 个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面.25.在空间四边形ABCD中，E,F 分别是AB,BC的中点.求证：EF和 A D 为异面直线.解析：假设EF和 A D 在同一平面a 内，（2 分），则 A,B,E,F e a；.（4 分）又 A,EGAB,；.A B u a,.B e a,（6 分）同理C e a（8 分）故 A,B,C,D e a,这与ABCD是空间四边形矛盾。；.EF和 A D 为异面直线.26.在空间四边形AB
11、CD中，E,H 分别是AB,A D 的中点，F,G 分别是CB,CD的中点，若 AC+BD=a,AC-BD=b,求 EG?+FH?.A解析：四边形EFGH是平行四边形，.（4 分）e/27.如图，在三角形/A B C 中，ZACB=90,AC=b,BC=a,P 是/ABC 所在平面外一点，PB1AB,点，A B 1 M C,求异面直M C与 PB间的距离.解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N.（2 分）：PB_LAB,.PB_LMN。M 是 PA的中（4 分）又A B.LMC,MN1.MC.（8分）MN 即为异面直线MC 与 PB 的公垂线段，（1 0 分）其长度就是MC 与 PB 之间的
12、距禺，则得 MN=A B=c T+.2 22 8.已知长方体A B C D A|B iC iD i中,A iA=A B,E、F 分别是B D|和 AD中点.（1）求异面直线C D|、E F 所成的角；（2）证明E F 是异面直线AD和 B D,的公垂线.（1）解析：；在平行四边形A43G 中，E 也是ZG 的中点，&/G。，（2分）两相交直线D.C 与 CD所成的角即异面直线C D,与 E F 所成的角.（A,A=A B,长 方 体 的 侧 面 都 是 正 方 形,A D iC lC D.异面直线C D 1、E F 所成的角为9 0 .（7分）BD(2)证:设 A B=A A=a,=5F,-*
13、-EFlB D1.(9 分)由平行四边形8/2G ,知 E 也是A C 的中点，且点E 是长方体A B C D A|B|C|D|的对称中心，（1 2分），EA=ED,AE F 1AD,又 EF_LB D”，EF 是异面直线 B D jAD的公垂线.（1 4 分）29./ABC是边长为2的正三角形，在/ABC所在平3一点 P,PB=PC=，P A=-,延长 B P 至 D,使2 2B D=V 7 ,E 是 BC的中点，求 AE 和 CD所成角的大小条直线间的距离.解析:分别连接P E 和 C D,可证PE/C D.C 2 分）则N P E AAE 和 CD所 成 角.（4分）在 R t/PB E
14、中,面外有和这两即是3+3_9PB=,B E=1,.*.PE=o 在/A EP 中，A E=V J,CO S ZA E P=-=-22 2.上匹22A Z A EP=6 0 ,即 A E和 C D 所成角是6 0 .（7 分）V A EX B C,PEB C,PE D C,，C D _LB C,，C E 为异面直线A E和 C D 的公垂线段,（1 2 分）它们之间的距离为1.（1 4 分）30.在正方体A B C D A|B|C D 中，E,F,G,H,M,N 分别是正方体的棱4/,A B,B C,CG，G A，A4的中点，试证：E,F,G,H,M,N 六点共面.解析：EN/MF,；.EN与
15、 M F 共面a,（2分）又；EF/MH,；.EF和 M H 共面尸.（4分）,不共线的三点E,F,M 确定一个平面，（6分）平面a与 4重合，.点H e a。（8分）同理点G e a.（1 0分）故 E,F,G,H,M,N 六点共面.31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）A.1 条 B.2条C.3条 D.1 条或2条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是A.4个 B.5 个()C.6个 D.8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面，C：=6个。33.
16、在 空间四边形ABCD的边A B、B C、C D、DA上分别取E、F、G、H 四点如果E F 与 H G 交于点M,则（）A.M 一定在直线AC上B.M-定在直线BD上C.M 可能在AC上，也可能在BD上D.M 不在AC上，也不在BD上解析：.平面ABCA平面A C D=A C,先证M G 平面A B C,M G 平面ACD,从而M G ACA3 4.用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是解析：6 条35.已知：a u a,b u a,a c b =A,P wb,PQ H a.求 证:PQ u a.(12分)本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：.7
17、()4.中()与4 确定-个平面,；.直线0 C =9 9而 CM 与 D|N 所成角的正弦值为亚940.如图，P 是正角形ABC所在平面外一点，M、N 分别是AB利（1）求证：M N是 AB和 PC 的公垂线（2）求异面二直线AB和 PC之间的距离PC=AB=a。解析：（1）连结AN,B N,APC与ABPC是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点.AN=BN又：M 是 A B的中点，AMN1AB同理可证MN1PC又：MNnAB=M,MNAPC=NA M N是 AB和 PC的公垂线。(2)在等腰在.角形 A N B”i,e AN=BN=*a,AB=Q,:,MN=T；AB=a即异面二直线A
18、B和PC之间的距离为变q.24 1空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 A.可能有3个，也可能有2个 B.可能有4个，也可能有3个C.可能有3个，也可能有1个 D.可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.4 2.下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形-定是平面图形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个
19、顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。4 3 .如果一条直线上有个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。4 4 .空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如 果 连 结 这 两 点 的 直 线 与 已 知 直 线，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2,推论3确定平面的条件。4 5 .三角
20、形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有 3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。4 6 .三条平行直线可以确定平面 个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每 两 条 确 定 个，可确定3 个。4 7 .画出满足下列条件的图形。(1)a D B=l,a U a ,b U B ,a D b=A(2)a C
21、 B=a,b U B ,b a解析：如 图 1-8-甲，1-8-乙EI-5图 1-848.经过平面a外两点A,B和平面a垂直的平面有儿个？解析：一个或无数多个。当 A,B不垂直于平面a时，只有一个。当 A,B垂直于平面a时，有无数多个。4 9 .设空间四边形 A B C D,E、F、G、H 分别是 A C、B C、D B、D A 的中点，若 A B=1 2 0 C D=4 J 5 ,且四边形E F G H 的面积为1 2 V 3 ,求 A B 和 C D 所成的角.解析：由三角形中位线的性质知，H G/Z B,H E Z C D,.z E H G 就是异面直线A B 和 C D 所成的角.E
22、F G H 是平行四边形，H G=-A B=6A/2 ,2H E=-,C D=2A/3 ，2ADSE F GH=H G-H E-s i n z E H G =1 2 V 6 s i n z E H G,/.1 2 7 6 s i n z E H G1 2 VL册二 5m傍=，故2 1 1 6=4 5。.2.A B 和 C D 所成的角为4 5。注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。5 0.点A是BCD所在平面外一点，AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD,和BC所成的角。（如图）解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、点，故EGZBC月.E G=!
23、BC,F G d D,且FG=A D,由异面直成角定义可知E G与 FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC角，即*G F 为所求。由 BC=AD 知 EG=GF=AD,又 EF=AD.2弦定理可得co s/G F=0,即/GF=90。求异面直线ADCD中线所所成由余注：本题的平移点是A C中点G,按定义过G分别作出了22两条异面直线的平行线，然后在4 E F G中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。5 1.已知空间四边形A B C D中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、A D的中点。求：A M与C N所成的角的
24、余弦值；解析：连接DM,过N作N EA M交D M于E,则NCNE为A M与C N所成的角。V N为A D的中点,N EA M省.N E=-A M且E为M D的中点。21 V3 V3 1 73设正四面体的棱长为1,则NC=且M E=-M D=2 2 4 2 43 1 7在 RtAM EC 中，CE2=ME2+CM2=+16 4 16令+令4C百 百.cosNCNE二CN、NE”-CE2-CN-NE234 4jr又；NCNE e （0,）22.异面直线AM与CN所成角的余弦值为一.3注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在4CEN外计算CE、CN、EN长，再回到4C
25、EN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或 钝 角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。5 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点 E、F分别是B C、AD上的点，已知A B=4,C D=2 0,E F=7,Af ftp 1-=-求异面直线A B 与 C D 所成的角。FD EC 3解析：在 B D 上取一点G,使 得 挺=,连结E G、FG CGD 3在 B C D 中，=,故 EG/CD,并且 匚EC GDEG BE GCD
26、BC4 A c D所以，EG=5；类似地，可证FG/AB,且 一=-AB AD 4故 F G=3,在 A E F G 中，利用余弦定理可得co s ZFG E，G?+G U*2=3 2+5 2-7 22 EG GF 2-3-5-,故/FGE=1 2 0 。2另一方面，由前所得EG/CD,FG/AB,所以E G 与 F G 所成的锐角等于A B 与 C D 所成的角，于是 A B 与 C D 所成的角等于60。5 3.在长方体A B C D-A B C D 中,A AFC,AB=a,AD=b,且 a b.求 A 3 与 BD所成的角的余弦.解一：连 A C,设 ACABD=0,则 0为 A C
27、中点，取 C 6 的中点F,连 OF,则 O FA C 1 且 0 F=A C 1,2所以/F OB 即为A C 1 与 D B 所成的角。在A F OB 中，O B 后+/,QF=-7 2+b2+C2,2 2B E=gp+32,由余弦定理得D1 5F B1 GD5A101 FCOBA-(a2+Z)2)+-(a2+h2+c2)-(b2+c2)2 ,2,4 4 4 a-bco s Z O B=-=02-y la2+b2 a2+b2+c2 a2+b2X a2+b2+c2)4解二：取 A G 中点0”Bi B中点G.在 CO G中，/C OG 即 A C 1 与 D B 所成的角。解三：.延长CD到
28、 E,使 ED=DC.则 ABDE为平行四边形.AEBD,所以/E A G 即为A G 与 BD所成的角.连ECi,在AEC1中，AE=A/O2+b2,A C 1=7 2+h2+c2,Cl E=，4 q2 +0 2 由余弦定理,得/，万 (2+Z 2)+(a2+b2+C2)-(4(72+C2)b2-a2co s N EAC=-=/=-=-1 =2-y j a2+b2-7 2+b2+c2 y (a2+b2)(a2+b2+c1)0所以N E A G 为钝角.根据异面直线所成角的定义，A。与 B D 所成的角的余弦为a2-b27(2+62)(2+b2+c2)54.己知A O是平面a的斜线，A 是斜足
29、，OB 垂直a,B 为垂足，则直线A B 是斜线在平面a内的射影，设 A C 是a内的任一条 直线，O解析：设 A O与 A B 所成角为以，A B 与 A C 所成角为仇，A O与A C 所成角为0,贝!有 co s。=co s。1-co s%。/4 JB/在三棱锥 s A B C 中，Z S A B=Z S A C=/Z ACB=9 0,A C =2,BC=43,SB=429 ,求异面直线S C 与 A B 所成角的大小。（略去了该题的1,2 问）由 SAJ _ 平面A B C 知，A C 为 S C 在平面A B C 内的射影,设异面直线S C 与 A B 所成角为9 ,贝 co s 0
30、 =co s Z S C A -co s N B A C ,由 A C =2,BC=5S B =4 得A B =后,SA=2 拒,S C =2c/.cos Z.SCA=，cos/BA C=-=，2 V17/.cos=H,即异面直线SC与AB所 成 角 为arccos亘17 1755.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且NCB=NCCD=NBCD=6 0,证明 QCIBD。（略去了该题的2,3问）解析：设G在平面ABCD内射影为H,贝I J CH为CXC在平面ABCD射影，内的/.cosZCCD-cosNCCH-cosZ.DCH,cos ZC,C5=cos ZC,C/cos ZBCH，由题意
31、NCiCD=NCCB,：.cos ZDCH=cosZBCH.又：NDCH/BCH 70,n)：.ZDCH=ZBCH,从而CH为ZDCB的平分线,又四边形ABCD是菱形，CHLBDG C与BD所成角为90,即CiCLBD56.在正四面体ABCD中，E,F分别为BC,AD的中点,求异面直线AE与CF所成角的大小。解析：连接BF、E F,易证ADL平面BFC,二EF为AE在平面BFC内的射影,设AE与CF所成角为0,:.cos 0=cos AAEF-cos Z.CFE,设正四面体的棱长为a,则=2显 然EF1BC,.EF=a2cos/A E FE F AEV6Tcos Z A F EE F _ 屈C
32、F2cos 0=3即AE.与CF所成角为2arccos。357.三棱柱0 4 8-平面。J_平面 OAB,NOQB =60,Z A O B=90。，且 08=OO、=2,O A=6（略去了该题的1问）求异面直线4 8与NO1所成角的大小,解析：在平面B O内作BC O O.T C,连4 C,由平面，平面 AOB,N A O B =9 0 知，AO _L 平面 B OO B,A OL B C ,又 N O c O a=O,.BCL平面O Q 4,4 c为4 6在平面4。0 1 4内的射影。设AB与z g所成角为。，4 c与A O所成角为外，则cos。=cosZ B AC-cos02,由题意易求得
33、BC=5AC=2,AB=5 ,cos/B A、CAXC _ 2港二77在矩形4 O g 4中易求得AyC与N Q所成角02的余弦值:2 14/.cos。=c o s/8 4 c os仇=,12 7即4 6与N Q所 成 角 为arccosy。5 8.已知异面直线。与6所成的角为50,P为空间定点，则过点P且与a,6所成的角均是30的直线有且只有（）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条解析：过空间一点P作。，b/b,则由异面直线所成角的定义知：。与6的交角为50,过P与a ,Z/成等角的直线与a,6亦成等角，设a ,6确定平面a,a,6交角的平分线为/,则过/且与a垂直的平面（设为0）内的任一
34、直线/与a,6成 等 角（证明从略），由上述结论知：/与a,b所成角大于或等于/与a ,从所成角2 5,这样在p内/的两侧与a,从成3 0 角的直线各有一条，共两条。在a,d相交的另一个角1 3 0 内，同样可以作过1 3 0 角平分线且与a垂直的平面丫，由上述结论知，丫内任一直线与a ,6所成角大于或等于65,所以y内没有符合要求的直线，因此过P与a,6成3 0 的直线有且只有2条，故 选（B）59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：D60.1卜1 2是两条异面直线，直线晒、m 2与1卜1 2都相交，则 g、m 2的位置关系是（)A.异面
35、或平行B.相交C.异面D.相交或异面61.在正方体A B C D-A B O中，与棱AA，异面的直线共有几条（）A.4 B.6C.8 D.1 0解 析:A62.在正方体人8 口9 E0中1 2条棱中能组成异面直线的总对数是（）A.4 8 对C.1 2 对B.2 4 对D.6对解析：B次，共有24对.棱 AA，有 4 条与之异面，所以，所有棱能组成4 X 12=48对，但每一对都重复计算6 3.正方体A B C D-A B O 中，异面直线CD，和 BC，所成的角的度数是（）A.45C.9O0B.60D.120解析：BZAD,C=60即为异面直线CD，和 B C 所成的角的度数为6064.异面直
36、线a、b,aJ_b,c 与 a 成 3 0 角，则 c 与 b 成角的范围是()fi ilB.TT I Tb 成角的最小值是60C在位置c2时，它与b 成角的最大值为9 0 ，直线c 在 c l 位置时，它与65.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点 M 在边AB上运动、点 Q 在边CD上运动,则 P、Q 的最短距离为()1A23Gr4解析：B当 M,N分别为中点时。因为AB,CD 为异面直线，所以M,N 的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连 接 BN,AN则CD1BN,CD1AN 1.AN=BN,所以 NMlABo 同理，连接 CM,MD 可得 MNJLCD。所以
37、MN 为 AB,CDJBN2-B M 2=*=的公垂线。因为AN=BN=2 所以在RTZBMN中，MN=求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF=J 3,则 AD,BC所成的角为()A.30 B.60C.90 D.I20cosZEMF=12+12.(0 2 12AA=-2解 B注:面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝形，望大家注意。同
38、时求角的大小是先证明再求解这一基本过67.直线a 是平面a 的斜线，b 在平。内，已知a 与 b 成 60考察异成的角角三角程。的角，且b与a在平a内的射影成4 5 角时，a与a所成的角是（）A.450 B.60C.90 D.135解AAGa,A在a 内的射影是C,则AC_L a于C,ABb于B,则OBJ_平面ABC.OB_LBCOC OBV cosZAOC=-r-r COSZAOB=COS60=7-TOA OAOB OCcosZ BOC=cos45=-:.cosZAOC=-cosZAOBcosZBOCcos60cos454.N A O X 5。68.m和n是分别在两个互相垂直的面a、B内的两
39、条直线，a与R交于1,m和n与1既不垂直,也不平行，那么m和n的位置关系是A.可能垂直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾,且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。设m/n,由于m在B外，n在B内，:.m/P而。过m与B交于1A m/Zl,这与已知矛盾,A m不平行n.设m _Ln,在B内作直线。JL1,a B,A a a,，m_La.又由于n和a共而且相交（若a/n贝l|n _ L L与已知矛盾），m_L 3,m_Ll与已知矛盾、.
40、m和n不能垂直.综上所述，应 选（D）.6 9.如图，ABCD-A|BiGDi是正方体，E、F 分别是AD、DD|的中点，则面EFQB和面BCQ所成二面角的正切值等于4、n B.下C.5 D,J1解析：为了作出二面角E-B J-C 的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另个面引垂线（这是用故二面角 E-BCi-C 等于 arctgVS.H三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或 F）作面BCG的垂线.解析：过 E 作 E H L B C,垂足为H.过 H 作 HG_LBG，Vffi ABCDlffi BCCi，而 EHJ_BC：EH_L面 BEC,EG是面BCC,的斜
41、线，HG是斜线EG在面BCC,内的射影.VHG1BC.,.EGIBCJ,ZEGH是二面角E-BCpC的平面角。阻 2在 RtZBCC|中：s in/C|B C=g =存HG在 RtZBHG 中：sin/G B C=3 H_2_x2 _ 1；.HG=J 2二 百（设底面边长为1）.而 EH=1,在 RtZXEHG 中：tg/E G H=/G.ZEGH=arctgV5T 1Pj ctA B垂足为G连 EG.仙_ m AB C lO B DVD E 1 0BA D E l f f i A B C.由 cosZDOB=2,知 sinZDOE=2磁Xs mZ D巫2E=D#一242-1近41-3应 选(
42、B)17 1.球面上有三个点A、B、C.A和 B,A和 C间的球面距离等于大圆周长的6.B和 C间的球面距离等于大圆周长的4.如果球的半径是R,那么球心到截面A B C 的距离等于A-R B逮 R C/?D)-R2 2 2 3解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.如图所示，圆 0 是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C 的小圆的直径，弦心距0 D 就是球心O 到截面ABC的距离，0 E 是球的半径，因此，欲求0 D,需先求出截面圆ABC的半径.下一个图是过A、B、C 的小圆.AB、AC、C B是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、ZkCOB中
43、求得(0 是球心).由于A、B 间球面距离是大圆周长的6，所以NA0B=6 X2 JT=3,同理NAOC=3,ZBOC=2.,.|AB|=R,|AC|=R,|B C|=0&.在 ABC 中，由于 AB?+AC2=BC2.ZBAC=90,BC是小圆ABC的直径.|ED|=2从而 IOD|=2.故应选B.72.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL底面A B C D,该图中，互相垂直的面有p cA.4对 B.5对 C.6对 D.7对答 案(D)解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏73.ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是aABC的垂心，那么AB和 DM所成的角等于
44、A解析：9 0 连 C M 交 A B 于 N,连 D N,易知N是 A B 中点，A B C N,A B 1 D N.7 4.已知P A _ L 矩形A BCD所在平面，M、N分别是A B、PC的中点.（1）求证：M N C D；(2)若N P D A=4 5 ,求证 M N _ L 面 P C D.(1 2 分)解析:取PD中点E,乂N为PC中点,连NE,则NE/CD,N E=-CD.2义0 A M i I CD,A M=-C D,A M/N E,:.四边形/肋VE为可2=:.M N/AEPA 1 平面/5C。CD u A B C DCD 1PACD L A DCOJ平面 NOP C H
45、内占 e=p H b=CL _L 土：以旦攸八 二垂线定理,AE u 平面ZQPj(2)当NPD4=45。时，放A H。为等腰直角三角形则4E 1 PD,又MN/AE,：.M N A.P D,PDc CD=DM N _L 平面PCD7 5.设 P、Q是单位正方体AG的面A A 1 D 1 D、面 A|B Q D|的中心。如图：（1）证明：P Q 平面A A|（2）求线段PQ的长。（1 2 分）证法一：取”4,4打的中点、M,N,连结MV,NQ,MP0 MPII4D,MP=；AD,NQU/Q,N0=；At DtMPII NDiLMP=ND.四边形尸QMI/为平行四边形:.PQ/M N0 MN u
46、 面 力4 B,B,PQ（X 面/4 B、B尸0 面证法二:连 结,/名,在中，显然P,0分 别 是,D,B的中点:.PQH AB,3.PQAB,。202面4438,8 u 面P 0 面”4与8(2)方法一：PQ=MN=J 4 +4 P 2 =a方法二:PQ=g物=”,评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边斗平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平较多。证得“线面,本题证法76.如 图，已知 a c 0 =I,EA 上 crFJ,EB _L 阡B,求证a/1解析：EA _L a,EB _L par(3=/ZEJ111 EBn /_L 平面Z/8又 。u a,4
47、_L a,。_ L E4又。平面43?.a/.7 7.如图，A B C D为正方形，过A作线段S A L面A B C D,又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）解析:“_ L 平面/BCZ”n S4 1 BC8C u 平面Z8CQ J又。NB J.BC,SA cAB=A,:.BC1 平面”8.BC 1 AE SC _ L 平面4/7KESC 1 AE又 BCcSC=C:.AE _ L 5PfntS8CAE 1 SB,即E为Z在SB上的射影.用理可证,H是点4在SO上的射影.7 8.在正方体ABCDAiBiCiD”G 为
48、 CC1的中点，0 为底面ABCD的中心。求证：AQ_L平面GBD(14分)解析：A,ALBD 8O_L 平面AC1BD =40m)的线段PQ 的两个端点分别在a、b 上移动，M、N 分别是AB、PQ 的中点.(1)求证：AB1M N；(2)求证：M N的长是定值(14解析:取尸8 中点,连结 V,则 N 8又。ABA-bAB 1 H N同理4 8 1 MHAB 1 平面MWAB 1 平面M M HAB V M NbLAB TH,(2)0 =J L 平面I B b _ L P 8.b L a J在M A P 8 Q 中,B Q?=PQ2-PB1=N2-尸 8 2 A (1)在R/A P B N
49、 中，尸/2=PB2-AB2=PB2-机2 A(2)(1),(2)两式相加尸才+BQ?=n2-m20 a 1 b,:.Z M H N =9 0nM N =y M H2+N H2=二 定 值)8 0 .已知：平面a 与平面力相交于直线0,直线b 与a、6都平行，求证：b/a.证明：在“上取点P,和P确定平面y 设7与a 交于a,y与/3交于 a”：b a 且 6 B：.6,且/)。”/.。与a”重合，而a u a,a u 0,实际上是a、a。三线重合，a/b.8 1 .有三个几何事实(a,6表示直线，a 表示平面)，a/b,a a,b a.其中，a,b 在面a外.用其中两个事实作为条件，另一个事
50、实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪.正确的给出证明，错误的举出反例.解析：I :a/ba/a =h/a6在a外I I ：a/hb/a =a/a。在a外I、I I是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行.证明：过a作 平 面 与a交 于.a/aa/a而 a/b/.6 ,且b在二外，在。内b/a.I ll：a/a/bb/a命题：平行于同一个平面的两条直线平行,这是错的，如有图8 2.两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行.已知：a、是两个平面，直线/J _ a,/J _ 4，垂足分别为力、B.求证：。夕 思 路1：根