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1、7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1 基础知识 自主学习PART ONE一元二次不等式的解集知识梳理ZHISHISHULI判别式 b24ac 0 0 0)的图象方程ax2bx c 0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集 _ x|xRax2bx c0)的解集_ _x|xx2x|x1 xx2 1.一 元 二 次 不 等 式ax2bx c0(a0)的 解 集 与 其 对 应 的 函 数y ax2bx c 的图象有什么关系？提示 ax2bx c0(a0)的 解 集 就 是 其 对 应 函
2、 数y ax2bx c 的 图 象 在x轴上方的部分所对应的x 的取值范围.【概念方法微思考】2.一元二次不等式ax2bx c0(0)恒成立的条件是什么？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bx c0.()(2)若 不 等 式ax2bx c0 的 解 集 是(，x1)(x2，)，则 方 程ax2bx c0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bx c 0(a0)没有实数根，则不等式ax2bx c0 的解集为R.()(4)不等式ax2bx c0在R 上恒成立的条件是a0 且 b24ac0.()(5)若 二 次 函 数y ax2bx c 的 图
3、 象 开 口 向 下，则 不 等 式ax2bx c0 的 解 集一定不是空集.()基础自测JICHUZICE1 2 3 4 5 6题组二教材改编2.P80A 组T4 已知集合A x|x2x 60，则RA 等于A.x|2x3B.x|2x3C.x|x3D.x|x2x|x31 2 3 4 5 63.P80A 组T2 y log2(3x22x 2)的定义域是_.1 2 3 4 5 6解析由题意，得3x22x 20，3x22x 20 的解集为4.不等式x23x 40 的解集为_.(用区间表示)1 2 3 4 5 6(4，1)题组三易错自纠解析由x23x 40 可知，(x 4)(x 1)0，得4x1.1
4、2 3 4 5 6ab14.146.不等式(a2)x22(a2)x 40，对一切xR 恒成立，则实数a的取值范围是A.(，2 B.(2，2 C.(2，2)D.(，2)另a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.故选B.1 2 3 4 5 62 题型分类深度剖析PART TWO题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019 乌 鲁 木 齐 模 拟)已 知 集 合A x|x2x 20，B y|y 2x，则AB 等于A.(1，2)B.(2，1)C.(0，1)D.(0，2)解析由题意得A x|x2x 20 x|1x0，AB x|0 x2(0，2).故选D.多维探究命题点2含参不等式解
5、原不等式变为(ax 1)(x 1)0，例2解关于x 的不等式ax2(a1)x 10).当a1时，解集为；当a1时，不等式的解集为；对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式 判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华跟踪训练1解不等式12x2axa2(aR).解原不等式可化为12x2ax a20，即(4x a)(3x a)0，令(4x a)(3x a)0，当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；题型二一元二次不等式恒成立问题例3 已 知 函 数f(x)mx2mx 1.若 对 于xR，f(x)0 恒 成 立，求
6、实 数m 的取值范围.多维探究解当m 0时，f(x)10 恒成立.命题点1在R上的恒成立问题综上，4m0，故m 的取值范围是(4，0.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4 已 知 函 数f(x)mx2mx 1.若 对 于x1，3，f(x)5 m 恒 成 立，求 实 数m 的取值范围.1.若 将“f(x)5 m 恒 成 立”改 为“f(x)5 m 无 解”，如 何 求m 的 取 值 范 围？解若f(x)5 m 无解，即f(x)5m 恒成立，得m6，即m 的取值范围为6，).引申探究2.若 将“f(x)5 m 恒 成 立”改 为“存 在x，使f(x)5 m 成 立”，如 何 求m 的取值范围？解由
7、题意知f(x)5 m 有解，又x1，3，得m6，即m 的取值范围为(，6).命题点3给定参数范围的恒成立问题解 设g(m)mx2mx 1(x2x)m 1，其 图 象 是 直 线，当m1，2 时，图象为一条线段，例5若mx2mx 10 对于m1，2 恒成立，求实数x 的取值范围.解 决 恒 成 立 问 题 一 定 要 搞 清 谁 是 主 元，谁 是 参 数，一 般 地，知 道 谁 的 范 围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华跟踪训练2函数f(x)x2ax 3.(1)当xR 时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；解当xR 时，x2ax 3a0恒成立，需 a24(3 a)0，即a24
8、a120，实数a的取值范围是 6，2.(2)当x 2，2 时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4，6 时，f(x)0恒成立，求实数x 的取值范围.解令h(a)xa x23.当a4，6 时，h(a)0恒成立.3 课时作业PART THREE一、选择题1.(2019 湖 北 稳 派 教 育 联 考)已 知 集 合A x|x0，B x|(x 1)(x 5)0，则AB 等于A.1，4)B.0，5)C.1，4 D.4，1)4，5)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析由题意得B x|1x5，故AB x|x0 x|1x5 0，5).故选B.2.(2
9、018 沈 阳 二 十 中 联 考)若 不 等 式ax2bx 20 的 解 集 为x|1x0 的解集为C.x|2x1 D.x|x1解析不等式ax2bx 20 的解集为x|1x2，ax2bx 20的两根为1，2，且a0，A.(3，0)B.3，0 C.3，0)D.(3，01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解得3k0.4.若存在实数x2，4，使x22x 5mx22x 5，设f(x)x22x 5(x 1)24，x2，4，当x 2时f(x)min5，x2，4使x22x 5mf(x)min，m5.故选B.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10、14 15 165.若不等式x2(a1)x a0的解集是 4，3 的子集，则a的取值范围是A.4，1 B.4，3C.1，3 D.1，31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析 原 不 等 式 为(x a)(x 1)0，当a1 时，不 等 式 的 解 集 为a，1，此 时 只要a4即可，即4a1 时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.6.若不等式x2ax 20 在区间1，5 上有解，则a的取值范围是所 以 方 程 必 有 一 正 根，一 负 根，对 应 二 次 函 数 图 象 的 示 意 图如图.所以不等式在区间1，5 上有
11、解的充要条件是f(5)0，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析由 a280 知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，7.在 关 于x 的 不 等 式x2(a1)x a0 的 解 集 中 至 多 包 含1个 整 数，则a的 取 值 范围是A.(3，5)B.(2，4)C.1，3 D.2，41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析 因为关于x 的不等式x2(a1)x a0 可化为(x 1)(x a)1 时，不等式的解集为x|1xa，当a1 时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包
12、含1个整数，则a1或1a1，所以实数a的取值范围是a 1，3，故选C.8.设a0，(4x2a)(2x b)0在(a，b)上恒成立，则ba的最大值为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16二、填空题9.(2018 全国名校大联考)不等式x22ax 3a20)的解集为_.x|ax3a解析x22ax 3a20(x 3a)(x a)0，a3a，不等式的解集为x|ax3a.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析当x0 时，原不等式等价于x21，解得x1；当x0 时，原不等式等价于x21，解得1x0.1 2 3 4 5 6 7
13、8 9 10 11 12 13 14 15 16(1，0)(1，)11.若关于x 的不等式x2ax a0 的解集为R，则实数a的取值范围是_.(4，0)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解析因为x2ax a0 的解集为R，所以(a)24(a)0，解得4a0，故实数a的取值范围是(4，0).(1，0解得1x0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1613.若不等式x2ax 40对一切x(0，1 恒成立，则a的取值范围为_.5，)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16则只要af(x)
14、max即可.由于函数f(x)在区间(0，1 上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.14.已 知 对 于 任 意 的x(，1)(5，)，都 有x22(a2)x a0，则 实数a的取值范围是_.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16(1，51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解f(x)3x2a(6 a)x 6，f(1)3a(6 a)6a26a30，三、解答题15.已知f(x)3x2a(6 a)x 6.(1)解关于a的不等式f(1)0；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
15、解f(x)b的解集为(1，3)，方程3x2a(6 a)x 6b0的两根为1，3，(2)若不等式f(x)b的解集为(1，3)，求实数a，b的值.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解f(x)2x2bx c，不等式f(x)0 的解集是(0，5)，即2x2bx c0 的解集是(0，5)，0和5是方程2x2bx c 0的两个根，b10，c 0，f(x)2x210 x.16.已知f(x)2x2bx c，不等式f(x)0 的解集是(0，5).(1)求f(x)的解析式；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16解f(x)t2恒成立等价于2x210 x t 20恒成立，2x210 x t 2在x 1，1 上的最大值小于或等于0.设g(x)2x210 x t 2，x 1，1，则由二次函数的图象可知g(x)2x210 x t 2在区间 1，1 上为减函数，g(x)maxg(1)10t，10t0，即t10.(2)若对于任意的x 1，1，不等式f(x)t2恒成立，求t 的取值范围.7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式、推理与证明