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1、第一单元 图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。1、轴对称:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（1） 学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等腰三角形有 1 条对称轴， 等边三角形有 3 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴， 正方形有 4 条对称轴， 等腰梯形有 1 条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。（2） 圆有无数条对称轴。（3） 对称点到对称轴的距离相等。（4） 轴对称图形的特征和性质：对应点到对称轴的距离相等；对应点的连线与对称轴垂直；对称轴两边的图形大小、形状完全相同。（
2、5） 对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。2、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。（1） 生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车（2） 旋转要明确绕点，角度和方向。（3） 长方形绕中点旋转 180 度与原来重合，正方形绕中点旋转 90 度与原来重合。等边三角形绕中点旋转 120 度与原来重合。旋转的性质：（1） 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2） 其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）
3、旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4） 两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5） 旋转中心是唯一不动的点。3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数第二单元 因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。例：12 是 6 的倍数，6 是 12 的因数。（1） 数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2） 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身
4、。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。（3） 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5 的倍数特征1） 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。2） 一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。3） 个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。4） 能同时被 2、3、5 整除（也就是 2、3、5 的倍数）的最大的两位数是 90，最小的三位数是 120。同时满足 2、3、5 的倍数，实际是求 235=30 的倍数。5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是0。3、完全数：除了它本身以外
5、所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6 的因数有：1、2、3（6 除外），刚好 1+2+3=6，所以 6 是完全数，小的完全数有 6、28 等4：自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被 2 整除的数。叫奇数。也就是个位上是 1、3、5、7、9 的数。偶数：能被 2 整除的数叫偶数（0 也是偶数），也就是个位上是 0、2、4、6、8 的数。最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 关系： 奇数+、- 偶数=奇数奇数+、- 奇数=偶数偶数+、-偶数=偶数。5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类。质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。合数：除了 1 和它本身
6、还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是 2，最小的合数是 4，连续的两个质数是 2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）100 以内的质数有 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系：奇数奇数=奇数质数质数
7、=合数6、最大、最小A 的最小因数是：1； A 的最大因数是：A； A 的最小倍数是：A； 最小的自然数是：0； 最小的奇数是：1； 最小的偶数是：0； 最小的质数是：2； 最小的合数是：4。7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30 分解质因数是：（30=235）8、互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 和 7两个合数的互质数：8 和 9 一质一合的互质数：7 和 8 两数互质的特殊情况：1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数一定互质；2 和所有奇数互质；质数与比它小的合数互
8、质； 9、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。10、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的
9、最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。11、求最大公因数和最小公倍数方法用 12 和 16 来举例1、求法一：（列举求同法） 最大公因数的求法：12 的因数有：1、12、2、6、3、416 的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是 4最小公倍数的求法：12 的倍数有：12、24、36、48、16 的倍数有：16、32、48、 最小公倍数是 482、求法二：（分解质因数法）12=22316=2222最大公因数是： 22=4（相同乘） 最小公倍数是：22322= 48（相同乘不同乘）第三单元 长方体和正方体1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体
10、图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、 高。长方体特点：（1） 有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。（2） 一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形， 最多有 2 个面是正方形。2、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体特点：（1） 正方体有 12 条棱，它们的长度都相等。（2） 正方体有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3） 正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。3、长方体、正方
11、体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）4长4+宽4+高4 L=（abh）4长=棱长总和4宽 高a=L4bh宽=棱长总和4长 高b=L4ah高=棱长总和4长 宽h=L4ab正方体的棱长总和=棱长12 L=a12正方体的棱长=棱长总和12 a=L124、长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 S=2（abahbh）无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长高宽高）2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab无底又无盖长方体表面积=（长高宽高）2 S=2（ahbh）贴墙纸正方体的表面积=棱长棱长6 S=aa6 用字母表示：S= 6a2
12、生活实际：油箱、罐头盒等都是 6 个面 游泳池、鱼缸等都只有 5 个面水管、烟囱等都只有 4 个面。注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h= Vab 正方体的体积=棱长棱长棱长V=aaa = a3读作“a 的立方”表示 3 个a 相乘，（即 aaa） 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（
13、或正方体）的体积=底面积高用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L 和ml。1 升=1 立方分米1 毫升=1 立方厘米1 升=1000 毫升(1L = 1dm3 1ml = 1cm3)长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。 但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍
14、数的立方倍。（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V 物体 =V 现在V 原来也可以 V 物体 =S(h 现在- h 原来) V 物体 =Sh 升高8、【体积单位换算】大单位进率=小单位小单位进率=大单位进率：1 立方米1000 立方分米1000000 立方厘米（立方相邻单位进率 1000）1 立方分米1000 立方厘米1 升1000 毫升1 立方厘米1 毫升1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米注意：长方体与正方体关系把
15、长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率大单位进率=小单位小单位进率=大单位长度单位：1 千米 =1000 米 1 分米=10 厘米1 厘米=10 毫米 1 分米=100 毫米1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米（相邻单位进率 10） 面积单位：1 平方千米=100 公顷1 平方米=100 平方分米1 平方分米=100 平方厘米1 公顷=10000 平方米（平方相邻单位进率 100） 质量单位：1 吨=1000 千克1 千克=1000 克人民币：1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分第四单元 分
16、数的意义和性质1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”：一个整体可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 4/5 的分数单位是 1/5。4、分数与除法AB=A/B（B0，除数不能为 0，分母也不能够为 0） 例如： 45=4/55、真分数和假分数、带分数1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数13、带分数：带分
17、数由整数和真分数组成的分数。带分数1.4、真分数1假分数真分数1带分数6、假分数与整数、带分数的互化（1） 假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如：（2） 整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：（3） 带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：（4）1 等于任何分子和分母相同的分数。如：7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含其他的质因数， 就能够化成有限小数
18、。反之则不可以。9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。如：24/30=4/510、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：2/5 和 1/4 可以化成 8/20 和 5/2011、分数和小数的互化（1） 小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小数，分母是 100如：0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000（2） 分数化为小数：方法一：把分数化为分母是 10、100、1000 如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.61/4=25/100=0.25方法二：用分子分母如：3/4=34=0.75（3
19、） 带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数12、比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大； 分子相同，分母小，分数才大。分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.751/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.64/5=0.81/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.0414、两个数互质的特殊判断方法： 1 和任何大于 1 的自然数互质。 2 和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。15、求最大公因数的方法： 倍数关系：最大公因数就是较小数。 互质关系：最大公因数就是 1 一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。16、分数知识图解：