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1、会计学 1正态分布详解(xin ji)第一页，共39页。正态分布是应用最广泛(gungfn)的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以(suy)通常称为高斯分布.德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似(jn s)公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.第 1页/共 39页第二页，共39页。不知你们是否注意到街头的一种(y zhn)赌博活动?用一个钉板作赌具。街头(jitu)请看第 2页/共 39页第三页，共39页。也许很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而(rn r)中大奖的概率实在是太低了。第 3页/共 39页第四页，共39页。下面我
2、们在计算机上模拟这个(zh ge)游戏：街头(jitu)赌博高尔顿钉板试验(shyn)第 4页/共 39页第五页，共39页。平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数(csh)增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。第 5页/共 39页第六页，共39页。高尔顿钉板试验这条曲线(qxin)就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线(qxin)。第 6页/共 39页第七页，共39页。正态分布的定义(dngy)是什么呢？对于(duy)连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。第 7页/共 39页第八页，共39页。一、正态分布的定义(
3、dngy)若r.v X的概率密度为记作 f(x)所确定(qudng)的曲线叫作正态曲线.其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.第 8页/共 39页第九页，共39页。正态分布有些(yuxi)什么性质呢？由于(yuy)连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。正态分布请看演示(ynsh)第 9页/共 39页第十页，共39页。二、正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间(zhngjin)大，左右对称”.第 10页/共 39页第十一页，共39页。决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程
4、度.正态分布 的图形特点第 1 1页/共 39页第十二页，共39页。能不能根据(gnj)密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？容易(rngy)看到，f(x)0即整个概率密度曲线(qxin)都在x轴的上方;第 12页/共 39页第十三页，共39页。故f(x)以为对称轴，并在x=处达到(d do)最大值:令x=+c,x=-c(c0),分别(fnbi)代入f(x),可得f(+c)=f(-c)且 f(+c)f(),f(-c)f()第 13页/共 39页第十四页，共39页。这说明曲线 f(x)向左右(zuyu)伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。当x 时，f(x)0,第 14页/共
5、39页第十五页，共39页。用求导的方法(fngf)可以证明，为f(x)的两个(lin)拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容(nirng)，如果忘记了，课下再复习一下。第 15页/共 39页第十六页，共39页。根据对密度函数的分析(fnx)，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。第 16页/共 39页第十七页，共39页。回忆我们(w men)在本章第三讲中遇到过的年降雨量问题，我们(w men)用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以(ky)初步看出，年降雨量近似服从正态分布。第 17页/共 39页第十八页，共39页。下面(xi mian)是我们用某大学男大学生的身高的数据
6、画出的频率直方图。红线是拟合(n h)的正态密度曲线可见(kjin)，某大学男大学生的身高应服从正态分布。第 18页/共 39页第十九页，共39页。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人 数 大 致 相 近，这 从 一 个 方 面 反 映(fnyng)了服从正态分布的随机变量的特点。第 19页/共 39页第二十页，共39页。请同学们想一想，实际生活中具有这种特点(tdin)的随机变量还有那些呢？第 20页/共 39页第二十一页，共39页。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维(xinwi)的强度和张力
7、；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.第 21页/共 39页第二十二页，共39页。服从正态分布 的随机变量X的概率密度是X 的分布函数(hnsh)P(Xx)是怎样的呢？第 22页/共 39页第二十三页，共39页。设X,X的分布函数是第 23页/共 39页第二十四页，共39页。正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时(tngsh)，是不同的正态分布。标准(biozhn)正态分布下面我们介绍一种(y zhn)最重要的正态分布第 24页/共 39页第二十五页，共39页。三、标准(biozhn)正态分布的正态分布称为标准正态分
8、布.其密度函数和分布函数常用 和 表示：第 25页/共 39页第二十六页，共39页。它的依据是下面(xi mian)的定理：标准正态分布的重要性在于(ziy)，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数(hnsh)制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则 N(0,1)设定理1第 26页/共 39页第二十七页，共39页。书末附有标准正态分布函数(hnsh)数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表表中给的是x0时,(x)的值.当-x0时第 27页/共 39页第二十八页，共39页。若N(0,1)若 XN(0
9、,1),第 28页/共 39页第二十九页，共39页。由标准正态分布的查表计算(j sun)可以求得，这说明，X的取值几乎(jh)全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当XN(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826 P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3 准则第 29页/共 39页第三十页，共39页。将上述(shngsh)结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.第 30页/共 39页第三十一页，共39页。上一讲我们已经看到，
10、当n很大，p接近(jijn)0或1时，二项分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近(jijn)于0或1，那么可以证明，二项分布近似于正态分布.下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛拉普拉斯定理.它是第五章要介绍的中心(zhngxn)极限定理的一个最重要的特殊情况.第 31页/共 39页第三十二页，共39页。六、二项分布的正态近似(jn s)定理(dngl)(棣莫佛拉普拉斯定理(dngl)）设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(n
11、p,np(1-p).第 32页/共 39页第三十三页，共39页。二项分布的正态近似(jn s)实用中，n 30，np 10时正态近似的效果较好.见教学软件中的计算机演示(ynsh)第 33页/共 39页第三十四页，共39页。例1 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理(hl)?试说明理由.解:设X为10000次试验中出现正面(zhngmin)的次数，采用(ciyng)正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬币是均匀的，XB(10000，0.5),近似正态分布N(0,1).即第 34页/共 39页第三十五页，共39页。=1-(16)0此概率接近
12、于0，故认为这枚硬币不均匀(jnyn)是合理的.P(X5800)=1-P(X5800)近似(jn s)正态分布N(0,1).第 35页/共 39页第三十六页，共39页。例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计(shj)的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?解:设车门高度为h cm,按设计(shj)要求P(X h)0.01或 P(X h)0.99，下面我们(w men)来求满足上式的最小的 h.再看一个应用正态分布的例子:第 36页/共 39页第三十七页，共39页。因为(yn wi)XN(170,62),故 P(X0.99所以=2.33,即 h=170+13.98 184设计车门(chmn)高度为184厘米时，可使男子与车门(chmn)碰头机会不超过0.01.P(X h)0.99 求满足 的最小的 h.第 37页/共 39页第三十八页，共39页。这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛(gungfn)，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象(xinxing)都近似服从正态分布.第 38页/共 39页第三十九页，共39页。