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1、会计学1正态分布详解正态分布详解(xin ji)讲义讲义第一页，共39页。正态分布是应用最广正态分布是应用最广泛的一种泛的一种(y zhn)连续型连续型分布分布.正态分布在十九世纪前叶由高正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常斯加以推广，所以通常(tngchng)(tngchng)称为高斯分布称为高斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现德莫佛最早发现(fxin)(fxin)了二了二项概率的一个近似公式，这一公式项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面被认为是正态分布的首次露面.第1页/共39页第二页，共39页。不知你们是否注意到街头的一种赌博不知你们是否注意到街头的一种赌
2、博(db)(db)活动活动?用一个钉板作赌具。用一个钉板作赌具。街头街头(jitu)请看请看第2页/共39页第三页，共39页。也许(yx)很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。第3页/共39页第四页，共39页。下面我们在计算机上模拟这个下面我们在计算机上模拟这个(zh ge)(zh ge)游戏：游戏：街头街头(jitu)赌赌博博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验(shyn)第4页/共39页第五页，共39页。平平时时，我我们们很很少少有有人人(yu(yu rn)rn)会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不
3、不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。现，最后得出的竟是一条优美的曲线。第5页/共39页第六页，共39页。高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍这条曲线就近似我们将要介绍(jisho)(jisho)的正态分布的密度的正态分布的密度曲线。曲线。第6页/共39页第七页，共39页。正态分布的定义正态分布的定义(dngy)是什么是什么呢？呢？对于对于(duy)连续型随机变量，一般是连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。给出它的概率密度函数。第7页/共39页第八页，共3
4、9页。一、正态分布的定义一、正态分布的定义(dngy)若若r.v X的的概率密度为概率密度为记作记作 f(x)所确定所确定(qudng)的曲线叫作正态曲线的曲线叫作正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.第8页/共39页第九页，共39页。正态分布有些什么正态分布有些什么(shn me)性质性质呢？呢？由于连续型随机变量唯一地由它的由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么的密度函数有什么(shn me)特点。特点。正态分布正态分布请看演示请看
5、演示(ynsh)第9页/共39页第十页，共39页。二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右两头小，中间大，左右(zuyu)(zuyu)对称对称”.”.第10页/共39页第十一页，共39页。决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点第11页/共39页第十二页，共39页。能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形得出正态分布的图形(txng)特点呢？
6、特点呢？容易容易(rngy)看到，看到，f(x)0即整个即整个(zhngg)(zhngg)概率密度曲线都在概率密度曲线都在x x轴的上方轴的上方;第12页/共39页第十三页，共39页。故故f(x)f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=x=处达到处达到(d(d do)do)最大值最大值:令令x=+c,x=-c(c0),x=+c,x=-c(c0),分别分别(fnbi)(fnbi)代入代入f(x),f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()第13页/共39页第十四页，共39页。这说明曲线这说明曲线 f(x)f(x)向左右向左右(zuyu)(zuyu)伸展时
7、，越伸展时，越来越贴近来越贴近x x轴。即轴。即f(x)f(x)以以x x轴为渐近线。轴为渐近线。当当x 时，时，f(x)0,第14页/共39页第十五页，共39页。用求导的方法用求导的方法(fngf)(fngf)可以证可以证明，明，为为f(x)f(x)的两个的两个(lin)(lin)拐点的横坐标。拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习再复习(fx)一下。一下。第15页/共39页第十六页，共39页。根据对密度函数的分析根据对密度函数的分析(fnx)(fnx)，也可初步画，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。出正态分布的概率密度曲线图。第
8、16页/共39页第十七页，共39页。回回忆忆我我们们在在本本章章第第三三讲讲中中遇遇到到过过的的年年降降雨雨量量问问题题(wnt)，我我们们用用上上海海99年年年年降降雨雨量量的的数据画出了频率直方图。数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出从直方图，我们可以初步看出(kn ch)，年降雨量近似服从正态分布。年降雨量近似服从正态分布。第17页/共39页第十八页，共39页。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据下面是我们用某大学男大学生的身高的数据(shj)画出的频率直方图。画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度密度(md)曲曲线线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男
9、大学生的身高(shn o)应服从正态分布。应服从正态分布。第18页/共39页第十九页，共39页。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材(shnci)的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反映了服从正态分布的随机变量的特点。反映了服从正态分布的随机变量的特点。第19页/共39页第二十页，共39页。请请 同同 学学 们们 想想 一一 想想，实实 际际 生生 活活(shnghu)中中具具有有这这种种特特点点的的随随机机变变量还有那些呢？量还有那些呢？第20页/共39页第二十一页
10、，共39页。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外高外,在正常条件下各种在正常条件下各种(zhn)(zhn)产品的质产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布等等，都服从或近似服从正态分布.第21页/共39页第二十二页，共39页。服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是X的分布函数的分布函数(hnsh)P
11、(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？第22页/共39页第二十三页，共39页。设设X ,X的分布函数是的分布函数是第23页/共39页第二十四页，共39页。正态分布由它的两个正态分布由它的两个(lin)(lin)参参数数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，不同时，是不同的正态分布。是不同的正态分布。标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布下面我们介绍一种下面我们介绍一种(y zhn)(y zhn)最重要的正态分布最重要的正态分布第24页/共39页第二十五页，共39页。三、标准三、标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布
12、.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：第25页/共39页第二十六页，共39页。它的依据是下面它的依据是下面(xi mian)的定理：的定理：标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布的重要性在于，任正态分布的重要性在于，任何一个何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算率计算(j sun)(j sun)问题问
13、题.,则则 N(0,1)设设定理定理1第26页/共39页第二十七页，共39页。书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以可以(ky)(ky)解决一般正态分布的概率计算查表解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表四、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x0时时第27页/共39页第二十八页，共39页。若若N(0,1)若若 XN(0,1),第28页/共39页第二十九页，共39页。由标准由标准(biozhn)(biozhn)正态分布的查表计算可以求得，正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X X的取值几乎全部集中在的取值几
14、乎全部集中在-3,3-3,3区间区间(q jin)(q jin)内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 准则准则第29页/共39页第三十页，共39页。将上述结论推广将上述结论推广(tugung)(tugung)到一般的正态分布到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上
15、称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.第30页/共39页第三十一页，共39页。上一讲我们已经看到，当上一讲我们已经看到，当n很大，很大，p接近接近0或或1时，二项分布时，二项分布(fnb)近似泊松分布近似泊松分布(fnb);如果如果n很大，而很大，而p不接近于不接近于0或或1，那么可以证明，那么可以证明，二项分布二项分布(fnb)近似于正态分布近似于正态分布(fnb).下面我们不加证明地介绍有关二项分布下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为近似于正态分布的一个定理，称为(chn wi)棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理.它是第五章要介它是第五
16、章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.第31页/共39页第三十二页，共39页。六、二项分布的正态近似六、二项分布的正态近似(jn s)定理定理(dngl)(棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯定理定理(dngl)）设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n,p(0p1)的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变量变量 的的分布近似正态分布分布近似正态分布 N(np,np(1-p).第32页/共39页第三十三页，
17、共39页。二项分布的正态近似二项分布的正态近似(jn s)实用中，实用中，n 30，np 10时正态近时正态近似的效果较好似的效果较好.见教学软件中的计算机演示见教学软件中的计算机演示(ynsh)第33页/共39页第三十四页，共39页。例例1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10000次，出现正面次，出现正面5800次，次，认为认为(rnwi)这枚硬币不均匀是否合理这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由试说明理由.解解:设设X为为10000次试验中出现次试验中出现(chxin)正面的次数，正面的次数，采用采用(ciyng)正态近似正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬币是均匀的，若硬
18、币是均匀的，XB(10000，0.5),近似正态分布近似正态分布N(0,1).即即第34页/共39页第三十五页，共39页。=1-(16)0此概率此概率(gil)接近于接近于0，故认为这枚硬币不均，故认为这枚硬币不均匀是合理的匀是合理的.P(X5800)=1-P(X5800)近近似似(jn s)正正态态分分布布N(0,1).第35页/共39页第三十六页，共39页。例例2 2 公共汽车公共汽车(gnggngqch)(gnggngqch)车门的高度车门的高度是按男子与车门是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.010.01以下来设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高X XN(170,62),
19、N(170,62),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,h cm,按设计按设计(shj)(shj)要求要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们下面我们(w men)(w men)来求满足上式的最小的来求满足上式的最小的 h.h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:第36页/共39页第三十七页，共39页。因为因为(yn wi)X(yn wi)XN(170,62),N(170,62),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184184厘米厘米(l m)(l m)时，可使时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.第37页/共39页第三十八页，共39页。这一讲，我们这一讲，我们(w men)介绍了正态分布，介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们它的应用极为广泛，在本课程中我们(w men)一直要和它打交道一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍后面第五章中，我们还将介绍(jisho)为什么这么多随机现象都近似服为什么这么多随机现象都近似服从正态分布从正态分布.第38页/共39页第三十九页，共39页。