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1、 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.第1页/共39页不知你们是否注意到街头的一种赌博活动?用一个钉板作赌具。街头街头请看第2页/共39页 也也许许很很多多人人不不相相信信，玩玩这这种种赌赌博博游游戏戏十十有有八八九九是是要要输输掉掉的的，不不少少人人总总想想碰碰碰碰运运气气，然然而而中中大大奖奖的的概概率率实实在是太低了。在是太低了。第3页/共39页 下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博高尔顿钉板试验第4页/共39页 平平时时，我我们们很很少少
2、有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现现，最最后后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。第5页/共39页高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。第6页/共39页正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数。第7页/共39页 一、正态分布的定义一、正态分布的定义 若r.v X的概率密度为记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中 和
3、都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.第8页/共39页正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。正态分布请看演示第9页/共39页二、正态分布二、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.第10页/共39页 决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点第11页/共39页 能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？
4、容易看到，f(x)0即整个概率密度曲线都在x轴的上方;第12页/共39页故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值:令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得f(+c)=f(-c)且 f(+c)f(),f(-c)f()第13页/共39页这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f(x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。当x 时，f(x)0,第14页/共39页用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。第15页/共39页根据对密度
5、函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。第16页/共39页 回回忆忆我我们们在在本本章章第第三三讲讲中中遇遇到到过过的的年年降降雨雨量量问问题题，我我们们用用上上海海99年年年年降降雨雨量的数据画出了频率直方图。量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。第17页/共39页下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。第18页/共39页人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较
6、较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。点。第19页/共39页请请同同学学们们想想一一想想，实实际际生生活活中中具具有有这这种特点的随机变量还有那些呢？种特点的随机变量还有那些呢？第20页/共39页 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.第21页/共39页服从正态分布 的随机变量X的概率密度是X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？第22页/
7、共39页 设设X ,X的分布函数是第23页/共39页 正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布第24页/共39页三、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用 和 表示：第25页/共39页它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则 N(0,1)设定理1第26页/共39页
8、 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.四、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当-x0时第27页/共39页若N(0,1)若若 XN(0,1),第28页/共39页由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当XN(0,1)(0,1)时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、3 3
9、 准则第29页/共39页将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3 3 准则”（三倍标准差原则）.第30页/共39页 上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布近似于正态分布.下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛拉普拉斯定理.它是第五章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.第31页/共39页六、二项分布的正态近似六、二项分布的正态近似定理定理(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 服从参数服从参数
10、n,p(0p1)的二的二项分布，则对任意项分布，则对任意x，有，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p).第32页/共39页二项分布的正态近似 实用中，实用中，n 30，np 10时正态近似时正态近似的效果较好的效果较好.见教学软件中的计算机演示第33页/共39页例1 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由.解:设X为10000次试验中出现正面的次数，采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬币是均匀的，若硬币是均匀的，XB(10000
11、，0.5),近似正态分布近似正态分布N(0,1).即第34页/共39页=1-(16)0此概率接近于此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀，故认为这枚硬币不均匀是合理的是合理的.P(X5800)=1-P(X5800)近似正态分布近似正态分布N(0,1).第35页/共39页 例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定?解:设车门高度为h cm,按设计要求P(X h)0.01或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的 h.再看一个应用正态分布的例子:第36页/共39页因为XN(170,62),),故 P(X0.99所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足的最小的 h.第37页/共39页 这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.第38页/共39页感谢您的观看。第39页/共39页