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1、第 11 章 质点动力学的基本方程 例 题11-1 动力学的基本定律11-2 质点的运动微分方程11-3 质点动力学的两类基本问题111-1 动力学的基本定律 第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律重力力的单位:牛顿,第三定律(作用与反作用定律):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。211-2 质点的运动微分方程1、在直角坐标轴上的投影或质点动力学的基本方程32、在自然轴上的投影 由有411-3 质点动力学的两类基本问题第一类问题：已知运动求力.第二类问题：已知力求运动.混合问题：第一类与第二类问
2、题的混合.5 设电梯以不变的加速度 设电梯以不变的加速度a a 上升 上升,求放在电梯地板上重 求放在电梯地板上重W W 的物块 的物块M M 对地板的压力。对地板的压力。解解:将物体 将物体 M M 看成为自由质点 看成为自由质点,它受重力 它受重力 W W 和地板约束力 和地板约束力 FFNN 的 的作用。作用。ma ma=FFN N W W注意到 注意到 m=W/g m=W/g,则由上式解得 则由上式解得M M给地板的压力 给地板的压力FF NN与地板约束力 与地板约束力FFNN等值而反向。等值而反向。MaMFNWx例例 题题 11-1 11-1例题 第一类问题：已知运动求力.6例例 题
3、题 11-1 11-1上式第一部分称为 上式第一部分称为静压力 静压力，第二部，第二部分称为附加 分称为附加动压力 动压力，F F NN称为 称为动压 动压力 力。令 令则 则n n 1 1,动压力大于静力，这种现象称为 动压力大于静力，这种现象称为超重 超重。n n 1,1,动压力小于静力，这种现象称为 动压力小于静力，这种现象称为失重 失重。MaMFNWx例题 第一类问题：已知运动求力.7 单 单摆 摆 M M 的 的摆 摆锤 锤重 重 W W,绳 绳长 长 l l,悬 悬于 于固 固定 定点 点 O O,绳 绳的 的质 质量 量不 不计 计。设 设开 开始 始时 时绳 绳与 与铅 铅垂
4、垂线 线成 成偏 偏角 角 0 0/2/2,并 并被 被无 无初 初速 速释放，求绳中拉力的最大值。释放，求绳中拉力的最大值。例例 题题 11-2 11-2OMM00例题第一类问题：已知运动求力.8解 解:采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微分方程。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为 任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程 写出质点的自然形式的运动微分方程例例 题题 11-2 11-2 考虑到 考虑到则式 则式(1)(1)化成 化成OMM00enetanatOMM00FWanat例题 第一类问题：已知运动求力.9对上式采用定积分 对上式采
5、用定积分,把初条件作为积分下限 把初条件作为积分下限从而得 从而得FF=WW(3cos(3cos 2cos 2cos 00)显然 显然,当质点 当质点 M M 到达最低位置 到达最低位置=0=0时 时,有最大值。故 有最大值。故 FFmaxmax=WW(3(3 2cos 2cos 00)例例 题题 11-2 11-2把式把式把式(4)(4)(4)代入式代入式代入式，有，有，有例题 第一类问题：已知运动求力.10例例 题题 11-3 11-3 小 小球 球质 质量 量为 为 m m，悬 悬挂 挂于 于长 长为 为l l的 的细 细绳 绳上 上，绳 绳重 重不 不计 计。小 小球 球在 在铅 铅垂
6、 垂面 面内 内摆 摆动 动时 时，在 在最 最低 低处 处的 的速 速度 度为 为v v；摆 摆到 到最 最高 高处 处时 时，绳 绳与 与铅 铅垂 垂线 线夹 夹角 角为 为，如 如图 图所 所示 示，此 此时 时小 小球 球速 速度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。度为零。试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。Ovv=0例题 第一类问题：已知运动求力.11 小 小球 球作 作圆 圆周 周运 运动 动，受 受有 有重 重力 力W W=m=mg g和 和绳 绳拉 拉力 力F F1 1。在 在最 最低 低处 处有 有法 法向 向加 加速 速度 度，由 由质 质点 点运动微分方
7、程沿法向的投影式，有 运动微分方程沿法向的投影式，有 则绳拉力 则绳拉力 小 小球 球在 在最 最高 高处 处 角 角时 时，速 速度 度为 为零 零，法 法向 向加 加速 速度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为 度为零，则其运动微分方程沿法向投影式为 则绳拉力 则绳拉力 解 解:Ovv=0mgmgF1F2例例 题题 11-3 11-3例题 第一类问题：已知运动求力.12 曲 曲柄 柄连 连杆 杆机 机构 构如 如图 图所 所示 示。曲 曲柄 柄OA OA以 以匀 匀角 角速 速度 度 转 转动 动，OA=r OA=r，AB=l AB=l，当 当=r/l=r/l比 比较 较小 小时 时，以
8、以O O为 为坐 坐标 标原 原点 点，滑 滑块 块B B的 的运 运动 动方 方程 程可 可近 近似 似写为 写为 如滑块的质量为 如滑块的质量为m m，忽略摩擦及连，忽略摩擦及连杆 杆AB AB的质量，试求当 的质量，试求当 和 和 时，连杆 时，连杆AB AB所受的力。所受的力。xyOAB例例 题题 11-4 11-4例题 第一类问题：已知运动求力.13例例 题题 11-4 11-4 以 以滑 滑块 块B B为 为研 研究 究对 对象 象，当 当=t t 时 时，受 受力 力如 如图 图。连 连杆 杆应 应受 受平 平衡 衡力 力系 系作 作用 用，由 由于 于不 不计 计连 连杆 杆质
9、 质量 量，AB AB 为 为二 二力 力杆 杆，它 它对 对滑 滑块 块B B的 的拉 拉力 力F F沿 沿AB AB方向。方向。由题设的运动方程，可以求得 由题设的运动方程，可以求得 当 当 时，时，且 且，得，得AB AB杆受的拉力 杆受的拉力x xB Bm mg gF FN NF F 解：解：写出滑块沿 写出滑块沿x x轴的运动微分方程 轴的运动微分方程xyOAB例题 第一类问题：已知运动求力.14混合问题：第一类与第二类问题的混合.运动：因动参考系作平动，牵连加速度，科氏加速度。当 时，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。绳的张力与拉力F的大小相等。如忽
10、略介质阻力，应有=0。代入 则此物块的运动方程为第二类问题：已知力求运动.为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0 时（如图）才掉下来。混合问题：第一类与第二类问题的混合.摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为，如图所示，此时小球速度为零。设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重W 的物块M 对地板的压力。摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为，如图所示，此时小球速度为零。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。混合问题：第一类与第二类问题的混合.令：，则上式可写为自由振动微分方程的标准式第二类问题：已知力求运动.例例 题题 11-4 11-4得 得 时，时，而 而，AB AB杆受压力。杆受压
11、力。x xB Bm mg gF FN NF F 则有 则有xyOAB例题 第一类问题：已知运动求力.15 质 质量 量是 是 m m 的 的物 物体 体 M M 在 在均 均匀 匀重 重力 力场 场中 中沿 沿铅 铅直 直线 线由 由静 静止 止下 下落 落，受 受到 到空 空气 气阻 阻力 力的 的作 作用 用。假 假定 定阻 阻力 力F FR R 与 与速 速度 度平 平方 方成 成比 比例 例，即 即 F FR R=cv cv2 2，阻 阻力 力系 系数 数 c c 单 单位 位取 取 kgm kgm 1 1，数 数值 值由 由试 试验 验测 测定 定，试 试求 求物体的运动规律。物体的
12、运动规律。例例 题题 11-5 11-5xxFRmgvM例题 第二类问题：已知力求运动.1、力是速度函数的情形16解：解：取坐标轴 取坐标轴Ox Ox铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M M 的运动微分方程。的运动微分方程。以 以 m m 除式 除式(1)(1)两端 两端,并代入 并代入 v v0 0 的值 的值,得 得xxFRmgv当 当 时，时，加速度为零。这个 加速度为零。这个v v1 1就是物 就是物体的极限速度。体的极限速度。例例 题题 11-5 11-5M例题 第二类问题：已知力求运动.17分离变量 分离变量,并取定积分 并取定积分
13、,有 有 由上式求解 由上式求解v v，得，得于是物体速度随时间而变化的规律为 于是物体速度随时间而变化的规律为th th 是双曲正切。是双曲正切。例例 题题 11-5 11-5例题 第二类问题：已知力求运动.18于是求得物体的运动方程为 于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把 为了求出物体的运动规律，只需把(3)(3)再积分一次，有 再积分一次，有例例 题题 11-5 11-5例题 第二类问题：已知力求运动.19 质 质量 量为 为m m的 的小 小球 球以 以水 水平 平速 速度 度v v0 0 射 射入 入静 静水 水之 之中 中，如 如图 图所 所示 示。如 如水 水对
14、 对小 小球 球的 的阻 阻力 力F F与 与小 小球 球速 速度 度v v的 的方 方向 向相 相反 反，而 而大 大小 小成 成正 正比 比，即 即F F=-c-cv v。c c为 为阻 阻力 力系 系数 数。忽 忽略 略水 水对 对小 小球 球的 的浮 浮力 力，试 试分 分析 析小 小球 球在重力和阻力作用下的运动。在重力和阻力作用下的运动。x xy yx xmax maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.1、力是速度函数的情形20 小球在任意位置 小球在任意位置M M处，受力有重力 处，受力有重力m mg g
15、和阻力 和阻力F F=cv cvx x i i cv cvy y j j。为求 为求v vx x，v vy y将上两式分离变量，得 将上两式分离变量，得 解：解：小球沿 小球沿x x，y y轴的运动微分方程为 轴的运动微分方程为x xy yx xmax maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.21上两式的不定积分为 上两式的不定积分为 按题意，按题意，t t=0=0时，时，v vx x=v=v0 0，v vy y=0 0。代入上两。代入上两式求得两个定分积常数 式求得两个定分积常数 将 将C C1 1值代入式 值代入式
16、 改写为 改写为 可得 可得x xy yx xmax maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.22整理为 整理为 或 或 可得 可得 将 将D D1 1值代入式 值代入式可得 可得可得 可得 x xy yx xmax maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.23取初始位置为坐标原点，即 取初始位置为坐标原点，即t t=0=0时 时，x x=y y=0=0。代入上两式，求得常数 代入上两式，求得常数 再积分 再积分得 得x xy yx xmax
17、maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.24则质点的运动方程为 则质点的运动方程为 如忽略介质阻力，应有 如忽略介质阻力，应有=0=0。当。当 0 0时，质点的运动方程为 时，质点的运动方程为x xy yx xmax maxv v0 0v vF Fm mg gO OM M例例 题题 11-6 11-6例题 第二类问题：已知力求运动.25例例 题题 11-7 11-7 质 质量 量为 为 m m的 的质 质点 点带 带有 有电 电荷 荷e e，以 以速 速度 度v v0 0进 进入 入强 强度 度按 按E E=A Aco
18、s cos kt kt 变 变化 化的 的均 均匀 匀电 电场 场中 中，初 初速 速度 度方 方向 向与 与电 电场 场强 强度 度垂 垂直 直，如 如图 图所 所示 示。质 质点 点在 在电 电场 场中 中受 受力 力 F F=-=-e eE E作 作用 用。已 已知 知常 常数 数A A，k k，忽 忽略 略质 质点 点的 的重 重力 力，试 试求 求质 质点 点的 的运动轨迹。运动轨迹。交流 交流电源 电源平板电容器 平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运 质点运动轨迹 动轨迹E E例题 第二类问题：已知力求运动.2、力是时间函数的情形26例例 题题 11-7
19、 11-7 取 取质 质点 点的 的初 初始 始位 位置 置O O为 为坐 坐标 标原 原点 点，取 取x x，y y轴 轴如 如图 图所 所示 示，而 而z z轴 轴与 与x x，y y轴 轴垂直。于是力在三轴上投影为 垂直。于是力在三轴上投影为 F Fx x=F=Fz z=0=0 因 因为 为力 力和 和初 初速 速度 度在 在z z轴 轴上 上的 的投 投影 影均 均等 等于 于零 零，质 质心 心的 的轨 轨迹 迹必 必定 定在 在Oxy Oxy平 平面 面内 内。写 写出 出质 质心 心运 运动 动微 微分 分方 方程 程在 在x x轴 轴和 和y y轴上的投影式 轴上的投影式 解：
20、解：交流 交流电源 电源平板电容器 平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运 质点运动轨迹 动轨迹E E例题 第二类问题：已知力求运动.27例例 题题 11-7 11-7得 得 按 按题 题意 意，时 时，以 以此为下限，式 此为下限，式 和 和交流 交流电源 电源平板电容器 平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运 质点运动轨迹 动轨迹E E的定积分分别为 的定积分分别为例题 第二类问题：已知力求运动.28从以上两式中消去时间 从以上两式中消去时间t t，得轨迹方程，得轨迹方程 轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。对以上两式分离
21、变量，并以 对以上两式分离变量，并以t t=0=0时，时，x x=y y=0=0为下限，做定积分 为下限，做定积分 交流 交流电源 电源平板电容器 平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运 质点运动轨迹 动轨迹E E得质点运动方程 得质点运动方程例例 题题 11-7 11-7例题 第二类问题：已知力求运动.29从以上两式中消去时间t，得轨迹方程因为力和初速度在z轴上的投影均等于零，质心的轨迹必定在Oxy平面内。将物体 M 看成为自由质点,它受重力 W 和地板约束力 FN 的作用。将式(2)积分,并利用初始条件(3)确定积分变量,求得质点的相对运动规律为,将式(a)的变量
22、分离并代入初始条件进行积分消去时间t后,得到相对轨迹方程混合问题：第一类与第二类问题的混合.11-2 质点的运动微分方程如忽略介质阻力，应有=0。摆到最高处时，绳与铅垂线夹角为，如图所示，此时小球速度为零。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。取坐标轴Ox铅直向下，原点在物体的初始位置。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。物 物块 块在 在光 光滑 滑水 水平 平面 面上 上与 与弹 弹簧 簧相 相连 连，如 如图 图所 所示 示。物 物块 块质 质量 量为 为m m，弹 弹簧 簧刚 刚度 度系 系数 数为 为k k。在 在弹 弹簧 簧拉 拉长 长变 变形 形量 量为 为a
23、a时 时，释放物块。求物块的运动规律。释放物块。求物块的运动规律。mOxFx例例 题题 11-8 11-8例题 第二类问题：已知力求运动.3、力是坐标函数的情形30或 或上式化为自由振动微分方程的标准形式 上式化为自由振动微分方程的标准形式解：解：以弹簧未变形处为坐标原点 以弹簧未变形处为坐标原点O O，物块，物块在任意坐标 在任意坐标x x处弹簧变形量为 处弹簧变形量为 x x，弹簧，弹簧力大小为 力大小为，并指向点，并指向点O O，如图所，如图所示。示。则此物块沿 则此物块沿x x轴的运动微分方程为 轴的运动微分方程为令 令mOxFx例例 题题 11-8 11-8例题 第二类问题：已知力求
24、运动.31此微分方程的解可写为 此微分方程的解可写为 由此解出 由此解出 mOxFx其 其中 中A A，为 为任 任意 意常 常数 数，应 应由 由运 运动 动的 的初 初始 始条 条件 件决 决定 定。由 由题 题意 意，取 取x=a x=a处 处的 的时 时间 间为 为t=t=0 0，且此时有 且此时有。代入上式，有。代入上式，有 例例 题题 11-8 11-8例题 第二类问题：已知力求运动.32 代入 代入 则此物块的运动方程为 则此物块的运动方程为 可 可见 见此 此物 物块 块做 做简 简谐 谐振 振动 动，振 振动 动中 中心 心为 为 O O，振 振幅 幅为 为 a a，周 周期
25、 期。称 称 为 为 圆 圆 频 频 率 率，应 应 由 由 其 其 标 标 准 准 形 形 式 式 的 的 运 运 动 动 微 微 分 分 方 方 程 程 直接确定。直接确定。将 将 mOxFx例例 题题 11-8 11-8例题 第二类问题：已知力求运动.33 一 一圆 圆锥 锥摆 摆，如 如图 图所 所示 示。质 质量 量m m=0.1=0.1 kg kg的 的小 小球 球系 系于 于长 长l l=0.3=0.3 m m的 的绳 绳上 上，绳 绳的 的一 一端 端系 系在 在固 固定 定点 点O O，并 并与 与铅 铅直 直线 线成 成=60=60 角 角。如 如小 小球 球在 在水 水平
26、 平面 面内 内作 作匀 匀速 速圆 圆周 周运 运动 动，求 求小 小球 球的 的速度 速度v v与绳的张力 与绳的张力F F的大小。的大小。Ol例例 题题 11-9 11-9例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.34Ol 以小球为研究的质点，作用于质点的 以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力 力有重力m mg g和绳的拉力 和绳的拉力F F。因 因，于是解得，于是解得绳的张力与拉力 绳的张力与拉力F F的大小相等。的大小相等。enetebmgF解：解：选 选取 取在 在自 自然 然轴 轴上 上投 投影 影的 的运 运动 动微 微分 分方 方程 程，得 得例例 题题 11-9 11-
27、9例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.35 粉 粉碎 碎机 机滚 滚筒 筒半 半径 径为 为R R，绕 绕通 通过 过中 中心 心的 的水 水平 平轴 轴匀 匀速 速转 转动 动，筒 筒内 内铁 铁球 球由 由筒 筒壁 壁上 上的 的凸 凸棱 棱带 带着 着上 上升 升。为 为了 了使 使铁 铁球 球获 获得 得粉 粉碎 碎矿 矿石 石的 的能 能量 量，铁 铁球 球应 应在 在=0 0 时 时（如 如图 图）才 才掉 掉下 下来 来。求 求滚 滚筒每分钟的转数 筒每分钟的转数n n。0 0n n例例 题题 11-10 11-10例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.36 视铁球为质
28、点。铁球被旋转的滚筒带 视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度 着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。质 质点 点在 在上 上升 升过 过程 程中 中，受 受到 到重 重力 力m mg g，筒壁的法向力 筒壁的法向力F FN N和切向力 和切向力F F的作用。的作用。m mg gF FN NF F解：解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投 列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式 影式 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即 度。即 n n例例 题题 11-10
29、11-10例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.37于是解得 于是解得 当 当=0 0时，铁球将落下，这时 时，铁球将落下，这时F FN N=0 0，于，于是得 是得 显然，显然，越小，要求 越小，要求n n 越大。当 越大。当 时，时，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉 过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。碎矿石的作用。m mg gF FN NF F例例 题题 11-10 11-10例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.38 如图所示单摆，摆长为 如图所示单摆，摆长为l l，小球质量为，小球质量为m m，其悬挂点，其悬挂点O O以加速
30、度 以加速度a a0 0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。a0Om例例 题题 11-11 11-11例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.39第二类问题：已知力求运动.在初瞬时，=0，=2，试写出小环M相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M的约束力。Fmax=W(3 2cos 0)第二类问题：已知力求运动.第一类问题：已知运动求力.以弹簧未变形处为坐标原点O，物块在任意坐标x处弹簧变形量为x，弹簧力大小为，并指向点O，如图所示。设车厢以均加速度a沿水平直线轨道向右行驶。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。11-3 质点动力学的两类基
31、本问题消去时间t后,得到相对轨迹方程试分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。第一类问题：已知运动求力.为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0 时（如图）才掉下来。第二类问题：已知力求运动.绳的张力与拉力F的大小相等。在弹簧拉长变形量为a时，释放物块。质量为m的小球以水平速度v0 射入静水之中，如图所示。在 在悬 悬挂 挂点 点O O上 上固 固结 结一 一平 平动 动参 参考 考系 系Ox Ox y y，小 小球 球相 相对 对于 于此 此动 动参 参考 考系 系的 的运 运动 动相 相当 当于 于悬 悬挂固定的单摆振动。挂固定的单摆振动。分 分析 析小 小球 球受 受力 力：重 重力
32、力，绳 绳子 子张 张力 力F F。运 运动 动：因 因动 动参 参考 考系 系作 作平 平动 动，牵 牵连 连加速度 加速度，科氏加速度，科氏加速度。解：解：建立相对运动动力学基本方程 建立相对运动动力学基本方程例例 题题 11-11 11-11例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF40将上式投影到切向轴 将上式投影到切向轴e et t上，得 上，得 当摆作微振动时 当摆作微振动时，角很小，有 角很小，有，且 且，上式成为，上式成为 例例 题题 11-11 11-11例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF41令：令：，则上式可写为自由，则上式可
33、写为自由振动微分方程的标准式 振动微分方程的标准式 其解的形式为 其解的形式为，而，而振动周期为 振动周期为 例例 题题 11-11 11-11例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF42 设车厢以均加速度 设车厢以均加速度a a沿水平直线轨道向右行驶。求 沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶 由车厢棚顶 M M0 0 处自由落下的质点 处自由落下的质点 M M 的相对运动。的相对运动。O O1 1M M0 0a ahM Mx1y1z1例例 题题 11-12 11-12例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.43解 解:取动坐标系 取动坐标系 O O1 1x x1 1y
34、 y1 1z z1 1 固连车厢。固连车厢。因为动坐标系作直线平动 因为动坐标系作直线平动,有 有 m ma ar r+m ma ae e=W W(1)(1)a ae e=a ae e,方向与车厢加速度 方向与车厢加速度 a a 相同 相同 把式 把式(1)(1)向动坐标系各轴上投影 向动坐标系各轴上投影,得 得相对运动微分方程 相对运动微分方程即 即根据所选坐标系 根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成 质点运动的初始条件写成当 当 t t=0=0 时 时,O1M0ahaeWx1y1z1例例 题题 11-12 11-12例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.44 将式 将式(2)(2)积
35、分 积分,并利用初始条件 并利用初始条件(3)(3)确定积分变量 确定积分变量,求得质点的相对 求得质点的相对运动规律为 运动规律为消去时间 消去时间t t后 后,得到相对轨迹方程 得到相对轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线 这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。例例 题题 11-12 11-12例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.45 一 一质 质量 量是 是m m的 的小 小环 环M M套 套在 在半 半径 径是 是R R的 的光 光滑 滑圆 圆环 环上 上，并 并可 可沿 沿大 大圆 圆环 环滑 滑动 动，而 而大 大圆 圆环 环在 在水 水平 平面 面内 内以 以匀 匀角 角速
36、 速度 度 绕 绕通 通过 过点 点O O 的 的铅 铅垂 垂轴 轴转 转动 动。在 在初 初瞬 瞬时 时，=0 0，=2 2，试 试写 写出 出小 小环 环M M相 相对 对于 于大 大圆 圆环 环的 的运 运动 动微 微分 分方 方程 程，并 并求 求出 出大 大圆 圆环 环对 对小 小环 环M M的约束力。（不计小环重力的影响）的约束力。（不计小环重力的影响）OCORMR*例例 题题 11-13 11-13例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.46解 解:取 取动 动坐 坐标 标系 系与 与大 大圆 圆环 环固 固连 连，小 小环 环 M M 相 相对 对于 于大 大圆 圆环 环的
37、的位 位置 置用 用弧 弧坐 坐标 标 s s=R R 表 表示 示。作 作用 用于小环 于小环 M M 的力有大 的力有大圆 圆环的约束力 环的约束力 F F。写出小环相对运动微分方程在相对切向和法 写出小环相对运动微分方程在相对切向和法向的投影 向的投影式中 式中OCORMaenFaCR例例 题题 11-13 11-13例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.47由式 由式(1)(1)得 得这就是小环 这就是小环M M 相对于大圆环的运动微分方程。相对于大圆环的运动微分方程。,将式 将式(a a)的变量分离并代入初始条件 的变量分离并代入初始条件进行积分 进行积分应用循环变换 应用循环变换 例例 题题 11-13 11-13例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.48于是有 于是有 将上式代入式 将上式代入式(2)(2)得 得而 而所以 所以,大圆环对小环的约束力为 大圆环对小环的约束力为 2 2cos cos 4 4)cos cos 1 1(3 3 2 2+=mR mR F F例例 题题 11-13 11-13例题 混合问题：第一类与第二类问题的混合.49作业：P25P3011-3、11-14、*11-750