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1、会计学1欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程第一页，编辑于星期二：一点 六分。由于六面体各面的形心到点由于六面体各面的形心到点由于六面体各面的形心到点由于六面体各面的形心到点MM的距离很小的距离很小的距离很小的距离很小,压强在压强在压强在压强在MM点附近的变化可点附近的变化可点附近的变化可点附近的变化可用泰勒级数表示用泰勒级数表示用泰勒级数表示用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量且可忽略二阶以上的微量且可忽略二阶以上的微量且可忽略二阶以上的微量,于是：于是：于是：于是：分析作用于六面体表面的力：（为简化，只讨论X方向，Y，Z方向同理可得）1.表面力：只有静水压力第1页/共12页第二页，编辑于星期
2、二：一点 六分。n na abdcbdc面上的中心点面上的中心点面上的中心点面上的中心点MM1 1（x-dx/x-dx/2 2，y y，z z），其压强为：），其压强为：），其压强为：），其压强为：labdc面上的中心点面上的中心点M2（x+dx/2，y，z），），其压强为：其压强为：图图2.52.5M1M2第2页/共12页第三页，编辑于星期二：一点 六分。单位质量力在各坐标轴方向的分量为：单位质量力在各坐标轴方向的分量为：单位质量力在各坐标轴方向的分量为：单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X X，Y Y，Z Z，六面体的质量为：，六面体的质量为：，六面体的质量为：，六面体的质量为：2.质量力
3、F：第3页/共12页第四页，编辑于星期二：一点 六分。根据平衡条件根据平衡条件根据平衡条件根据平衡条件FFx x=0=0，则有：，则有：，则有：，则有：除以除以dxdydz，得：，得：同理可得：同理可得：(2.2)(2.3)第4页/共12页第五页，编辑于星期二：一点 六分。欧拉平衡微分方程：欧拉平衡微分方程：表明，在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。(2.3)第5页/共12页第六页，编辑于星期二：一点 六分。二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式二、欧拉平衡微分方程的综合形式 将欧拉平衡微分方程分别乘以将欧拉
4、平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得：后相加得：（2.4）综合形式综合形式 （压强差公式）（压强差公式）第6页/共12页第七页，编辑于星期二：一点 六分。（2.4）式左边是）式左边是p(x,y,z)的全微分，右边括号内各的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是U(x,y,z)，称为称为质量力的势函数质量力的势函数,简称简称力势函数。力势函数。有力势函数存在的力场，叫势场。有力势函数存在的力场，叫势场。（2.42.4）三、质量力的势函数、有势力、等压面第7页/共12页第八页，编辑于星期二：一点 六分。当力势函数存在时，有：当
5、力势函数存在时，有：当力势函数存在时，有：当力势函数存在时，有：所以所以：（2.5）只有当质量力是有势力只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态时，液体才处于平衡状态第8页/共12页第九页，编辑于星期二：一点 六分。（2.5）（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的.等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。在等压面上，压强p=常数(const)，于是：U=常数(const)，所以等压面也是等势面第9页/共12页第十页，编辑于星期二：一点 六分。等压面的微分方程：等压面的微分方程：等压面的微分方程：等压面的微分方程：即：即：（2.6）等压面的微分方程等压面的微分方程 dx
6、，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐标是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（轴方向的投影。（2.6）表明：）表明：单位质量力所做的微功等于零单位质量力所做的微功等于零.由于质量力和位移都不为零，由于质量力和位移都不为零，所以在静止液体所以在静止液体中质量力与等压面正交。中质量力与等压面正交。第10页/共12页第十一页，编辑于星期二：一点 六分。因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平因此，在质量力只有重力时，等压面为一水平面。面。面。面。常见的等压面：常见的等压面：常见的等压面：常见的等压面：1.1.液体的自由表面液体的自由表面液体的自由表面液体的自由表面 2.2.不相混合的两种液体的交界面不相混合的两种液体的交界面不相混合的两种液体的交界面不相混合的两种液体的交界面图图2.62.6第11页/共12页第十二页，编辑于星期二：一点 六分。