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1、高考数学真题分类 椭圆的概念及标准方程一、选 择 题（本大题共3小题，共1 5.0分）1 .已知椭圆W +1过点（一转）和（3,-：），则椭圆离心率e =（）A.2 B.在 C-D.|5 5 5 52 .已知椭圆C的焦点为三（一1,0）,尸2（1,0）,过 尸2的直线与C交于A,8两点.若依尸2|=2|尸2用,A B =B Fr,则C的方程为（）A.+y2=l B.+=1 C.兰+=1 D.r +g=12 7 3 2 4 3 5 43 .设尸是椭圆9+?=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.2 V 2 B.2 V 3 C.2 V 5 D.4 V 2二、不定项选择题（本大题共2
2、小题，共8.0分）4 .（5分）已知曲线 C：mx2+ny2=1.（）A.若m n 0,则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m =n 0,则C是圆，其半径为近C.若nm 0,则C是两条直线5 .已知曲线（?:/+/=i（）A.若m n 0,则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m =n 0,则C是圆，其半径 为 近C.若n m 0,则C是两条直线三、填 空 题（本大题共4小题，共2 0.0分）6 .已知。为坐标原点,8与尸分别为椭圆捻+、=l（a b 0）的上顶点与右焦点，若|O B|=OF,则 该 椭 圆 的 离 心 率 是.7.在椭圆?+?=1上任意一点P,Q与尸关于x轴对称，若 有 肝 亏W 1,
3、则瓦户与俄的夹角范围为.8 .设Fi，尸2为楠圆C：立+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若A M F i B为等腰三36 20角形，则M的坐标为.9 .己知椭圆?+?=1的 左 焦 点 为 凡 点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段P尸的中点在以原点。为圆心，|O F|为半径的圆上，则直线P F的斜率是.四、解答题(本大题共1 4 小题，共 1 6 8.0 分)1 0 .(1 2 分)已知椭圆C：,l(a b 0)过点M(2,3),点 A为其左顶点，且 AM的斜率为(1)求 C 的方程；(2)点 N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.1 1 .在平面直角坐标系x O y中，已知椭
4、圆E：七+g=1的左、右焦点分别为F1、尸 2,点 A在椭圆E4 3上且在第一象限内，A F2L F1F2,直 线 与 椭 圆 E相交于另一点B.(1)求 4 6 尸 2 的周长；(2)在 x 轴上任取一点尸，直线A P 与椭圆E的右准线相交于点Q,求 赤 评 的最小值；(3)设点M在椭圆E上，记 CM B与AAMB 的面积分别为S i，S2,若5 2 =3 S 求点M的坐标.第2页，共28页1 2 .(1 2分)已知椭圆G：+3=l(ab 0)的右焦点尸与抛物线。2的焦点重合，G的中心与。2的顶点重合.过尸且与x轴垂直的直线交a于4B两点，交 于C,D两点，且|CD|=g|A B|.(1)求
5、G的离心率：(2)若G的四个顶点到C2的准线距离之和为1 2,求G与C2的标准方程.1 3 .已知椭圆。己+=l)的左、右顶点，G为E的上顶点，前 口=8,Pa-为直线x =6上的动点，P4与E的另一交点为C,PB与E的另一交点、为D,(1)求E的方程；(2)证明：直线C D过定点.1 5 .已知椭圆q：5+=l(a b 0)的右焦点F与抛物线的焦点重合，C的中心与的的顶点重 合.过F且与x轴垂直的直线交G于A,8两点，交 于C,。两点，且|CD|=g|4 B|.(1)求G的离心率；(2)设M是Q与。2的公共点，若|M F|=5,求G与C2的标准方程.1 6 .已知椭圆C:二+q=1(。匕 0
6、)的 离 心 率 为 逛，且过点力(2,1).，厂 2(1)求C的方程；(2)点M,N在C上，且A D M N,加为垂足.证明：存在定点。，使得|D Q|为定值.1 7.已知A,8分别为椭圆E：W +/=l(a 1)的左、右顶点，G为E的上顶点，前 而=8,P为直线x =6上的动点，PA与E的另一交点为C,P8与E的另一交点为O,第4页，共28页(1)求E的方程;(2)证明：直线C。过定点.1 8 .设椭圆+，=l(a b 0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为苧，|A B|=S5(/)求椭圆的方程；()设直线/：丫 =生 卜 b0)的离心率为净 焦距为2鱼.斜率为&的直线/与椭圆M
7、有两个不同的交点A，B.(I)求椭圆”的方程；(1 1)若 卜=1,求|4 B|的最大值；(I I I)设P(-2,0),直线P A与椭圆M的另一个交点为C,直线P B与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(一共线，求 左.20.已知斜率为A的直线/与椭圆C：=+?=1交 于 两 点，线段AB的中点为0).(1)证 明:fc-1；(2)设尸为C的右焦点，P为C上一点，且 丽+西+而=6，证明：2|FP|=FA+FB.21.已知椭圆C：5 +、=1的右焦点为(1,0),且经过点4(0,1).(1)求椭圆。的方程；(II)设。为原点，直线/：y=/cx+t(tR l)与椭圆C交于两个不同点尸、Q
8、,直线AP与x轴交于点例，直线4。与x轴交于点N.若 OM|ON|=2,求证：直线/经过定点.22.已知斜率为4的直线/与椭圆C：立+些=1交于A,8两点，线段A8的中点为0).4 3(1)证明：fc b 0)的左焦点为F,上顶点为8.已知椭圆的离心率为争点A的坐标为(6,0),且|FB|AB=6V2.(I)求椭圆的方程；(11)设直线/：y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线AB交于点Q.若j =sinN 40Q(0为原点)，求k的值.答案与解析1.答案：A解析：解：椭圆0 S=1 过点（-4,：）和（3,-：）,Q，55（竺+，-=1则捋2 鬻，解得&=5,b=l,匕+痂=
9、1 c2=a2 b2=2 4,c 2A/6c 2 V 6 a s故选：A.将点代入可得方程组，解得a =5,b=l,根据离心率公式即可求出.本题考查了椭圆的简单性质，以及离心率公式，属于基础题.2.答案：B解析：本题考查了椭圆的定义以及方程，余弦定理，属于中档题.根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得。=b，b=&，可得椭圆的方程.解：依/2 1=2|B6I，A A B =3 B F2,又|AB|=|BF/,|BF i|=3|BF2|,又|BF/+B F2=2a,-B F2=p A F2=a,|B&|=-a,则|4F 2|=A F1=a,所以A 为椭圆短轴端点，在R tAAF 2。中，COS.
10、AF20=在小B&F 2 中，由余弦定理可得co s 4BF z F i =2根据COSZTl F?。+CQSZ-B F2P1 0，可得工+4-2a-0，a 2 a第8页，共28页解 得=3,:.a=V3 b2=a2 c2=3 1=2,所以椭圆c 的方程为：式+艺=1,3 2故选B.3.答案：C解析：本题考查椭圆的定义，属于基础题.直接利用桶圆方程求出a,再利用椭圆定义求解即可.解：椭圆g g=1的焦点坐标在x 轴，a=V 5，P 是 椭 圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2 a =2 V5.故选C.4.答案：A C D解析：本题考查圆锥曲线方程的定义，属
11、于中档题.根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.解：4 若7 n n 0,则 0,则方程为/+y2=1,表示半径为亲的圆，故 8 错误；%2 y2C.若m 0,则方程为了+=1,表示焦点在y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为m nm-X,7=+.ny2若m 0,n 0 时，则方程为 旷=士亲表示两条直线，故力正确；故选：A CD.5.答案：A C D解析：本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，难度一般.化为标准方程后再研究.y2解：当z n.n WO时，+几 y 2 =1可化为工+3 =1,m n1 1 42 y2若 小 7 1 0,则故工+丁
12、=1表示焦点在y 轴的椭圆，故 A 正确；m n若m=m/+ny 2 =可化为 2 +y 2 =三，表示圆心为原点，半径为口的圆，n 7n故 3 错误；若mn 0 m%2 +n y 2 =1可化为y 2 =；,即y =J 1,表示两条直线，故）正确.故选A CD.6.答案：也2解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查了学生的计算能力.属基础题.利用已知条件推出b =C,转化求解椭圆的离心率即可.第10页，共28页解：0 为坐标原点，B 与尸分别为椭圆盘+，=l(a b 0)的上顶点与右焦点，由|0B|=|。9|,可得b =c,则a =a2+(2 =戊 c.所以椭圆的离心率为：e=虫.a 2故答
13、案为它.27.答案：兀 一 a r cco s ,兀 或 a r cco s (一 1)，兀 解析：本题考查椭圆的标准方程，平面向量的夹角与数量积，属于中档题.设P(x,y),贝 UQ(x,-y),结 合 审.用 W1,9 +?=1 可得：y2 e 1,2 ,进而可得瓦户与用少的夹角。满足：c o s。=总 瞽 的 范 围，最后得到答案.解：设P(x,y),则Q(x,-y),椭圆?+?=1的焦点坐标为B(-a,0),F2(V 2,0),印 可 W 1，x2-2 +y2 0,求得椭圆的a,bt c,由于M为 C上一点且在第一象限，可得|M F/|M F2|,M F/2 为等腰三角形，可能|M F
14、/=2 c 或|M F2|=2 c,分类讨论即可得出M 的坐标.解：设(m,n 0),由椭圆 C 5 +5=1 可得，。=6,b=2A/5,c=4,则取 F(4,0).(4,。)，由于M 为。上一点且在第一象限，可得IM F/|M&I，M F/2为等腰三角形，可能IMF/=2c或IMF2I=2c,所 以 商+痛=1 或 前 十 五二，,(jn+4)2 4-n2=64(m-4)2+n2=64解吸;法所以M(3,、砥),故答案为(3,尺).9.答案：V15解析:本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题.求得椭圆的a”,c,设椭圆的
15、右焦点为尸，连接P F,运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得 PFP各边长，利用余弦定理求NPFF的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线P F 的斜率.解：椭圆9 +?=1 的。=3,b=痘,c=2,线段P尸的中点4 在以原点。为圆心，2 为半径的圆上,连接A O,可得|P|=2|40|=4,PFF中，PF=6-P F =2,FF=4,PF=4,第12页，共28页二 由余弦定理得C0S4PFF=P卢+2-PF，22PFxFFf42+22-4Z 12X2X44sin乙PFF=.%tanPFF7=V15，即直线P F 的斜率为故答案为丁 1于10.答案：解：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y
16、-3=*x-2),即x-2 y =-4,当y=0时，解得x=4,所以a=4,椭 圆 C：提+，=l(a b 0)过点M(2,3),可 得 白+白=1，解得炉=12,16所 以 c 的方程:总+1=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x-2 y =m,当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为M 此时AAMN的面积取得最大值.x-2y=m代入椭圆方程：4-=1.16 12化简可得：16y2 +I2my+3m2-48 =0,所以=144m2 4 x 16(3m2 48)=0,即m?=64,解得巾=8,与 AM 距离比较远的直线方程：x-2 y =8,利用平行线之间的距离为：
17、d=嵩=今鸟MM|=7(2+4)2+32=3辰.所以 4MN的面积的最大值：ix 3 V 5 x =18.2 5解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，是偏难题.(1)利用已知条件求出4 的坐标，然后求解，得到椭圆方程.(2)设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0,求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值.11.答案：解：(1)由椭圆的标准方程可知，。2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,所以力&尸2的周长=2a 4-2c=6.o3(2)由椭圆方程得4(1,|),设P(t,0),则直线AP方程
18、为y=Q_ t),椭圆的右准线为：x=-=4,C所以直线AP与右准线的交点为。(4,|工)，L 1 COP-QP=(t,0)(t-4,0-)=t2-4t=(t-2)2-4 -4,2 1 t当t=2时，(赤 评)疝”=-4(3)若52=3S1，设 O 到直线AB距离d,M 到直线A8距离d 2,则：x|48|x d2=：x x 刈 x 3,即弘=3d,4(1，|)，F iC-1,0),可得直线 AB方程为y=：(x+l),即3 x-4 y +3=0,所以刈=|,d2=由题意得，M 点应为与直线AB平行且距离为高的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线/为3x-4y+m=0,与直线A B 的距离为，
19、第14页，共28页所以噫W=P即7 n=一 6或 12,V9+16 5当m=-6 时，直线/为3%-4y-6=0,即y=；(%-2),联立，2；：),可得Q -2)(7久 +2)=0,叫;：:所以M(2,0)或(号，一表当m=1 2 时，直线/为3x 4y+12=0,即y=(%+4),(y=-(%+4)联立%，可 得?/+18%+24=0,A=9 X(3 6-5 6)0),丁 尸 为抛物线C2的焦点，且 CQ垂直x 轴，尸 名,0),|CD|=2p,v CD=AB,G 与C2的焦点重合，c=-2c 4 2b22P =3X整理得4c=,：3ac=2b2,3ac=2a2 2c2,设G 的离心率为e
20、,则2e2+3 e-2 =0,解得e=或e=2(舍)故椭圆G 的离心率为2 2(2)由(1)知a=2c,b=p=2c,6：+=1，Q：y2=4cx,.Ci的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,岳),(0,-V3c),C2的准线为=c,由已知得3c+c+c+c=1 2,即c=2.所以Cl与C2的标准方程分别为?+1，y2=8x解析：本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，属于中等题.(1)根据题意，列出椭圆a,b,c之间的齐次方程，求出离心率；(2)由(1)可设q 与C2的标准方程，求出顶点坐标，列出方程即可求出c 的值，从而得到G
21、 与C2的标准方程。13.答案：解：、(1,)e=2=叵，乌=身，Q 4 a2 16b2=a2 c2=a2=916 16.c的方程为5 +=1.16(2)由 题:4(5,0),8(5,0),设Q(6,t),显然t H 0,则 岫 2 =t，:B P J.B Q,则跖P=一9，则直线BP方程为：y=一 沁-5),联 立 总+普=1,化简得2+16)y2-10ty=0,解得yp=3*，xP=5-tyP,BP=BQ,第16页，共28页A t2yp+=1 4-12,即=1,代 入 =哉,解 得 t =2,8,当t =2时，Q(6,2),P(3,l),|PQ|=VlO.P Q 方程为：x-3y=0,点
22、A 到直线P Q 的距离为盘=手，则SEIAPQ=I x V10 x 卑=I；当t =8时,(2(6,8),P(-3,1),|PQ|=V130)P Q 方程为：7x-9y+30=0,点 4 到直线尸。的 距 离 为 擢=高,5 1 1 =1 x 7 1 3 0 x =1，根据对称性，-2 5 =-8时面积均为|,综上：I 3 4PQ的面积为|.解析：本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题.14.答案：解：由题意 4(一 a,0),B(a,0),G(0,l),B=(a,1),GB=(见-1),AG-GB=a2 l=8=a2=9=a=3，椭圆E 的
23、方程为土+y2=1.9 J(2)由知力(-3,0),B(3,0),P(6,m),则直线尸A的方程为、=为 0+3),(f y =30+3)联立(9 4-m2)x2+6 m2%+9 m2-8 1 =0,I e=i由韦达定理-3 先=*1n x e =三 竺 竽，代入直线P A 的方程、=孩 0+3)得，儿=事，即L 9+m2 L 9+m2 9 八 9+m2f-3 m2+27 6 m、C 9+m2,9+m2)1直线P B 的方程为y =(x 3),f y =g (%-3)联立 0),F 为抛物线C2的焦点，且 CZ)垂直x 轴,F(p0),CD=2p,CD=AB,G 与C?的焦点重合,_ PC 2
24、42P=y2b2,a整理得4c=3ac=2b2,Sac=2a2 2c2,3a设G 的离心率为e,贝 U2e2+3e-2=0,解得e=三 =一 2(舍),故椭圆Q 的离心率为去(2)由(1)知a=2c,b=V3c，p=2c,联立两曲线方程，消去y 得3/+16cx-12c2 =0,:.(3x 2c)(x+6c)=0,x=|c 或 =-6 c(舍)，从而|MF|=|c +c=|c =5,解得c=3,所以G 与C2的标准方程分别为总+，=1，y2=12x.解析：本题主要考查椭圆和抛物线的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.(1)根据题意，列出椭圆a,b,c 之间的
25、齐次方程，求出离心率；(2)由(1)可设G与C 2的标准方程，联立求出M 的坐标，即可求出c 的值，从而得到Q与 的 标 准 方程.16.答案：团解：由题意可知 =立，W+W=l，a2=b2+c2,a 2 a z b，解得 M=6,b2=3,所以椭圆方程为次+g=1.6 3团证明：设点N(%2,y 2)，因为/M 1 A N,所以,孑 3=一 1，所以y，2-(y i +y2)+1 =一/检+2 g+x2)-4,当 存在的情况下，设M N:y =k x +m,联立%7 6 得(1 +2心)x?+4kmx+2 m2 6 =0,由40,得6 k 2-2 +3 0,由根与系数的关系得%】+&=-悬，
26、盖，所以 y i +y2=k g+x2)+2 m =若 卜，y，2=k2xxx2+kmxx+x2)+m2=:晨,代入式化简可得4/+8km+(m -l)(3 m +1)=0,即(2k +m l)(2f c +3m+1)=0,所以m=1 2k 或m=一肖2，第20页，共28页所以直线方程为y =kx+l-2k 或y =kx-空所以直线过定点(2,1)或(|,一 J),又因为(2,1)和 A点重合，故舍去，所以直线过定点所 以 为 定 值，又 因 为 团 为 直角三角形，A 为斜边,所以AE中点。满足|Q D|为 定 值.，此时QC，.解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题.
27、目根据条件列方程求解即可.国联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为-1 化简即可证明.17.答案：解:由题意 4(-a,0),B(Q,0),G(0,l),而 =(a,l),GB=(a,-l),A G-GB=。2-1 =8=。2=9 =。=3，2 椭圆E的方程为二+y 2=i.9 )(2)由(1)知 4(一 3,0),8(3,0),P(6,m),则直线P A 的方程为y =(x +3),f y =(x +3)联立，y 2=(9 +m2)x2+6 m2x+9 m2 8 1 =0,I e=i由韦达定理-3 x c =史 胃=q=*弄，代入直线P A的方程y =?(x +3)得
28、，y c =事，即e 9+m2 c 9+m2 9 八 9+m2,-3 m2+27 6 m、L(9+优，9+优)，直 线 的 方 程 为 =与 0-3),y =(x -3)联立(y 2 3=(1 4-m2)x2 6 m2x+9 m2 9 =0,-+y2=l由韦达定理3 3=*=和=吟，代入直线融的方程y =g(x-3)得，丫。=券，即u 1+m2 u 1+m2 3 八 1+m2n/3 m2-3 -2m以 l+m 2+疗人6 m -2m二直线C D的斜率心。=系 需 v=遥 亍9+m2 1+m2二直线CD的方程为 y-恚=；7 日W(x-容)，1+m2 3(3-mz)1+m2 整理得 y=直线CQ
29、过定点(|,0).解析：本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题;(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C,。两点坐标，进而求出直线CD,即可证明.18.答案：解：(/)设椭圆的焦距为2c,由已知可得标=|,又。2=)2+2,|4 B|=V a2+炉=V T 解得Q =3,b=2,二椭圆的方程为：江+=1,9 4第22页，共28页()设点POIXL),M(x2,y2)(%2 Xi O).JIIJ(?(-%1，-yt).BPM的面积是ZkBPQ面积的2 倍，|PM|=2|P Q|,从而不 一与=2与 一(一的),%2=5%,易知直线A 8的方程为：2%+3y=6.由,()2 x 4
30、-,3y=6,_可_.得z 不=6 八0.(y=kx 2 3k+2由,4/+9y 2=36 可得 _ 6=kx 可 得/一标KO 1n、9k2+4=5(3k+2)，=1 8 1 +25k+8=0,解得k=一 或九=一亍由亚=搐 0.可得k 一：，故卜=一.J K 4 J/解析：本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.（/）设椭圆的焦距为2 c,由已知可得冬=，又a2=b2+c 2,解得a=3,b=2,即可.（）设点PQ i，%）,M（x2,y2）,（x2%i 0）.则（2（-/,一%）.由4 BPM的面积是4 BPQ面积的 2 倍,可得2-匕=2%1-x2=5
31、xi 联立方程求出由久2=兀%0，可得&,19.答案：解：（I）由题意可知：2c=2或，则。=鱼，椭圆的离心率e=，则。=百，a 3b2=a2 c2=1,椭圆的标准方程：1 +y2=i；3 J(II)设直线AB的方程为:y=x+m,4(%,力),B(x2,y2),ry=x+m联立2 _，整理得：4x2+6mx+3m2 3=0,=(6m)2 4 x 4 x 3(m2 1)0,整理13 y 得：m2 4,37n 3(m2-l)X1+%2=,x x=),N 4AB=A/1+H J +&)2 4%I%2=-y/4 m2f当m=0时，|AB|取最大值，最大值为历；(皿)设直线PA的斜率须4=等 p直线P
32、A的方程为：、=/(%+2),联立:X 1+2()，消去y 整理得：(*+4/+4+3火)/+12丫*+(12资-3后 一 12%1-m+y 2 =i12）=0,2由+*=1代入上式得，整理得：（4 x i+7）/+（12-4*）x-（7婢+12xi）=0,刈=-叱，一蟹，则 儿=含（一整+2）=券，则c（一部，爵），同理可得：（一 登 缶 券），由 则 2,=(4(4；+7)二；4；：7)7)，QD=(4(4：+7)北；7；)由近与而共线，则小x M广小义黯?整理得：y2-x2=y i-x1,则直线A B的斜率k=受 资=1,.1.k的值为1.解析：(I)根据椭圆的离心率公式即可求得。的值，
33、即可求得人的值，求得椭圆方程；(U)当k=l时，设直线A B的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|4 8|的最大值；(HI)求得直线P A的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C点坐标，同理求得。点坐标，即可求得无与亚，根据向量的共线定理，即可求得直线A B的斜率.本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题.20.答案：解：设4(4力)，B(x2,y2),线段A B的中点为 +&=2,y i+丫2=2 m将A,8代入椭圆C：丘+”=1中，可得4 3(3 好+4比=12(3x+4 y j=12,两式相减可得,
34、3(X1+X2)(Xi-不)+4。1+丫2)(加 一 丁2)=0，即6(a -x2)+8 m o i-丫2)=0-,y i-y 2 6 3 k=-=-=-久 1 一 x2 87n 4m点M(L m)在椭圆内，即:+苧0),解得0 m|3 1:.k=-利用点差法得6(%一 工2)+8刈(7 1、2)=0,上=年 =一 卷=一亮又 点 在 椭 圆 内，即:+9 0),解得?的取值范围，即可得k 0,4kt 2t2-2/+工2 =一 许，/不=询，AP的方程为y =T二X +1,X1令y =0,可得y =D，即M(含,0)；AQ的方程为y =竽x +l,x2令y =0,可得？=言即N(言”0),(i
35、-y i)(i-y2)=1 +y/2-0 1+72)=1 4-(k xx+t)(f c x2+，(1+kx2+2t)=(1 +t2-2t)+k2-军2 +(f c t -f c)-(-%)=宜 吗，J l+2f c2)7 v l+2f c2 7 1+2 上 2 OM ON =2,即为I言.言I=2,即旬t 2-l|=(-1)2,由t#i,解得t =o,满足(),即有直线/方程为y =k x,恒过原点(0,0).解析：本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.(I)由题意可得b=c =1,由a,b,c的关系，可
36、得a,进而得到所求椭圆方程；(n)y =/c x +t与椭圆方程 2+2y 2=2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得结论.22.答案：解：（1）设4（与,%）,B N，乃），线段A B的中点为%i+x2=2,yi+丫2=2m.将 月，8 代入椭圆C：三+”=1中，可得4 3（3 好+4yf=12（3 霜+4 光=12两式相减可得,3（久1+%2）（%1 x2）+4（为+y2）C/i 一、2）=0,即6（勺-%2）+8 7n仇 y2）=。，汉=，=.%L%2 8 m 4m点 在 椭 圆 内，叫+与 0）,解得0 m|3 1k=-一5 4m 2（2）由题意得F（l,0）
37、,设4（%1，%），8（%2，力），尸（3，为），则%1+%2-1+%3-1=，丫1+丫2+丫3=，由（1）及题设得%3=3-（冗1+%2）=1，%=-（71+72）=-2m 利用点差法得6（%一次）+8 m（y i-丫2）=。，卜=注 =一 言=一 高第26页，共28页又 点 在 椭 圆 内，即 +?0)，解得相的取值范围，即可得k 。3，乃)，可得XI+%2=2.由 而+方+而=6,可得%3 =1，|髭|=|.由椭圆的弦长公式得则|FA =2-1 x2,1 F B I=2-/,即可证明|方|+|而|=2|而 I，继而求出公差.23.答案：解：(1)设椭圆盘+=1(1匕 0)的焦距为20,由
38、椭圆的离心率为e =,3C2 5 淳 一 9,又小 二 炉+。2,2a=3 b,由|F B =a,|A B|=2 b,Si FB A B =6 V 2；可得ab=6,从而解得a=3,b=2,椭圆的方程为亡+廿=1;9 4(H)设点尸的坐标为(%i，yi)点。的坐标为(%2，、2)，由已知力 丫 2 0；PQ sinZ.A OQ=%月；又阿=忌/且皿 会 ，.|4Q I=V 2y 2 由需=芋 s in 乙1 Q 可得5%=9 y 2；(y=h由 方 程 组 式 廿=1，消去x,可 得 力=益 q，1 9 4由(I )易知直线AB的方程为x+y-2 =0；由方程组 M l 2 =0,消去X,可 得 先=备由5 yl =9 y2，可得5(k +1)=37 9 k2+4,两边平方，整理得561-5 0k +1 1 =0,解得k=9=k 的值为曼Z Z o解析：本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力,属于难题.(I)设椭圆的焦距为2 c,根据椭圆的几何性质与已知条件，求出4、%的值，再写出椭圆的方程；()设出点/。的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及人的值.第28页，共28页