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1、高考数学真题分类一两角和与差的三角函数公式一、选 择 题（本大题共5 小题，共 2 5.0分）1.已知c 6(0尸),且 3c o s 2 a 8c o s a =5,则s i n c=()A.渔 B.1 C,1D.瓜333 92.已知 2 h ui O-t a u(0+；)=7,则 U ui。=()A.2 B.-1 C.1D.23,已知s i n。+s i n (0+g)=1,则s i n(8+=()A.；B.3 C.|D.V 223324.若f （%）=c o s%-s i n%在 一见可上是减函数，则。的最大值是（)A.7 B,7 C.-D.714245.tan25 5 0=()A.2
2、y/3 B.2 +V 3 C.2 V 3D.2 +二、填 空 题（本大题共6 小题，共 30.0分）6.已知ta n。=2,贝 U c o s 2 9=；ta n（0-：）=.7 .已知ta n（a -乎）=（,则ta n a =.8.如图，。是坐标原点，圆。的半径为1,点4（一1,0）,点 P,。分别从点A,8 同时出发，在 圆。上按逆时针方向运动，若点P的速度大小是点。的两倍，则在点P运动一周的过程中,AP 而 的 最 大 值 为.9,在 A B C 中，/-ABC=9 0。，AB=4,B C =3,点。在线段 AC上，若N B D C =4 5。，则BD=；c o s 乙480=.10.
3、已知ta：；：4=1 则s i n（2 a +6 的值是.11.己知I s i r i Q +cosp=1,cosa+sin。=0,则s i n（a +0）=.三、解 答 题（本大题共13小题，共 15 6.0分）12 .已知函数/(%)=s i n to x,c o 0.的周期是4兀，求3,并求/(x)=：的解集；(2)已知3=1,5(x)=/2(x)+V 3/(-x)/(-%),x e 0,J,求g(x)的值域.13.在 A B C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a =2/,6=5,c =g.(I)求角C的大小；(口)求s i n A的值；(H I)求 s i n(2 4+$
4、的值.14.在A B C 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a =3,c=y/2,B=45 .求s i n C的值；(2)在边B C上取一点。，使得c o s乙40c =-求ta n/D A C的值.第2页，共21页15 .(12 分)4 B C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c o s?6+4)+c o s A =*求 A;(2)若b c =9 a，证明：A B C 是直角三角形.16.已知函数f(x)=s i n2x s i n 2 x.(1)讨论/(%)在区间(0,兀)的单调性；(2)证明：|f(x)|)珞O(3)设n 6 N*,证明：s i n2x s
5、i n22 x s i n24x s i n22nx 0,sina=V1 cos2a=阻3故答案为A.2.答案：D解析：本题考查两角和的正切公式的应用，属于基础题.解：:2tan 9 tan(0 4-)=2tan d 必”=7,4 1-tan 9 2tan 0(1 tan 8)(tan 9+1)=7 7tan 9,整理得(ta n 6-2/=0,1.ta n 9 =2,故选O.3.答案：B解析：本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题.根据两角和的正弦公式展开s i n ,再整理利用辅助角公式即可得答案.解：v s i n (0 4-)=-s i n 0+c o s 9 ,3，2 2
6、s in 9 +s in(0 +g)=|s in。+当c os 9=V 3 s in(0 +)=1得s in(+7)=Y故选：B.4 .答案：A解析：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题.利用两角和差的正弦公式化简/(%),由一5+2 卜 兀 W久一 W W ；+2kn,1e Z,得一3 +2/OT 4 x 4 ：兀+2kn,k E.Z,取k=0,得/(x)的一个减区间为-：兀 ,结合已知条件即可求出a的最大值.解：f(x)=cosx sinx=(s inx -cosx)=V 2 s in(x ：),由一?+2/CT T W x -?g +2
7、kz r,f c e Z,2 4 2第8页，共21页得一 +2kn%-得.J，。-则 a的最大值是三故选：A.5.答案：D解析:本题考查三角函数的求值，考查诱导公式与两角和的正切公式应用，是基础题.利用诱导公式变形，再由两角和的正切即可求解.解：ta n2 5 5 =ta n(1 8 0 +7 5 )=tan7 5 0=ta n(4 5 +3 0 )i 瓜，tariff+fa n3(F 1 +3 +g (3+A/3)2 *41 2 +6 o 后1 -ta n 4 5 0 ta il 3 0 0 g 3-g 6 (i故选。.6.答案：I，|解析：解：ta n。=2,则 c os 2 8 =c o
8、 s J iM e =i-taM e=二=_ 三cos20+sin20 l+taM 8 1+4 5ta n(,0n 71)、=t-a-n-S-ta-n-Z if=2-1-=14 anetan-1+2x1 3故答案为：-|;利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问.本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查.7.答案：|解析:本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键.根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可.解：V tan(a-y)=|,ta
9、n(a 则 tana=tan(a-：+)=tan(a-)+tanl-ta n(a-)ta n g+1 _ 1+5 _ 6 _ 3：=-=_=一l-|x i 5-1 4 2故答案为|.8.答案：2解析：本题考查了向量数量积的坐标运算，三角函数两角差的余弦公式，二倍角公式，考查学生的计算能力，难度适中.设NBOQ=a,得点P逆时针旋转2 a,通过向量数量积的坐标运算化简即可求解.解：设NBOQ=a,根据题意得，点P逆时针旋转2 a,且n 0.T TJ ,依题意得Q(cosa,sina),P(cos2a,sin2a),.AP-AQ=(cos2c+1,siii2a)(uw+1,sine)=(coe2a
10、+1)(COSQ+1)siu2asina=1 2c=2sin*c4 2当且仅当a=时，等号成立.故答案为2.9答 案.呸.逗解析：本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题.第10页，共21页解直角三角形A B C,可得s inC,c os C,在三角形B C D 中，运用正弦定理可得B D；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值.解:在直角三角形A B C 中，AB=4,BC=3,可得4 C=5,sinC=3 BD pz在 B CD中，由正弦定理可得逅=痂，可得8。=山；25根据三角形内角和可知N C8 D=1 3 5 C,s
11、in/-CBD=s in(1 3 5 C)=y (c os t+sinC)=j x (g +、=运,5y 10即有COSNA B D=c os(9 0 -ACBD)=s inz CB D=普,故 答 案 为 呸；逗.5 1010.答案：店10tana _ 2,得 tangtan 3,1-tanatan54一，一 .tana 2解析：解：由1 5 =一&汝 WMQ)=一 2,解得s7 1a =2 或ta na =-l+tana 3 3业&on+-O 2tana 4 l-ta n2a 3=tana=2 R寸,sin2a=-=cos2a=-=,l+tan2a 5 1+tan2a 5s W 2 a +
12、;)=sin2acos 声 cos2asin；=-|x=A当 ta na =一 渺，sin2a=：；：；=53cos2a=l-ta n2al+tan2a4一,5 s in(2 a 4-)=sinZacos-4-cos2asin-=-x 4-x =.k 4y 4 4 5 2 5 2 10综上，s in(2 a +9的值是它.4 10故答案为：立.10由已知求得ta na,分类利用万能公式求得s in2 a,c os 2 a 的值，展开两角和的正弦求s in(2 a +的值.本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题.11.答案：解析：解：sina 4-c
13、os(i=1,两边平方可得：sin2a+2sinacosp+cos2jff=1,，cosa+sin/?=0,两边平方可得：cos2a+2cosasin(i+sin2/?=0,，由+得：2+2(stnacos0+cosasinfi=1,即2+2sin(a+/?)=1，2sm(a+S)=-1.:.sin(a 4-故答案为：-把已知等式两边平方化简可得2+2(sinacos0+cosasinp)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(a+0)=1,可得结果.本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题.12.答案：解：由于f(x)的周期是4兀，所以3=
14、宾=(所 以 f(x)=s in).令sin：x=故;=2kn+g或2Mr+,整理得=4kn 4-?或X=4kn+.2 2 2 6 6 3 3故解集为 久 1%=4/s+g或 =4/s +浮k G Z.(2)由于 3 =1,所以/(%)=sinx.所以g(x)=sin2x+V3sin(-x)sin(%)=，。了 弓sin2%=-y sin2x-|cos2x 4-1=1 sin(2x+-).6由于x e 0,g,所以+学.o o o7；sin(2x+7)1,26故1 -sin(2x+g)工一：，6 2故一y g(x)/5由正弦定理可得告=一之，所以sinC=：-sin450=立，sinC sin
15、B b V5 2 5所以 sinC=；5(2)因为cosziZDC=I，所以sinZJlDC=V1 cos2Z-ADC=|,在三角形AC中，易知C 为锐角，由（1）可得cosC=1 sin2c=千，所以在三角形 ADC 中，sinZ.DAC=sin（乙4DC+zC）=sinZ.ADCcosZ.C+cos乙ADCsin乙C=零,因为W （0，g），所以coszJMC=V1-sin2Z.DAC=也与2 25所以 tanzo 4 C=sin 皿 c=Z.C O SZ.D AC 11解析：(1)由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC的值；(2)三角形的内角和为180。，cos乙4DC=一
16、支可得ZJ1DC为钝角，可得ND4C与乙4DC+“互为补角,所以sin/D 4c=sin(Z71DC+ZLC)展开可得sin/CAC及COSNO A C,进而求出tan/DAC的值.本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.15.答案:解：(1)cos2(+A)+COST!=化简得cos?!cos?l+-=0,解得cos4=42 A是448。的内角，故4=最(2)证明：b-c=4=g，3J由正弦定理可得sinB sinC=sinA=-3 2又 3=冗一4 一。=学 一。，sin(C)sinC ,化简可得当cosC-1 sinC=即可得cos(C+=%又C
17、6(0,f),得C+江(I 5,故可得c+g=m即C=6 3 6 I.八 T C .T V T C故4+C=:+z=：，3 o Z44BC是直角三角形.第 14页，共 21页解析：本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题.(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对己知式进行化筒，得到cosA=:，再结合A 为三角形的一内角，即可求出角4；(2)利用正弦定理把b-c=在a 中的边化成角，得至UsinB-sinC =3 sinA=三,再结合A+C=?,3 3 2 3对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角。的范围，求出角C,即可证得三角形为直角三
18、角形.16.答案:解：(1)/(%)=sin2x sin2x=2sin2x sinx cosx=2sin3x-cosx/(%)=2sin2x(3cos2x-sin2%)=2sin2x (V3cosx 4-sinx)(V3cosx sinx)=8sin2%sin(x 4-；)sin(x-所以对于f(x)有：当x e(0)时，f(x)0；当x 6 椁,|兀 时，f(x)0。所以f(x)在x 6(0,时单调递增，在x 6 椁,|兀 时单调递减，在为6 得,兀)时单调递增。(2)方法一：证 明:/(x)=2sin3x cosx M/2(x)=4sin6x-cos2%=4(1 cos2x)3cos2x=
19、(1 cos2x)(l-cos2x)(l cos2x)3cos2x,4/3-3COS2X+3COS2X4/33)=u当且仅当1 一 COS2%=3cos2工 时取等号,(刈)=雪 即 证。方法二：证明：,:/(x+兀)=sin2(x+7r)sin2(x+兀)=sin2xsin2x=f(x),二函数/(%)的周期为T T.由 ，f(x)在X 6(0,“时单调递增，在x e 玲 I T 时单调递减，在工(第兀)时单调递增,/(0)=0/(9 =，/(*)=-苧，/(兀)=0,故/Q)在0,兀 上的值域 为 卜 平,乎 ,又 f(x)的周期为兀，故lf(x)l W 限(3)证明：由(2)知：/Q)3
20、(三)2 =也 即有：siMx.sin2x 产；sin22x-sin22x 2;sin222x-sin23x ：sin22n _1x-sin2nx 8 83n即有：sin2x-sin32x-sin34 x.sin2nx 2则si/x sin32x-sin34 x.sin32nx=sinx (sin2x sin32x-sin34 x.sin2nx)-sin22nx3n/3 T sin2%-sin32x-sin34 x.sin2nx 3n 2即有：siMx-sin22x-sin24 x.sin22nx 2 =a2+c2-2accosB,BP28=3c2+c2-2V3C2COS150,解得c=2,所
21、以a=2V3第1 6页，共2 1页所以SMBC=acsin 6=1 x 2V3 x 2 x 1=V3.(2)因为 4=180 -B-C =30 0-C,所以 sinA+V3sinC=sin(30 C)+V3sinCicosC+sinC sin(30 0+C)=2 2 ,2因为A 0。，C 0 ,所以0。30。，所以30。30。+。60。,所以 30。+。=45。,所以C=15.解析：本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.(1)由已知条件结合余弦定理可求得c,从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C 的范围求解
22、即可.18.答案：解：(1)在4 4 8。中，由正弦定理得bsinA=asinB,sinA sinB又 bsim4=acos(B-6 asinB=acosB ),6即sinB=cos(B-)=cosBcos-+sinBsin-=叵 cosB 4-sinB6 6 6 2 2 tanB=V3,T T又B G (0,/r),B=-.(II)在ABC中，a=2,c=3,B=g由余弦定理得 b=Va2+c2 2accosB=V7由bsm 4=acosfJB-得sinA=*v a c,.2 cosA 万，sin2A=2sinAcosA=，7cos2A=2COS2A-1=1,s i n 3 -B)=sin2
23、AcosB-cos2AsinB=V X 1-7 X T 解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题.(I)由正弦定理得bsi几 4=asinB,与bs讥4=acos(B 一).由此能求出B.sina=1cosa=|(U)由余弦定理得b=夕，由bsirM=acos(B 一，得sin4=c o s A =*，由此能求出sin(24-B).c,B C,C为锐角,SC盗第18页，共21页 sin(8 C)=sinBcosC-cosBsinCA/3 11 1 5V3=Txi4-(-2)x7T4V37解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础
24、题.(I)利用余弦定理可得/=a2+c2-2accosB,代入已知条件即可得到关于人的方程,解方程即可；(H)sin(F C)=sinBcosC cosBsinC,根据正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,代入即可得解.21.答案：解：(I)在三角形ABC中，由正弦定理得-匚=$,所以bsmC=cs讥B,又由 3cs 讥 8=4asinC,得3bsinC=4asinCf 即 3b=4a,又因为b+c=2 a,得b=拳c=y,由余弦定理可得cosB=2 =一；2ac 2a-a 4(H)由(I)得$m8=V1 cos2B=邛，从而sin28=2sinBcosB=等，cos2B=COS2B si
25、n2jB =-8故sin(2B+)=sinZBcos-cos2Bsin-=x -x-=、6)6 6 8 2 8 2 16解析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.(I)根据正余弦定理可得；(D)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得.22.答案：解：(1)v/(%)=asin2x+2cos?x,/(%)=asin2x+2cos2x,(%)为偶函数，asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,，2asin2x=0,a=0；(2)v/(=)=V3+1,:、a s in 4-2c
26、os2()=a+l=V3+l,a=遮，/(%)=j3sin2x+2cos2x=y/3sin2x+cos2x 4-1=2sin(2x 4-)4-1,6 /(%)=1-瓜.2sin(2x+-)+1=1-V2,6 sin(2x+=一 争A 2%4-7 4-2 k n,或2x+工=9兀 +2/CTT,fc 6 Z,6 4 6 4+k n,或 =*几 十 上 兀，k E Z,24 24,X G -7T,7l,137T_p.1971 _p,57T_p,117Tx=玄 或x=玄或=一五或X =一玄.解析：本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的图象与性质，函数的奇偶性，属于基础题.(1)根据函数的奇偶性求解即
27、可.(2)先求出。的值，再根据三角函数的性质即可求出.23.答案：解：(/)函数/(x)=sin2x+/3sinxcosx=1-。；咫+-sln2x=sin(2x-)+：，o Nf(x)的最小正周期为7=小(11)若/0)在区间 一；,河上的最大值为|,可得2x-g 6 一警,2m 勺，o o 6即有2 1-2 三 解 得O Z 3则 m 的最小值为g.解析：(/)运用二倍角公式的降幕公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；(口)求得2乂-*的范围，结合正弦函数的图象可得2nl-壬即可得到所求最小值.本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算
28、能力，属于中档题.24.答案：解：(1)、角a 的顶点与原点。重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点x=一|,y=r=0P=J(_|)2 +(_ 1 2 =i,:.sin(a+7i)=sina=1；(2)由x=|,y=-g r=0P=1,得sina=-%cosa=|,又由 sin(a+/?)=V，得 c o s(a +g)=土 J l sin 2(a +0)第20页，共21页=1 一舄)2 =与则c o s 夕=c o s (a +/?)-a 12/3、，5,4、=X(-)d-X(-)=13 5，13 5，或c o s/?=c o s (a +0)-a=c o s (a +P)cosa+s
29、i n(a +0)stna5665,=c o s(a +P)cosa+s i n(a +(i)sina12/3、,5,4、16-x (-)+X(-)=13 5，13 5y 65c o s/?的值为一季特6 5 6 5解析：本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题.(1)由已知条件即可求r,则s i n(a +7 T)的值可得；(2)由已知条件即可求s i n a,cosa,c o s(a +/?),再由c o s 0 =c o s (a +/?)-a =c o s(a +()c o s a +s i n(a +0)sina,代值计算得答案.