高考数学真题分类训练16（含答案解析）.pdf

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1、高考数学真题分类 利用导数研究函数的极值一、选择题(本大题共1 小题，共 5.0 分)1 .设函数f(x)=s in(3 x+?)(3 0),已知/(x)在0,2 网有且仅有5 个零点.下述四个结论：/(x)在(0,2 乃)有且仅有3 个极大值点/(x)在(0,2 兀)有且仅有2 个极小值点/Q)在(0*)单调递增 3的取值范围是四湍)其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.二、解答题(本大题共1 8 小题，共 2 1 6.0 分)2 .已知函数/(x)=炉+卜)双卜e R),f(x)为/(x)的导函数.(1)当左=6 时，(回)求曲线y =久)在点(L f(l)处的切线方程；(回)求函数

2、g(x)=/(x)-尸(x)+g 的单调区间和极值；(H)当kN-3 时，求证：对任意的 X ,x2 G 1,4-0 0),且 修%2，有-)；3)二出).3 .已知laS2,函数/(x)=靖 一%-a.其中e =2.7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9.为自然对数的底数.(1)证明：函数y =f(x)在(0,+8)上有唯一零点；(2)记%o 为函数y =f(%)在(0,+8)上的零点，证明：(团)J a 1 (e -l)(a -l)a.4.已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有两个零点，求a的取值范围.5.(12 分)已知函

3、数/(x)=x3 kx+k2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)有三个零点，求左的取值范围.6.设函数/(x)=(x a)(x b)(x c),a,b,c e/?,/(x)为/(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求 a 的值；(2)若aR b,b=c,且f(x)和尸(x)的零点均在集合-3,1,3中,求f(x)的极小值;第 2 页，共 27页(3)若a =0,0 b 1,c =1,且/(x)的极大值为M,求证：M 7 .设函数/(x)=I n x a(x-l)e”,其中a e R.(I )若a W 0,讨论/(x)的单调性；(口)若0 a 沏，证明3&-4 2.8 .已

4、知函数/(x)=(x l)l n x x 1.证明:(l)f(x)存在唯一的极值点；(2)/(%)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9.设函数/(x)=excosx,g(x)为/(x)的导函数.(1)求/(乃的单调区间；(n)当x 6 碎,)时,证明f(x)+g(x)G-x)0;(D I)设f为函数u(x)=f(x)T在区间(2加+?,2加+)内的零点，其中neN,证明7re-2nn2 7 1 7 r d-2 -Xn s-i-n-x-.0-cosxQ1 0 .已知函数f(x)=s in x-l n(l +x),f(x)为f(x)的导数.证明:广 在区间(一喘)存在唯一极大值点；(2)/

5、(x)有且仅有2个零点.1 1 .已知函数/(X)=：-X +a l n x.(1)讨 论 的 单 调 性；(2)若/(%)存在两个极值点匕*2,证明：止 卢3a-2.xlx2第4页，共27页1 2 .已知函数/(x)=(2 +x+a x2)l n(l +x)2x.(1)若a =0,证明：当lx 0时，/(x)0时，/(x)0；(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a.1 3 .设函数f(x)=(X 1 1)(X 2)(*-1 3)，其中“，6 2，Q C R,且0,垃，2是公差为d的等差数列.(I )若1 2 =o,d=l,求曲线y =f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(n)d =3,

6、求f(x)的极值;(I D)若曲线y =f(x)与直线y =-(-1 2)-6 8有三个互异的公共点，求d的取值范围.1 4 .已知函数/(x)=e*a x2.(1)若a =l,证明：当*2 0时，/(X)1；(2)若/(x)在(0,+8)只有一个零点，求1 5 .已知函数f(%)=aex Inx 1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求m并求f(%)的单调区间;(2)证明：当a 2：时，/(X)0.1 6 .设函数/(x)=ax2 (4 a +l)x+4 a +3ex.(1)若曲线y =/(x)在点(1)(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.1

7、 7 .设函数f(x)=ax2 (3 a +l)x+3 a +2ex.(I )若曲线y =/(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a；(口)若/(乃在=1处取得极小值，求a的取值范围.第6页，共27页1 8.已知函数f(x)ax2+x-l 万，(1)求曲线y =，(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明：当a 2 1时，/(%)+e 0.1 9.已知函数/(x)=：婷一矶/+x+1).(1)若。=3,求f(x)的单调区间；(2)证明：/(x)只有一个零点.-答案与解析-1.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.根据f(x)在 0,2 初有且仅有5 个零点，可得5

8、7 rs 2 兀 3 +，6 兀，解出3的范围，然后逐一判断即可得到答案.解：当 6 0,2 乃 时，3%+襄 碎,2 兀 3+一(x)在 0,2 扪有且仅有5 个零点，57 r 27r+6n,.W 3 V 故正确，当x e(。*)时，5 +/生喑)，若/在(0*)单调递增，则 然 把 号，即3 x+g 6 C，2TTO)+g),9 W 3 0,g,(x)=3 x2 6 +-=3(*-】)y+】),2 X X2 X2第8页，共27页令g(%)=o，解得 =i,当0%1,g(x)1,0,函数g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，%=1 是极小值点，极小值为g(l)=1,无极大

9、值证明：(，由/二炉+攵仇工,则/(x)=3%2+：,对任意的%I，X2 6 1,4-00),且%1%2，令得=，t 1,则(其 1 一 2)/(%1)+f(X 2)-2f(X i)/(x2)=(X i -2)(3*+3 厩+工)一2(x f 一成+喏)，=x1 x2 3 x f%2+3%港 +资)-2k 仇=腐(I。-3 t 之 +3 t 1)+k(t，2 t),(T)令/i Q)=x ：2)工,%1,当x 1 时，/f(x)=1+1=(1 1)2 o,九(%)在(1,+8)单调递增,当t l,/i(t)/i(l)=0,KP t-i-2Zn t 0,:%2 1f I?-3 t 2 +3 t

10、1 =(t I)?0,k N 3,，%2(/-3/+3 t -1)+k(t 2t)3 -3 t 之 +3 t 1 3(t 2/n t)=/-3t+6/n t +1,由(1)3)可知当t 1 时，g(t)g(l)即产一3 t 2+6/n t +工 1,)，由可得。I 一 式 2)/(%1)+f(x2)-2/(x1)+/(x2)0,当k 一 3 时，对任意的1，x2 e 1,+oo),且 1%2,有&)：(0)Z4一%2解析：(1)0)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(i i)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(H)要证不等式成立,只要证明(%1 芯 2)/(*1)+f(.X2)-2L

11、f(Xl)-Z(X2)0 根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明.本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题.3.答 案:证明：(l)v /(X)=ex-l,：x o,.-.3 1,.-.f(x)0,r.x)在(0,+8)上单调递增,.l a e2-4 0,/(0)=l-a/.la-x0 W J2(a-1)oe%-x0-1 x02,r2令 g(x)=e*-x-l-x2(0 x 2),h(x)=ex-x-1 -(0 x 0，.力 ()力(0)=0,二(外在(0,2)单调递增，:h(x)/i(0)=0,ex x I 0,2(e*-x 1)x2 另一方面：a

12、-141，所以当时，J Uw/成立，因此只需证明当0 x x=In 2当xe(0,ln2)时，g；(x)0所以 g(x)maxg(0),g(l),:g(0)=0,g,(l)=e-30,.-.gx)0,g(x)在(0,1)单调递减，.g(x)0,Ja-x0/a 1 +a(e 2)=(ea l)(ti 1)+a J a-1 (e 2)!因为1 a e,a 2(a-l)，/(x0)(e 1)(Ja-1(e。2)只需证明 2(a-1)J a _ 1 (e _ 2)(e-l)(a-l)2 即只需证明 4(/2)2 2(e Ip(a 1),令 s(a)=4(e 2)2 _(e _ Ip(a _ 1),(a

13、 8e(e-2)-(e-l)2 01/.s(a)s(l)=4(e-2)2 0.即4(e-2了 N(e-1产(a-1)成立，因此 xof (e、。)(e-l)(a -l)a.解析：本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力.(1)先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；(2)(。先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；5)先根据零点条件转化：Xo/(e，)=Xo/(Xo+a)，再根据l(e-l)2(a-l),最后构造差函数，利用导数进行证明.4.答案：解：(1)当a=l时,/

14、(x)=ex-(x+2),则(x)=ex-l,令尸(x)0,得x 0；令(x)0,得x0,从而/(%)在(-8,0)单调递减；在(0,+8)单调递增.(2)/(%)=ex-a(%+2)=0,显然x于一2,所以a=巨，X+2令g(x)=另，问题转化为y =a与g(%)的图象有两个交点,所以“(%)=鲁 邦，当V-2或-2 V%V-1时，g(x)一1时，g(x)0,g(x)单调递增，所以9(%)的极小值为9(-1)=%当 刀 2 时，g(x)2时，g(%)0,所以当a 时，y =a与g(x)的图象有两个交点，所以a的 取 值 范 围 为+8).解析：解析:本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数

15、研究函数的零点，有一定难度.(1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得a=提，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出。的取值范围.5.答案：解：(1)求导得f (x)=3 x 2 一匕 定义域为(-8,+8),当k 0,/(x)在(-8,+8)上单调递增；当上 0时，令/(久)0得X苧，令r(x)0得 一 苧x 0,/G)的极大值为/(一亨)，极小值为/(苧),要使f(x)有三个零点，则=-+k-+k2 0J 3 7 27 3(旦)=途 _上 场 2 0,即，|演+八。-|V3fc+Z c 0解得0 V解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题

16、.6.答案:解：(1)Q=b=c,f(x)=(x-a)3,v f(4)=8,(4 a)3=8,A 4 a=2,解得a=2.(2)a*b,b=c,设/(%)=(x a)(%h)2.令f(%)=(%a)(x Z?)2=0,解得汽=a,或%=b./(%)=(x b)2+2(x a)(%h)=(%b)(3x b 2a).令(X)=0，解得=b,或 =等,(%)和小(%)的零点均在集合/=-3,1,3中,若：a=-3,b=1,则普 史=号二=一六0 4舍去.a=1,b=-3,则 罔 =芋 =一，力，舍去.a=-3,6=3,则 =-=舍 去.a=3,b=L则 等=等=(4舍去.a=1,b=3,贝|呼 =|

17、4 舍去.Q=3,h=3,则=因此a=3,b=-3,2a:=1 e A,可得：/(%)=(%-3)(%4-3)2.f(x)=3 x-(-3)(x-l).可得=1时，函数/(%)取得极小值，/(1)=-2 X 42=-32.(3)证明：a=0,0 b 3.令，(%)=3 (2b+2)x 4-6=0.解得：X1+1-.V.b2-b+l e(0)1 ,x=b+l+7 b b+7 x x333,2b+2 bX1+X2=-g-，X1X2=京，可得=/时，/(%)取得极大值为M,=3 x；-(2b+2)%i+b=0，令%1=t W(0,o可得：b=3 t 2-2t.2t-1 十 4+?3 2 M=/(Xi

18、)=%1(%1 b)Qi-1)=t(t b)(t 1)=-.12t-ls -6t4+12t3-8t2+2t(2t-l)2令 g(t)=-6t3+12t2 8t+2,g 9 =-18产+24-8=-2(3 t-2)2 0.A Mr 0.函数M(t)在t e (0,与上单调递增,o解析：(1)由a=b=c,可得/(%)=(x-Q)3,根据f (4)=8,可得(4 一 Q)3=8,解得(2)a 手 b,b=c,设f (%)=(%a)(%/?.令/(%)=(x a)(%b)2=0,解得=a，或x=b.f(x)=(x-b)(3x-b-2a).令尸(x)=0,解得 x=b,或 =等,根据/(x)和(x)的

19、零点均在集合4=-3,1,3中，通过分类讨论可得：只有a=3,b=-3,可 得 誓=空=1 e 4可得：/(x)=(x-3)(%+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时，函数/(%)取得极小值.(3)a=0,0 b 0.令f(x)=3/-(2b+2)x+b=0.解得：Xi=p+l二，P 沁 4(0,x2=2+1业2二 但3 3 3.%1%2 可得%=%1 时，f(%)取得极大值为 M，r(i)=3x 1-(2b+2)%1 4-6=0,令=t E第 1 4页，共 2 7 页(0,可得：b _M=/(x1)=X1Qi-/?)(%1-1)=t(t b)(t 1)=.,3 2 t-l 2 t-l利用

20、导数研究函数的单调性即可得出.本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.7.答案：(I)解：fCx)=-aex+a(x-l)ex=x e(0,+0,函数/(x)在x e(0,+8)上单调递增；(H)证明：(i)由(I)可 知:q(x)=x e(0,+8),令g(x)=1-o,x2ex,v 0 a 0,且g(ln()=1-a(ln：)2-i =1-(ln)2 0),九(%)=,可得力(%)1 时，Inx x 1,/(In i)=In(lni)-a(ln-l)e 吗=In(lni)-(In：-1)/(I)=0,：函数/(

21、%)在(&,+8)上存在唯一零点，当x=1时，/(I)=0,函数/(x)在(0,而)上存在唯一零点1，因此函数/(x)恰有两个零点；3)由题意可得:r(x0)=0,(%)=0,即a以e*。=1,lnxx=a(x1 l)eX1,Inx-y=1,可得 Xo 1,故e i-x。逋鱼二2=好，力-1 U取对数可得：巧&2lnxQ 2.解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.(I )通过求导可得尸(乃,当a S O时，分析可得r(x)0,即可判断；(I I )(。由(I )可知f(x)=J 贮,x e

22、 (0,4-co),令g(x)=1 -a/e L 0 a l时，lnx x-/(I)=0,可得函数/(x)在(x ,+8)上存在唯一零点，又函数/(x)在(0,a)上存在唯一零点1,因此函数f(x)恰有两个零点；(回由题意可得:f Q o)=0,f(%i)=0,即a以避。=1,Inx1=以必-l)e&可得婚1一。=逊竺由xl,可得伍x X o 1,可得eXf 乎:),=琉 取对数即可证明.8.答案：证明：(1)函数/(%)=(%1)2以一二一1./(%)的定义域为(0,+8),/(无)=+Inx 1 =Inx p.y=在(0,+8)上单调递增，y=:在(0,+8)上单调递减，(%)在(0,+8

23、)上单调递增，又尸(1)=1 0,存在唯一的X o (1,2),使得r(X o)=0.当0 x 殉时，f(%)&时,f(x)0,/(单调递增,/(%)存在唯一的极值点.(2)由(1)知/(&)0,/(%)=0在(g,+8)内存在唯一的根，记为 =a,由a X。1,得。1 x0,(=G -1)1吧-：1 =等=.?是 f(x)=0 在(0,&)的唯一根，综上，/(%)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.解析：本题考查函数有唯一的极值点的证明，考查函数有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值、极值等基础知识，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解

24、能力，属于较难题.(1)推导出/(x)的定义域为(0,+8),/(x)=lnx-,从而尸(x)单调递增，进而存在唯一的与e (1,2),第16页，共27页使得/(Xo)=o.由此能证明/(X)存在唯一的极值点;(2)由，(&)0,得到/(x)=0在(殉，+8)内存在唯一的根 =a，由a x0 1,得0 (1 co sx,得/(x)0,/(x)单调递减；当x e 2/OT-与,24兀 +6 Z)时，Wsinx 0,/(x)单调递增./(x)的单调增区间为2k兀2kn+(fc G Z),单调减区间为2化兀+%2kn+(.k 6 Z)；(H)证明：记九(乃=/(x)+g(x)G-x),依题意及(I)

25、,有g(x)=ex(cosx sinx),g(x)=2exsinx 0,从而八(x)=f(x)+g(x)g-%)+g(x)x(-1)=g(x)G-x)%)=展)=.当x G 时，/(%)+g(x)-x)0;(HI)证明：依题意，W(Xn)=/(%n)-1 =0,VeXncosxn=1,记yn=xn-2n7r,则 y”(.,/,且/(yn)=eyncosyn=eXn-2n7rcos(xn-2mr)=e2nn(n e N).由/仇)=e-2nn 1=/(y。)及(I)，得用 N y()，由(II)知，当 W 时，g(%)0,g(x)在上为减函数，因 此,g(%)4 g(物)0,巴-2H二 6 6

26、2n1rg(%)7 g 0)-e(sini/0-cowi/o)-2nir -SULTo-COKJTQ7rp-2nx所以 2 7T+jrn -：-2 sinxo cotz0解析：本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题.(I)求出原函数的导函数，可得当xe 2而+%2 +尊(keZ)时，f(x)0,f (%)单调递增；(D)i C f t(x)=/(x)+5(x)(-%),依题意及(I ),得到g(x)=ex(cosx-s i n x),由 九 (%)%)=/(5=0,从而得

27、到当工 6耳苧时,/(%)+9(%里一汽)0；(W)依题意，u(xn)=/(xn)-1 =0,即 e%c o s&=1,记%=xn-2TUT,则，“(；.1),且/(%)=厂 2.5 4.由八%)=.41=/仇)及(1),得%Ny ,由(I I)知，当 工 甘币时，g(x)在:；上为减函数，有。(痂)Wg(,%J v g(：)。，又由(口)知，f(yn)+。优)6-%)0，-y r*f(2、Q_2n7r,_2?t7r n_27i7r Q_2717r 仃得2;y n g(y =-7-y(.-，从而证得2 7 1 7 r 4-%n -n)g(yn)9(yo)eyo(siny0-cosy0)sinx

28、0-cosx0 2 sinx0-cosx010.答案：证明：/的定义域为(一1,+8),则f(%)=COSX-士，令 h(x)=cosx ,/1+X则九()=-sinx+-7,1.十 xj令 g(x)=-sinx+则g (x)=c o s x 高。在(一1 尚)恒成立，(J 十 KJ Z.(%)在(-1,2 上为减函数,又(o)=i,无)=_1+岛_1 +1 =。，由零点存在性定理可知，函数 在(一厉)上存在唯一的零点&，结合单调性可得，/在 上 单 调 递 增，在。0 彳)上单调递减，可得尸(X)在区间(一1)存在唯一极大值点；(2)由(1)知,当 x 6(-1,0)时,f (x)单调递增，

29、则尸(x)f(0)=0,则f(x)在(0,沏)上单调递增;由于广在(沏百上单调递减，且(出)0,/7 T)不I2由零点存在性定理可知，函数/(X)在(与)上存在唯一零点看,结合单调性可知,当x e (x(),x i)时，/(%)单调递减，则(x)f(x i)=0,故/(%)单调递增;第18页，共27页当时，/单调递减，则/(%)尸(%1)=0,f(x)单调递减.当 e,7 T)时，C O SX 0,-士 0，于是(无)=COSX 一 *l-l n(l +y)=1 ln2.6 1 Ine=0,/(7 T)=-l n(l +T T)V ln3 0.于是可得下表：结合单调性可知，函数八%)在(-1,

30、上有且只有一个零点0,X(-1.0)()(0/1)久11周n2&兀)nfM一 ()+0f(x)减函数()增函数 大于0 减函数大于0减函数 小于0由函数零点存在性定理可知，/(%)在6,兀)上有且只有一个零点%2,当 e n,+8)时，/(%)=sinx l n(l +x)1 l n(l 4-T T)1 ln3 0,因此函数y(x)在 兀,+8)上无零点.综上，f(x)有且仅有2 个零点.解析：本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力，难度较大.(l)/(x)的定义域为(一1,+8),求出原函数的导函数，令八0)=c os x-士，进一步求导，得到h(x)在(-1,今

31、上为减函数，进行求解即可；(2)根据题意，研究函数f(x)的单调性，进行求解即可.11.答案：解：(1)函数/(x)=：-x +aln x的定义域为(0,+8),可得：(X)=-4-I+-=-!=1.7X2 X X2设g(%)=-Q X +1，(0,+8),当a 0 恒成立，即/(%)0时，判别式4 =口 2 一4,当0a 2 时，J 2 时，令尸(x)=0 得，乂 =与 三 或 X =竺 尹.当x 0,呼%(竺 苧 三,+8)时，0,所以/(%)在(0,七|三)和(竺苧3,+8)上是减函数，在(巴二尹,竺苧三)上是增函数.综上：当a 4 2时，f(x)在(0,+8)上是减函数，当a 2 时，

32、f(x)在(0,纥 竽 和(竺 竽 i,+8)上是减函数，在(匕 竽 i,竺宇)上是增函数.(2)证明：若 存 在 两 个 极 值 点 修,打，由(1)知Q 2,且%1，%2是2-ax+1 =0 的两根,则 i%2=1，不妨设0 X V 1 打，W(X l)-/(X2)1=(%2 一 i)(l H-)+a(lnx1 Z n x2)X1X2=2(X2-%i)+Q(伍 i 仇 工 2)，川 四 1)一/(%2)=_2+二(皿-，眸)X1-X2-x-x2 可知：要证33 a 2,X1X2即证处但%2则证必 n x1 ,xi xi即 证 伍 4-lnxt%!-,xi即证2仇%i%1 一 在(0,1)上

33、恒成立，设九(%)=2lnx%+%(0 x 1),其中h(l)=0,求导得/%)=?_ 1_ 2=_ 号1 =_ 丝/V 0,则八(无)在(0,1)上单调递减，当 0 x 八(1),即 21 n x-x+i 0,故 21 n x x ，X则f(X|)f(X 2)a_ 2成立.X1X2解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，属于较难题.(1)求出函数/(%)的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.第20页，共27页(2)可知：要证 a 2,即证/+%进行求解即可.%11%2 X112.答案：(1)证明：当a=0时，/(x)=(2+x)ln(l+x)-2

34、 x,(x)=ln(l+%)-含设函数g(x)=fM =ln(l+x)-则g(x)=777-当一1%V O 时，“(x)0 时，grM 0.故当x 一1时，g(x)g(0)=0,且仅当=0时,g M =0,从而/（无）之0,且仅当x=0时，/（久）=0.所以/（X）在（-1,+8）单调递增.又/(0)=0，故当一1%0 时，/(%)0 时，/(%)0.(2)解：若Q N 0,由(1)知,当 0 时，/(%)(2+x)ln(l+%)-2%0=/(0),这与=0是/(%)的极大值点矛盾.()若a 0,设函数依)=ln(l+x)-由于当|x|0,故八(%)与/(%)符号相同.又九(0)=f(0)=0

35、,故当且仅当x=0是九。)的极大值点时，=0是)的极大值点.卜“_1_2(2+x+aM)-2.(1+2*_ 婷(。2%2+45+6。+1)I )-1+x(2+x+ax2)2 (x+l)(ax2+x+2)2 如果6a+1 0,则当0 x 0,故 =0不是九(%)的极大值点.如果6a+1 0,则a 2/+4a%+6a+1=0,存在根与V 0,故当工 (%i，0)且因 m in,J 需 时，(%)0;当 (0,1)时,h!(x)0.所以=0是九(%)的极大值点，从而x=0是/(%)的极大值点.综上，a=一；.6解析：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，难度较大.(1)求导函数

36、，令g(x)=/()=ln(i+切-.再次求导，可得到f(x)的单调性，结合f(0)=0可证不等式；(2)讨论“的范围，从而得出。的值.13.答案:解：(1)函 数/(乃=。-1 1)。-。)。一1 3)，t2=0,d=1 时，/(%)=x(x+1)(%1)=%3 x,/(x)=3/-1,.-./(0)=0,尸(0)=-1,y=/(%)在点(0/(0)处的切线方程为y-0 =-lx(x-0),即 +y=0；(H)d=3 时,/(x)=(%t2+3)(x 1)(%J 3)=(X-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3 考9)x 母 +9t2；,/(%)=3x2 6t2x 4-3%9,令

37、/(x)=0，解得=t2 遮或=。+8；当 0,此时/(%)单调递增;当匕 一 百 V%2 +8 时 f(x)攵+百 时，/(%)0,此时/(%)单调递增,/(%)的极大 值 为-次)=(-V 3)3-9 x (-V3)=60，极小值为/(七+V3)=(V3)3-9 x V3 =-6 V3;(HI)曲线y=/(%)与直线y=-(X -t2)-有三个互异的公共点，等价于关于X的方程(%亡 2 +d)(%亡 2)(%亡 2 d)+(%亡 2)6 7 3 =0有三个互异的实数根，令a=x t2y 可得3 +(1 -d2)u+6A/3 =0;设函数 g(x)=%3+(1 d2)%+6痘,则曲线y=f

38、(%)与直线y=-(x -t2)-6 8 有 3 个互异的公共点，等价于函数y=g(x)有三个不同的零点；又g(X)=3x2 4-(1 -d2),当d 2 41 时，“(%)NO恒成立，此时g(x)在 R上单调递增，不合题意；当d2 1 时，令/(X)=0,解得/=-等，X2=等；g(x)在(-8,%i)上单调递增，在(%i，%2)上单调递减，在(%2,+8)上也单调递增；第22页，共27页 g。)的极大值为g(%i)=g(-等)=华卫+66 0；极小值为g(X2)=g(等)=-普星+6 后若9。2)2。由g(x)的单调性可知，函数g(x)至多有两个零点，不合题意；若。(%2)2 7，解得|矶

39、 也，此时|d|x2,g(|d|)=d+6 V3 0;-2d Xi，g(-2|d|)=-6|d|3-2d+6 V3 /1 0,4-00).解析：本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题.(1)求出 2 =0,d=1 时/Xx)的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；(1 1)计算/=3 时/(乃的导数，利用导数判断“X)的单调性，求出/Q)的极值；(III)曲线y=/(乃与直线y=-(x-t2)-6 次有三个互异的公共点，等价于关于x的方程/(x)+(x-t2)-6B =0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的

40、”的取值范围.14.答案：证明：(1)当a=l 时,函数/(*)=/_/.则 f(x)=ex 2x,令g(x)=ex-2 x,则g(x)=ex 2,令g(x)=0.得x-ln2.当 e(0 n2)时,h M 0,无(无)h(Zn2)=eln2-2 -ln2=2 -2ln2 0./(x)在 0,+8)单调递增，二 /(%)/(0)=1,解：(2)f(x)在(0,+8)只有一个零点=方程1 一 ax2=。在(0,+8)只有一个根，=a=|在(0,+8)只有一个根，即函数y=a与G(x)=三的图象在(0,+8)只有一个交点.%)=竽当x 6 (0,2)时，G(x)0,G(x)在(0,2)递增，在(2

41、,+8)递增,当T 0时，G(X)T+8,当-+8时，G(x)-4-00,/(X)在(0,+8)只有一个零点时，a=G=解析：(1)通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，(2)分离参数可得a=夕在(0,+8)只有一个根，即函数y=a与G(x)=3的图象在(0,+8)只有一个交点.结合图象即可求得本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题.15.答案:解：.,函数/(x)=Qe%一仇工 1.%0,尸(%)=aex-p ,%=2 是/(%)的极值点，/(2)=ae2-|=0,解得a=a，J%)=盘 一)一 1，/()=看/一%当

42、0 V x V 2 时，/(%)2 时，/(%)0,/(%)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.(2)证明：当a 时，f Q)N 三 一 Znx-1,设9(%)=y-/n x-1,则g(%)=?-%由g(%)=y =o 得 =1,当0%1 时，g(x)1 时，gQ)0,.x=1 是g(%)的最小值点，故当%0时,g(x)g(l)=0,当 a N，寸，f(x)0.解析：本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题.(1)推导出 0,f(x)=aex-%由 =2 是f (%)的极值点，解得a=*，从而/(%)=点 靖 一仇-1,进而(Q)=点3

43、由此能求出/(%)的单调区间.(2)当时，/(%)N -1,设g(x)=?仇%1,则g(%)=?%由此利用导数性质能证明当QZ 3 时，/(%)0.16.答案:解：(1)函数/。)=口/一(4。+1)%+4。+31的导数为/(%)=a%?(2 a+l)x+2ex,第24页，共27页由题意可得曲线y =f (%)在点(1 J(D)处的切线斜率为0,可得(a 2a 1 +2)e =0,且/(1)=(a +2)e 丰 0,解得Q =1;(2)/(%)的导数为尸(%)=ax2 (2a+l)x +2ex=(%-2)(a x -l)ex,当a 0时，则;2,此时/(x)在弓,2)递增；在(2,+8),(8

44、,今递减，可得/(在x =2处取得极大值，不符题意；当a =0时，若 久 0,/(%)递增；若 2,则/(%)0,/(%)递减，可得f(%)在 =2处取得极大值，不符题意；当0a 2,此时f(x)在(2,递减；在6,+8),(-8,2)递增，可得/(x)在x =2处取得极大值，不符题意；当。=4时，此时/。)=3 X-2)2/2 0,/(x)在R上递增，无极值，不符合题意；团当a；时,则;2,此时f(x)在。2)递减；在(2,+8),(8,6递增,可得/(x)在x =2处取得极小值，满足题意.综上可得，。的取值范围是(%+8).解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论

45、思想方法，以及运算能力，属于中档题.(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义，可得(a 2a l +2)e =0,进行求解即可；(2)根据题意，分类讨论，进行求解即可.17.答案：解：(1)函 数/(乃=口/一(3。+1 h+3。+2 1的导数为f (x)=a x2 (a +l)x +lex.曲线y =/(x)在点(2 J(2)处的切线斜率为0,可得(4a-2a-2+l)e 2=0,解得a =i；(I I )f (x)的导数为/(%)=ax2 (a +l)x +lex=(x l)(a x l)ex,若a =0,则x 0,/(x)递增；x 1时，f(x)l,则!1,f(x)在弓,1)递减；在(

46、1,+8)递增，可得f (%)在 =1处取得极小值；若0a1,/(%)在(一8,1)递增；在(1,递减,可得/(X)在X=1处取得极大值，不符题意；若a 0,则:1,0 a 1,a 0,由极小值的定义，即可得到所求的范围.18.答案：解：(1)/(%)=(2 3 1),一 黑2+X T)靖(ax+l)(x-2).f(0)=2,即曲线y=f(%)在点(0,-1)处的切线斜率k=2,曲线y=/(%)在点(0,一1)处的切线方程方程为y 一(-1)=2%,即2%y 1=0为所求.(2)证明：函数/(%)的定义域为：R,J 得 f (%)-(吟2 -，令/(%)=0,可 得=2,X2=一(0,当x e

47、 (-8,一时，f(x)o,x e(2,+8)时,f(x)1时，函数g(x)=ax2+x-1在(2,+8)单调递增，且g(2)=4a+1 0函数f(x)的图象如下：11 1v a 1,-6(0,1,则/()=e.:f(X)min=*-e，当a 1 时，/(%)+e 0.第26页，共27页解析：本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题.尸 =(2ax+l)ex (ax2+x l)ex(吟2由/(0)=2,可得切线斜率A =2,即可得到切线方程.(2)可得/(x)=G/=一 处 誓 二 2.可得/(X)在(2,+8)递减，在(一，2)递增，注意到a 2 1

48、 时，函数g(x)=a M +%-1 在(2,+8)单调递增，且g(2)=4 a +1 0只需(x)min=前 2 e，即可19.答窠：(1)解：当a =3 时，f(x)=x3-3(x2+x+l),所以尸(x)=x2 6 x 3,令;(x)=0,解得x=3 2 巡,当x 6(oo,3 2 /3)x 6(3 +2 V3,+8)时,r(x)0,函数单调递增,当x e (3 2 行,3 +2 通)时,r(x)0,所以f(x)=。等价于7 岛5-a =0,令 9(x)=VR-a,则丁。)=9(黑手 2 0,当且仅当X=0时，g(x)=0,所以g(x)在 R 上是增函数，g(x)至多有一个零点，从而/(X)至多有一个零点，又因为/(3 a -1)=-6 a2+2 a-=-6(a -)2-i 0,故/(x)有一个零点，综上，f(x)只有一个零点.解析：本题主要考查导数在研究函数中的应用.考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用,属于较难题.(1)利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果.(2)分离参数后求导，先找点，确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性.