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1、会计学1模模n剩余类环剩余类环第一页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18n n定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于整数b，是指n n mab,并写ab(mod m).n n 整数模m同余类共有m个，他 们 分 别 为 mk+0,mk+1,mk+2,mk+(m-1);kz，每一个算一类，每一类都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小的 非 负 整 数。于 是 称0,1,2,m-1为标准完全剩余系。第1页/共11页第二页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18定义定义定义定义2 2：模模模模 m m 的剩余类环模的剩余类环模的剩余类环模的剩余类环模
2、mm的剩余类，规定的剩余类，规定的剩余类，规定的剩余类，规定 R R中的中的中的中的加法和乘法如下：加法和乘法如下：加法和乘法如下：加法和乘法如下：如何证明如何证明如何证明如何证明 R R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R R关于加法是一个关于加法是一个关于加法是一个关于加法是一个AbelAbel群，
3、关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然后证明分配律成立成立成立成立第2页/共11页第三页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:182.2.2.2.剩余类环的性质剩余类环的性质剩余类环的性质剩余类环的性质定理1 设,则为的零因子(1)(2)为的可逆元证：(1)若为的零因子,则存在,使得,故.若,则,所以,矛盾.于是.反之,如果,设,则,所以,但,于是是零因子.第3页/共11页第四页，编辑于星期二：点 四十五分。2023
4、/5/26 04:18(2)若为的可逆元,则,即于是,使得,也就是，所以反之,如果,则,因此,故可逆.剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.第4页/共11页第五页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18例例例例 1 1解(1)(2)直接计算可知,相应的逆元为全部零因子:全部可逆元:(3)全部子环:(4)各子环特征:第5页/共11页第六页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18定理定理定理定理2 2为无零因子环为素数.为素数，若，则，或者，即若不是素数，则证：设为无零因子环.为有零因子环.第6页/共11页第七页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/2
5、6 04:18推论推论推论推论为域为素数.（有限无零因子环是除环）第7页/共11页第八页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18例2 Z5是域，Z6不是域.定理3 设m,n是两个正整数,则ZmZn当且仅当nm证：令第8页/共11页第九页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构.例 Z6的子环都是3阶循环环，但它们不同构.例 环Z6有T（6）4个子环例 第9页/共11页第十页，编辑于星期二：点 四十五分。2023/5/26 04:18第10页/共11页第十一页，编辑于星期二：点 四十五分。