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1、 14.1位移法的基本原理位移法的基本原理 14.2位移法的基本未知量位移法的基本未知量 14.3等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 14.4用平衡条件建立位移法方程及应用用平衡条件建立位移法方程及应用 14.5位移法的基本结构和典型方程位移法的基本结构和典型方程 学习目标学习目标 （1 1）掌握位移法的基本概念及解题思路。）掌握位移法的基本概念及解题思路。（2 2）能够准确分析基本未知量。）能够准确分析基本未知量。（3 3）能够熟练写出等截面直杆的转角位移方程。）能够熟练写出等截面直杆的转角位移方程。（4 4）能熟练用位移法计算超静定梁和无侧移刚架的内力。）能熟练用位移法计算超
2、静定梁和无侧移刚架的内力。P P位移法是计算超静定位移法是计算超静定结构的基本方法之一结构的基本方法之一.力法计算力法计算,9个基本未知量个基本未知量位移法计算位移法计算,1个基本未知量个基本未知量内力计算的关键是内力计算的关键是求结点位移求结点位移Z1 1结点结点A A的转角的转角 =+解得解得 （左侧受拉）（左侧受拉）（右侧受拉）（右侧受拉）（上侧受拉）（上侧受拉）1414.2.12.1结结点点角角位位移移结点角位移数目就等于刚结点的数目。结点角位移数目就等于刚结点的数目。独立角位移数目为独立角位移数目为1 1 有有4 4个角位移未知数个角位移未知数 刚性结点的结点角位移结点角位移和和独立
3、的结点线位移独立的结点线位移。基本未知量基本未知量:1414.2.22.2结结点点线线位位移移判断独立线位移数目的方法为铰化结点法。铰化结点法。（1）将结构各刚结点（包括固端支座）都变成铰结点，使整个结构变成一个完全的铰接体系；（2）如果此铰接体系为几何不变体系，则说明原结构没有独立的结点线位移。（3）如果铰接体系为几何可变体系（包括瞬变体 系），则需添加链杆约束使其成为几何不变体系。所需添加的链杆数目，就是原结构的独立线位移数目。1.1.位移法基本变形假定位移法基本变形假定（3 3 3 3）（1 1 1 1）（2 2 2 2）.忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即
4、忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变。变。变。变。结构的变形是微小的。结构的变形是微小的。结构的变形是微小的。结构的变形是微小的。结点线位移的弧线可用垂直于结点线位移的弧线可用垂直于结点线位移的弧线可用垂直于结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。杆件的切线来代替。杆件的切线来代替。杆件的切线来代替。3 3.转角位移方程转角位移方程位移法是以单跨超静定梁作为它的计算单元 单跨超静定梁的支承情况一般可以分为以下三
5、种：单跨超静定梁的支承情况一般可以分为以下三种：1 1）两端固定梁）两端固定梁2 2）一端固定一）一端固定一 端铰支梁端铰支梁3）一端固定一端滑动支承梁1414.4.14.1根据根据结点结点及截及截面平面平衡条衡条件建件建立位立位移法移法方程方程【例【例14-114-1】根据结点及截面平衡条件建立位移法方程，分析图14-11(a)所示的刚架。图14-11 1414.4.14.1根据根据结点结点及截及截面平面平衡条衡条件建件建立位立位移法移法方程方程 1414.4.14.1根据根据结点结点及截及截面平面平衡条衡条件建件建立位立位移法移法方程方程1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用
6、用1.1.无侧移结构的计算无侧移结构的计算【例【例14-214-2】用位移法计算图14-12(a)所示的连续梁，并作弯矩图。图14-121414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用【例【例14-414-4】用位移法计算图14-14(a)所示刚架，并作M图。图14-141414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程
7、的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用【例【例14-514-5】试用位移法计算图14-15(a)所示刚架，并作出M图。已知q=12 kN/m，l=3 m，横梁刚度为无穷大。图14-151414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用1414.4.24.2位位移移法法方方程程的的应应用用 1414.5.15.1位位移移法法的的基基本本结结构构和和典典型型方方程程在每个刚结点上加上附加刚臂，以控制结点的转动（但不能控制其移动）；在每个产生独立结点线位移的结点上，沿位移的方向加上附加杆件，以控制结点的移动（但
8、不能控制其转动）。基本结构基本结构基本结构基本结构:增加附加约束后增加附加约束后增加附加约束后增加附加约束后,使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能使得原结构的结点不能 发生位移的结构发生位移的结构发生位移的结构发生位移的结构.(a)(a)图为原结构图为原结构;(b)(b)图为基本结构图为基本结构.附加约束是指附加刚臂和附加杆件。附加约束是指附加刚臂和附加杆件。1414.5.15.1位位移移法法的的基基本本结结构构和和典典型型方方程程如图（a）所示刚架，其刚结点数目为7，独立结点线位移数目为3，共有10个基本未知数。其基本结构如图（b）所示。1414.5.25.2位位移移
9、法法典典型型方方程程刚架有两个基本未知数。刚架有两个基本未知数。结点B的角位移 结点B的水平位移 在结点 B B处加附加刚臂处加附加刚臂.在结点 C C处加加一水平附加杆件处加加一水平附加杆件.得基本结构如图（b）所示。1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程附加刚臂上产生了反力矩 荷载作用下附加杆件上产生了反力 结点 B B产生转角产生转角 Z Z1 1附加刚臂上产生了反力矩 附加杆件上产生了反力 结点 B B产生移动产生移动 Z Z2 2附加刚臂上产生反力矩 附加杆件上产生了反力 1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程 设该刚架中附加刚臂上的总反力矩为R1 ，附加杆件
10、，附加杆件上的总反力为上的总反力为R2:又因原结构并无附加刚臂和水平附加杆件，故应有 Rik表示在附加约束上产生的反力（或反力矩），第一个下标表示发生反力（或反力矩）的位置，第二个下标表示产生此反力（或反力矩）的原因。设设位移法的基本方程为位移法的基本方程为1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程得得 对于具有n个基本未知数的结构，位移法的典型典型方程：结点的广义位移，可以是线位移或角位移 rij ij(i=ji=j)主系数主系数主系数主系数00rij ij=rji ji 反力互等反力互等反力互等反力互等RiP iP 荷载系数荷载系数荷载系数荷载系数rij ij(i=ji=j)副系数
11、副系数副系数副系数 原结构无附加约束存在，因此基本结构在荷载等外因和原结构无附加约束存在，因此基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同影响下所产生的附加约束的约束反力（反力各结点位移的共同影响下所产生的附加约束的约束反力（反力或反力矩）的总和为零。或反力矩）的总和为零。1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程r11为基本结构上当 Z1=1时在附加刚臂 B处引起的反力矩，r21为基本结构上当 Z1=1时在附加杆件上产生的反力 r12为基本结构上当 Z2=1时在附加刚臂 B处引起的反力矩，r22为基本结构上当 Z2=1时在附加杆件上产生的反力 力法、位移法对比力法、位移法对比 力法力法力法
12、力法 基本未知量：多余约束力基本未知量：多余约束力基本未知量：多余约束力基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结基本结构：一般为静定结基本结构：一般为静定结基本结构：一般为静定结构。构。构。构。作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图 由内力图自乘、互乘求系由内力图自乘、互乘求系由内力图自乘、互乘求系由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。数，主系数恒正。数，主系数恒正。数，主系数恒正。建立力法方程（协调）建立力法方程（协调）建立力法方程（协调）建立力法方程（协调）位移法位移法位移法位移法 基本未知量：结点独立位基本未知量：结点独立位基本未知量：结点独立位基
13、本未知量：结点独立位移移移移 基本结构：单跨梁系基本结构：单跨梁系基本结构：单跨梁系基本结构：单跨梁系 作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图作单位和荷载内力图 由内力图的结点、隔离体平由内力图的结点、隔离体平由内力图的结点、隔离体平由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。衡求系数，主系数恒正。衡求系数，主系数恒正。衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）建立位移法方程（平衡）建立位移法方程（平衡）建立位移法方程（平衡）解方程求多余未知力解方程求多余未知力解方程求多余未知力解方程求多余未知力 迭加作内力图迭加作内力图迭加作内力图迭加作内力图 用变形条件进行校核用变形条
14、件进行校核用变形条件进行校核用变形条件进行校核 解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移 迭加作内力图迭加作内力图迭加作内力图迭加作内力图 用平衡条件进行校核用平衡条件进行校核用平衡条件进行校核用平衡条件进行校核不能解静定结构不能解静定结构不能解静定结构不能解静定结构可以解静定结构可以解静定结构可以解静定结构可以解静定结构1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程位移法典型方程与力法典型方程的区别位移法典型方程与力法典型方程的区别:（1）基本未知数的性质不同：前者为“位移”，而后者为“力”。（2）系数和自由项的物理意义不同：前者表示附加约束上的反
15、力或反力矩，而后者则表示沿多余未知力方向的位移。（3）典型方程的性质不同：前者为静力平衡方程，而后者为位移协调方程。1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程【例【例14-614-6】用位移法计算图（a）所示的刚架。1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程 此刚架有一个结点角位移，即结点此刚架有一个结点角位移，即结点 B B的转角。的转角。(1)(1)确定基本未知量。确定基本未知量。(2)取基本结构。在结点B处加上附加刚臂，得基本结构如图（b）所示。(3)建立位移法典型方程：(4)计算系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1以及荷载单独作用下的 弯矩图弯矩图 1414.5.2
16、5.2位位移移法法典典型型方方程程 得得 同理，有同理，有 解得解得 1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程 (5)(5)将求得的系数和自由项代入典型方程：将求得的系数和自由项代入典型方程：解得解得 (6)(6)画弯矩图画弯矩图 1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程【例【例14-614-6】用位移法计算图（a）所示的刚架，并作弯矩图。1414.5.25.2位位移移法法典典型型方方程程 此刚架有2个基本未知数，一个结点角位移和一个线位移。(1)(1)确定基本未知量。确定基本未知量。(2)取基本结构。在结点C处加上附加刚臂，在结点D处加上一根水平附加杆件，所得基本结构如图
17、（b）所示。(3)建立位移法典型方程：(4)计算系数和自由项。由结点由结点 C C的力矩平衡条件的力矩平衡条件,分别求出分别求出:同理可求出同理可求出:(5)(5)将求得的系数和自由项代入典型方程：将求得的系数和自由项代入典型方程：解得 (6)(6)画弯矩图画弯矩图 1414.5.35.3用位用位移法移法典型典型方程方程求解求解超静超静定结定结构的构的步骤步骤 （1）确定基本未知量和基本结构。确定基本未知量和基本结构。（2）建立位移法典型方程。建立位移法典型方程。（3）利用利用“等截面直杆杆端弯矩和剪力等截面直杆杆端弯矩和剪力”表，分别绘制基本结表，分别绘制基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，由静力平衡方程求出各系数和自构的单位弯矩图和荷载弯矩图，由静力平衡方程求出各系数和自由项。由项。1414.5.35.3用位用位移法移法典型典型方程方程求解求解超静超静定结定结构的构的步骤步骤 （5）由）由 叠加计算结构各杆端弯矩，绘制出叠加计算结构各杆端弯矩，绘制出最终弯矩图；利用平衡求杆端剪力和轴力，作出剪力图和轴力图。最终弯矩图；利用平衡求杆端剪力和轴力，作出剪力图和轴力图。（6）校核）校核。（4）将求出的各系数和自由项代入典型方程中，求出基本未将求出的各系数和自由项代入典型方程中，求出基本未知量。知量。