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1、 12.1概述概述 12.2虚功原理虚功原理 12.3荷载作用下结构位移计算公式荷载作用下结构位移计算公式 12.4荷载作用下结构位移计算公式的实际应用荷载作用下结构位移计算公式的实际应用 12.5图乘法图乘法 12.6温度变化、支座移动引起的位移计算温度变化、支座移动引起的位移计算 12.7线弹性系的互等定理线弹性系的互等定理 学习目标学习目标 （1 1）了解静定结构的位移计算的相关概念。）了解静定结构的位移计算的相关概念。（2 2）理解并掌握虚功原理、位移计算的一般公式、单位荷载法、）理解并掌握虚功原理、位移计算的一般公式、单位荷载法、图乘法。图乘法。（3 3）能够求解结构的位移。）能够求
2、解结构的位移。（4 4）了解结构由于温度变化、支座移动引起的位移计算）了解结构由于温度变化、支座移动引起的位移计算 和线弹性体系的互等定理。和线弹性体系的互等定理。1212.1.11.1位位移移的的概概念念截面的移动和转动称为截面的移动和转动称为位移位移。截面转动的角度称为该截面的截面转动的角度称为该截面的角位移角位移。截面形心移动的距离称为该截面的截面形心移动的距离称为该截面的线位移线位移；AP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷荷载载温温度度改改变变支座移支座移动动还还有什有什么么原原因因会会使使结结构构产产生位移生位移?为为什什么么要要计计算算位移位移?1212.
3、1.11.1位位移移的的概概念念1212.1.21.2计计算算静静定定结结构构位位移移的的目目的的（1 1）对结构进行刚度校核。结对结构进行刚度校核。结构除了要满足强度要求外构除了要满足强度要求外,还要还要具有足够的刚度具有足够的刚度,以便将结构的以便将结构的变形或位移限制在一定的范围变形或位移限制在一定的范围之内。之内。（2 2）为解决超静定问题打下）为解决超静定问题打下基础。在分析超静定结构时基础。在分析超静定结构时,只考虑静力平衡条件是不够只考虑静力平衡条件是不够的的,还必须根据结构的位移条还必须根据结构的位移条件建立补充方程件建立补充方程,才能获得正才能获得正确的解答。确的解答。（3
4、3）为生产使用提）为生产使用提供依据。在结构的制供依据。在结构的制作、安装过程中常要作、安装过程中常要预先知道结构的变形预先知道结构的变形情况情况,以便采取一定以便采取一定的施工措施的施工措施,因此也因此也要进行位移计算。要进行位移计算。1212.2.12.1功功的的概概念念力矩对物体所作的功：力矩对物体所作的功：当力与位移垂直，功为零。当力与位移垂直，功为零。功是代数量，可正、可负、也可为零。功是代数量，可正、可负、也可为零。当力与位移方向相同，功为正；当力与位移方向相同，功为正；当力与位移方向相反，功为负；当力与位移方向相反，功为负；功的量纲为力与长度的乘积功的量纲为力与长度的乘积,单位为
5、单位为:或或 1212.2.12.1功功的的概概念念2 2.广义力与广义位移广义力与广义位移F称为称为广义力广义力:单个集中力、集中力偶或一对力单个集中力、集中力偶或一对力 及一对力偶；及一对力偶；称称为为广广义义位移位移，可以是，可以是线线位移或角位移。位移或角位移。广义力作功须与广义位移一一对应。广义力作功须与广义位移一一对应。1212.2.32.3刚刚体体虚虚功功原原理理 刚体处于平衡状态的充分与必要条件是：外力刚体处于平衡状态的充分与必要条件是：外力所作的虚功之和恒等于零。所作的虚功之和恒等于零。（1）用虚位移用虚位移法求未知力。虚位移法求未知力。虚位移法就是虚设位移法就是虚设位移状态
6、状态,利用虚功利用虚功方程求未知方程求未知力。这种形力。这种形式的应用式的应用,即即为虚位移原理。为虚位移原理。（2）用虚荷载法求用虚荷载法求未知位移。虚荷载法未知位移。虚荷载法就是虚设力状态就是虚设力状态,利用利用虚功方程求位移。这虚功方程求位移。这种形式的应用种形式的应用,即为虚即为虚荷载原理。荷载原理。刚体虚功刚体虚功原理应用原理应用1212.2.32.3刚刚体体虚虚功功原原理理【例【例12-112-1】如图12-6(a)所示,当外伸梁在支座B处向上移动距离a时,求C点的竖向位移Cy。图12-61212.2.32.3刚刚体体虚虚功功原原理理 在在C C点虚加一单位力点虚加一单位力建立虚设
7、力系与给定位移之间的虚功：建立虚设力系与给定位移之间的虚功：由平衡方程可求出：由平衡方程可求出：单位力作用下支座单位力作用下支座B B 的约束力的约束力 则则：这一沿所求位移这一沿所求位移方向虚设单位荷方向虚设单位荷载的方法称为载的方法称为虚虚单位荷载法单位荷载法。求D点的水平位移在D点作用一单位水平力P力状态 外力功 支座无移动，支座反力不做功 位移状态 在结构杆上任取一微段 微段因实际荷载作用而引起的变形为 此微段上由虚设力引起的内力在实际荷载引起的变形上所做的虚功 其中 为剪应力不均匀系数，其值与截面的形状有关 矩形截面圆形截面工字型截面在整根杆上内力虚功为：整个结构的内力功的总和为：结
8、构在荷载作用下任一点位移的计算公式 单位力作用下的内力 实际荷载作用下引起的结构的内力 任何符合胡克定律的杆件结构，无论是梁、桁架、刚架、拱或由它们组合而成的组合结构都可以用此式计算。本质上是计算功的公式。为负值，方向应与虚设的力的方向相反。计算相对位移时虚设单位力:求结构上某两点 A、B间的相对位移求某一截面转角 求某杆转角 求铰两侧的相对转角 求两杆的相对转角 3 3.组合结构组合结构4 4.拱拱请看下面的案例请看下面的案例引例引例解析解析【例【例12-212-2】求图12-10(a)所示的悬臂梁B端截面的转角B和挠度yB,EI为常数。图12-10【例【例12-312-3】试求图12-11
9、(a)所示的刚架结点B的水平位移Bx及角位移B。图12-11 【例【例12-412-4】试求图12-12(a)所示的桁架下弦中间结点B的挠度。设各杆的EA均相等。图12-12 【例【例12-512-5】试求图12-13(a)所示半径为R的1/4圆周形等截面曲梁B点的竖向位移Bx。设E、A、G、已知,均为常数。图12-13 1212.5.15.1图图乘乘法法的的计计算算公公式式结构和荷载满足条件结构和荷载满足条件：（1）EIEI沿杆长度不变，即沿杆长度不变，即EIEI为常数；为常数；（2 2）杆件为直杆；）杆件为直杆；图和图和M MP P图中至少有一个为直线图形图中至少有一个为直线图形.（3 3
10、）AB为直杆为直杆 x x截面截面 1212.5.15.1图图乘乘法法的的计计算算公公式式则：则：MP图的形心C对应的 图上的y坐标.则：则：两个图形相乘的积，等于其中一个图两个图形相乘的积，等于其中一个图形的面积形的面积（通常取曲线图形的面积）（通常取曲线图形的面积）乘以此图的形心所对应的另一图形乘以此图的形心所对应的另一图形（必须是直线图形）的纵坐标（必须是直线图形）的纵坐标y yc c 所以：所以：1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用 （1 1）必须满足前述的三个条件，若必须满足前述的三个条件，若EIEI为分段常数，应分段为分段常数，应分段计算计算。（2 2）面积面积
11、与与y yc c在杆的同侧时，二者乘积取正号；反之，在杆的同侧时，二者乘积取正号；反之，取负号。取负号。（3 3）ycyc必须取自直线图中，而必须取自直线图中，而 则为另一图形面则为另一图形面积积。（4 4）如果某一个图形是由几段直线组成的折线，如果某一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段计算。则应分段计算。1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用 （5 5）不便确定形心的复杂图形，可应用叠加原理，不便确定形心的复杂图形，可应用叠加原理，把图形分解后图乘，再将结果代数和。把图形分解后图乘，再将结果代数和。1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用式中：式中：1212
12、.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用 式中：式中：（6 6）对于图所示一均布荷载作用的部分，对于图所示一均布荷载作用的部分，MMP P图图可视为同一简支梁两端受力偶作用下的弯矩图与均可视为同一简支梁两端受力偶作用下的弯矩图与均布荷载作用下的弯矩图的叠加结果。计算时可分别布荷载作用下的弯矩图的叠加结果。计算时可分别图乘，再求出其代数和即可。图乘，再求出其代数和即可。1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用标准抛物线标准抛物线是指顶点在图形的中点或端点的抛物线。是指顶点在图形的中点或端点的抛物线。抛物线的顶点是指切线平行于基线的点 1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式
13、的的应应用用请看下面的案例请看下面的案例引例引例解析解析1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用【例【例12-612-6】已知EI为常数,试求图12-20(a)所示简支梁A端的角位移A和梁中点C的竖向位移Cy。图12-201212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用 画荷载弯矩图和两个单位弯矩图画荷载弯矩图和两个单位弯矩图 A A端的角位移端的角位移点点C C的竖向位移的竖向位移1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用【例【例12-712-7】求图所示外伸梁A端的角位移和C端的竖向位移。图12-2112
14、12.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用 画荷载弯矩图和两个单位弯矩图画荷载弯矩图和两个单位弯矩图 A A端的角位移端的角位移C C端的竖向位移端的竖向位移（）注意注意:MP图中图中C点不是抛物线的顶点点不是抛物线的顶点,即该图不是即该图不是标准的抛物线，可将它看成是虚线与轴线标准的抛物线，可将它看成是虚线与轴线BC连成连成的三角形与相应简支梁的均布荷载作用下的标准的三角形与相应简支梁的均布荷载作用下的标准抛物线图形叠加而成。上述各部分分别图乘后叠加抛物线图形叠加而成。上述各部分分别图乘后叠加.1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用1212.5.25.2图图乘乘法法公
15、公式式的的应应用用【例【例12-812-8】试求刚架B点的水平位移。E为常数。图12-22 作MP图和M图,如图12-22(b)、(c)所示,分段图乘时,可将BC段视为虚线与曲线之间包含的部分叠加而成,将上述各部分分别图乘后叠加得1212.5.25.2图图乘乘法法公公式式的的应应用用1212.6.16.1温温度度改改变变而而引引起起的的位位移移当温度变化时，静定结构因没有多余约束，所当温度变化时，静定结构因没有多余约束，所以各截面都不会产生内力，支座也不会产生反力。以各截面都不会产生内力，支座也不会产生反力。但静定结构会产生变形，其各截面会产生位移。但静定结构会产生变形，其各截面会产生位移。表
16、示当温度变化1 时杆所产生的相对变形 线膨胀系数线膨胀系数轴线处温度的升高值。轴线处温度的升高值。假定温度变化是均匀的，即每一根杆上各截面的温度变化是相同的，沿杆截面高度温度按线性规律变化。1212.6.16.1温温度度改改变变而而引引起起的的位位移移(1)(2)微段两侧温度改变之差。1212.6.16.1温温度度改改变变而而引引起起的的位位移移求k点位移 在K截面处施加一单位力 其中:当结构中每一杆件沿其全长温度改变相同且截面等高，则上式可改写为 虚设单位力所引起的弯矩图的面积 虚设单位力所引起的轴力图的面积 式中的正负号规定如下：若虚拟状态的内力的方向与温度改变所引起的变形方向一致，则取正
17、号，否则取负号。1212.6.16.1温温度度改改变变而而引引起起的的位位移移【例【例12-912-9】如图所示的结构中,内部温度上升10,外部下降20,l=4 m,各杆截面均为矩形截面,截面高度h=40cm,截面形心位于截面高度1/2处，=110-5,求C点的竖向位移Cy。1212.6.16.1温温度度改改变变而而引引起起的的位位移移 1212.6.26.2因因支支座座移移动动引引起起的的位位移移静定结构支座移动并不产生内力也无变形，只是发生刚性位移。因为实际杆件并没有发生变形，所以内力虚功为零。虚功方程为即 支座移动所引起的真实位移；虚拟状态中的支反力；支座位移。【例【例12-1012-1
18、0】图12-25(a)所示为一简支刚架。支座A有水平位移a=1.0cm和竖向位移b=1.5cm,试求C点水平位移Cx和竖向位移Cy。图12-251212.6.26.2因因支支座座移移动动引引起起的的位位移移1212.6.26.2因因支支座座移移动动引引起起的的位位移移 1212.7.17.1功功的的互互等等定定理理 在线弹性体系中，第在线弹性体系中，第i i状态的外力在第状态的外力在第k k状态的位移上状态的位移上所作的虚功等于第所作的虚功等于第k k状态的外力在第状态的外力在第i i状态的位移上所作的状态的位移上所作的虚功虚功。1212.7.27.2位位移移互互等等定定理理 单单位力位力Pk=1引起的在引起的在Pi作用点处沿作用点处沿Pi方向的位移，等于方向的位移，等于单位力单位力Pi=1=1引起的在引起的在Pk作用点处沿作用点处沿Pk方向的位移。方向的位移。位移影响系数位移影响系数 1212.7.37.3反反力力互互等等定定理理 支座支座i i由于支座由于支座k k发生的单位位移所引起的反力发生的单位位移所引起的反力r ri ki k，等于支座等于支座k k由于支座由于支座i i发生的单位位移所引起的反力发生的单位位移所引起的反力r r ki ki。