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1、建筑力学第14章教学课件 建 筑 力 学CONTENTS目 录位移概述功与虚功原理荷载作用下结构位移计算公式及其应用14.114.214.3第14章 静定结构的位移图乘法14.4静定结构由于支座移动、温度变化引起的位移线弹性体的互等定理14.514.6PART14.1位移概述14.1 位移概述工程结构在荷载作用下,其形状将发生改变,结构上各点的位置会发生相应的移动。杆件的截面除移动外还会转动,截面的移动和转动称为位移。其中，截面形心移动的距离称为该截面的线位移，截面转动的角度称为该截面的角位移。14.1 位移概述如图14-1所示,刚架在均布荷载作用下发生图中虚线所示的变形,此时,A点移动到A点
2、,即A点的线位移为AA,记为A。若将AA沿水平方向和竖直方向分解,则分量Ax和Ay分别称为A点的水平线位移和竖向线位移。同时,截面A还将转动一个角度A,这就是截面A的角位移。图图14-1 14-1 线位移和角位移线位移和角位移14.1.1 结构产生位移的因素使结构产生位移的因素主要有以下三个方面：（1）荷载。结构在荷载作用下将会产生内力，因而可能使结构产生位移。（2）温度变化。凡材料都有热胀冷缩的物理性能，故当结构周围的温度发生变化时，有可能使结构产生位移。（3）支座位移。若地基发生沉降，则结构的支座将会发生移动或转动，因而也可能使结构产生位移。除上述因素外，其他因素（材料的干缩、混凝土的凝结
3、收缩及结构构件的尺寸制作误差等）也可能使结构产生位移。14.1.2 位移计算的目的计算结构位移主要有以下三个目的：（1）校核结构刚度。在进行结构设计时，不仅要保证其具有足够的强度，而且应当满足一定的刚度要求。因为结构的刚度是以变形或位移来度量的，所以在校核刚度时需要计算结构的位移。（2）计算超静定结构。超静定结构是有多余约束的，所以计算超静定结构的内力和反力时，除了应用静力平衡条件外，还必须考虑结构的变形协调条件。因此，在计算超静定结构、建立变形协调方程时，也必须计算结构的位移。14.1.2 位移计算的目的（3）为生产及使用提供位移数据。有时，为了满足设计对结构外形的要求，需要预先计算并考虑结
4、构的位移。例如，对于大跨度的梁和屋架，在制作时常需预先起拱，这样可以避免在使用状态下产生明显的下挠。14.1.2 位移计算的目的如图14-2所示，在制作屋架时，预先留出起拱量s。又如多跨桁架桥常采用悬臂拼装的方式施工，为确保桥段的顺利合拢就位和桥面的顺直，也需要对结构在施工过程中产生的位移进行计算，以便在施工中采取相应的措施。图图14-2 14-2 屋架屋架PART14.2功与虚功原理14.2.1 功功是物体上所作用的力与其作用点沿力方向上位移的乘积。如图14-3所示,设恒力F作用在物体上,并使物体在水平方向上产生位移,则称力F在位移上做了功,其大小为W=Fcos=Fx图图14-3 14-3
5、力做功力做功14.2.1 功又如图14-4所示,物体在力偶m=Fd作用下而产生角位移,则力偶在角位移上做了功,其大小为同理也可得出力矩对物体所做的功为W=M式中,W为力矩的功；M为力矩；为物体在力矩作用下转过的角度。图图14-4 14-4 力偶做功力偶做功14.2.1 功功是代数量,可正、可负，也可为零。当力与位移方向相同,功为正，反之为负；当力与位移垂直时,功为零。功的量纲为力与长度的乘积,单位为Nm或kNm等。根据力与位移的关系，可将功分为以下两种情况：（1）位移是由做功的力引起的。例如，图14-5所示的简支梁在力F1的作用下产生实线所示的变形，位移11就是由做功的力F1引起的，力F1本身
6、引起的位移对力F1而言为实位移，力在其自身引起的位移（实位移）上所做的功称为实功。此时的状态称为力状态，也称为第一状态。14.2.1 功（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。例如，如图14-5所示，在简支梁达到实线所示的位置后，再在梁上作用力F2，使梁继续发生变形到虚线所示位置。此时，力F1的作用点有位移12，但是该位移不是由力F1引起的，而是由力F2引起的。因此，对于力F1而言，位移12是虚位移，力F1在其他因素引起的位移（虚位移）上所做的功称为虚功。此时的状态称为位移状态，也称为第二状态。图图14-5 14-5 实功与虚功实功与虚功14.2.1 功这时，第一状态中的力F1在
7、第一状态对应的位移11上所做的实功为第一状态中的力F1在位移状态中对应的位移12上所做的虚功为W12=F112式中，有两个脚标，第一个脚标表示位移发生的位置和方向，第二个脚标表示位移发生的原因。由此可见，虚功要求做功的力和位移之间毫不相关，因此做虚功必须具备两种毫不相关的状态。14.2.2 刚体虚功原理刚体处于平衡状态的充要条件是：外力所做的虚功之和恒等于零。即W外=0(14-1)刚体虚功原理常在以下方面应用：(1)用虚位移法求未知力。虚位移法就是虚设位移状态,利用虚功方程求未知力。这种形式的应用即为虚位移原理。(2)用虚荷载法求未知位移。虚荷载法就是虚设力状态,利用虚功方程求位移。这种形式的
8、应用即为虚荷载原理。虚位移原理和虚荷载原理统称为虚功原理。14.2.2 刚体虚功原理【例例14-114-1】图图14-6 14-6 【例【例14-114-1】图】图14.2.2 刚体虚功原理14.2.3 变形体虚功原理前面讨论的是外力的功,而构件在外力作用下会产生内力,内力在其本身引起的变形上所做的功称为内力实功；内力在其他原因引起的变形上所做的功称为内力虚功。对变形体,外力虚功不再等于零,因为变形内力要做虚功。经证明,变形体处于平衡状态的充要条件是：外力在对应的位移上所做的外力虚功总和等于各微段上的内力在其对应的变形上所做的内力虚功总和,即W外=W内(14-2)14.2.3 变形体虚功原理如
9、图14-7所示的简支梁,P1为第一组先加在结构上的力,P2为第二组后加在结构上的力,两组力彼此独立无关,则结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所做的外力虚功等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所做的内力虚功。图图14-7 14-7 简支架简支架PART14.3荷载作用下结构位移计算公式及其应用14.3.1 荷载作用下结构位移计算公式设结构在一组荷载P1、P2作用下而发生图14-8(a)中虚线所示的变形,现欲求D点的水平位移,可应用变形体的虚功原理。将此变形看作实际的位移状态,为了求出D点的水平位移而虚设一组力状态,即在D点作用一单位水平力P=1,并求出相应的支座反力,如图14-8(b
10、)所示。图图14-8 14-8 荷载作用结构位移的计算荷载作用结构位移的计算14.3.1 荷载作用下结构位移计算公式这两个状态是彼此无关的。现令力状态的力在位移状态的位移上做功。由于支座无移动,支座反力不做功,外力功只有虚设力P=1在位移上做功,用W外表示外力做的功,其值为W外=1(14-3)W内是虚设力状态的内力FN、FS、M在位移状态的变形上所做的虚功之和。为了求此内力虚功,可在结构杆上任取一微段ds,此微段因实际荷载作用而引起的变形为轴向变形d,剪切变形d,和弯曲变形d，如图14-8(c)、(d)、(e)所示,其数值为14.3.1 荷载作用下结构位移计算公式14.3.1 荷载作用下结构位
11、移计算公式考虑到一个结构中有许多根杆,所以整个结构的内力功的总和为(14-4)将式(14-3)和式(14-4)代入式(14-2),得(14-5)式（14-5）是结构在荷载作用下任一点位移的计算公式。从推导过程可知,欲求某点沿某一方向的位移,只需在该点上沿所求位移的方向加上一个P=1的单位力,作出结构在此单位力作用下的内力图(或内力方程)FN、FS、M,然后代入式(14-5)计算即可,式中的FNP、FSP、MP是实际荷载作用下结构的内力。14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用本节通过工程结构具体实例分析进一步说明应用式(14-5)的一般方法。式(14-5)中的三项分别表示FNP、FSP、
12、MP对位移的影响,在实际应用时,对不同的结构形式,由于FNP、FSP、MP对其位移的影响程度是不同的,按保留主要影响忽略次要影响的原则,式(14-5)可得到不同的简化。14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用 1.梁和刚架对于梁和刚架,影响位移的主要因素是弯矩,而轴力和剪力所引起的位移则较小,可略去不计。如果各杆均为直杆,则令dx=ds,故位移计算公式可简化为(14-6)计算时,应列出各杆的弯矩方程M和MP,以进行积分运算。14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用 2.桁架在桁架中,因各杆只受轴力作用,剪力和弯矩均为零,所以位移计算公式可简化为又因桁架杆是等截面的,且轴力沿杆长也无
13、变化,所以上式可进一步简化为(14-7)14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用 3.组合结构组合结构一般为桁架与梁的组合,对桁架只考虑轴力的影响,对受弯杆件则只考虑弯矩的影响,故位移公式可简化为(14-8)14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用 4.拱因为拱轴力较大,所以轴力引起的位移不能忽略,故一般情况下拱的位移公式为(14-9)若拱的曲率半径较小而厚度较大,则剪力的影响也不能忽略。14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用【例例14-214-2】图图14-9 14-9 【例【例14-214-2】图】图14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用14.3.2 荷载作用下
14、结构位移计算公式的应用【例例14-314-3】图图14-10 14-10 【例【例14-314-3】图】图14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用【例例14-414-4】图图14-11 14-11 【例【例14-414-4】图】图14.3.2 荷载作用下结构位移计算公式的应用【解】为求结点B的挠度,在结点B处施加一单位力P=1,得虚拟状态，如图14-11(b)所示。在荷载和单位力P=1分别作用下桁架各杆的轴力如图14-11(a、(b)所示(求解过程略),轴力以受拉为正。由式(14-7)得PART14.4图乘法14.4.1 图乘法适用条件及图乘
15、法公式建筑结构多为梁和刚架,从前述例题中可以看到,直接应用位移公式（14-6）进行积分运算是很麻烦的,但如果结构和荷载满足以下条件,则此积分运算可以变得相对简单些：EI沿杆长度不变,即EI为常数；杆件为直杆；M图和MP图中至少有一个为直线图形。在图14-12中,AB为直杆,M图为一段直线,而MP图为任意形状。图图12-12 12-12 图乘法公式推导用图图乘法公式推导用图14.4.1 图乘法适用条件及图乘法公式现取AB杆轴线为x轴,M图直线段的延长线与x轴的交点为坐标原点,建立坐标系,设杆截面的抗弯刚度EI为常数,则在AB杆上距原点x处任取一截面,由图可知M=xtan。因tan为常数,故有14
16、.4.1 图乘法适用条件及图乘法公式式中,MPdx是MP图中阴影部分的微分面积；xMPdx是该微面积对轴y的静矩；BAxMPdx表示MP图的全面积对纵轴y的静矩,等于MP图的全面积乘以其形心到y轴的距离xC,即BAxMPdx=xC则BAMMPdx=xCtan设MP图的形心为C,该点对应的M图上的y坐标为yC,则有xCtan=yC,所以BAMMPdx=yC于是,位移计算公式可写成(14-10)14.4.1 图乘法适用条件及图乘法公式式(14-10)表明：两个图形相乘的积等于其中一个图形的面积(通常取曲线图形的面积)乘以此图的形心所对应的另一图形(必须是直线图形)的纵坐标yC。这就是位移计算的图乘
17、法公式。14.4.2 图乘法公式的应用应用图乘法公式计算时应注意以下几点：(1)必须满足前述的三个条件,若EI为分段常数,应分段计算。(2)面积与yC在杆的同侧时,yC的乘积取正号；反之,yC的乘积取负号。(3)yC必须取自直线图中,而则为另一图形面积。(4)如果某一个图形是由几段直线组成的折线,则应分段计算。(5)对不便确定形心的复杂图形,可应用叠加原理,把图形分解后分别图乘,再求其代数和14.4.2 图乘法公式的应用在应用抛物线图形的公式时,抛物线所包围面积与形心位置计算公式如图14-13所示。但必须注意此公式只适用于图形是标准抛物线的情况。抛物线的顶点是指切线平行于基线的点,标准抛物线是
18、指顶点在图形的中点或端点的抛物线。图图14-13 14-13 抛物线所包围面积与形心位置计算公式抛物线所包围面积与形心位置计算公式14.4.2 图乘法公式的应用【例例14-514-5】图图14-14 14-14 【例【例14-514-5】图】图14.4.2 图乘法公式的应用【解】作荷载弯矩图和两个单位弯矩图,如图14-14(b)、(c)、(d)所示。将图14-14(b)与图14-14(c)相乘,得14.4.2 图乘法公式的应用【例例14-614-6】图图14-15 14-15 【例【例14-614-6】图】图14.4.2 图乘法公式的应用PART14.5静定结构由于支座移动、温度变化引起的位移
19、14.5.1 支座移动引起的静定结构的位移计算支座移动不会使静定结构产生内力发生变形，只会使静定结构发生刚体位移。如图14-16所示的静定结构,其支座发生水平位移Cx、竖向位移Cy和转角,现欲求由此引起的任意一点沿任意方向的位移。图图14-17 14-17 【例【例14-714-7】图】图14.5.1 支座移动引起的静定结构的位移计算位移仍能用虚功原理来计算时，虚拟力状态的选取同前，因实际杆件并没有发生变形，因此内力虚功为零。因此虚功方程为即（14-11）式（14-11）是静定结构在支座产生位移时的位移计算公式。其中，fRi为虚拟状态的支座反力，Ci为实际状态的支座位移，RiCi为反力虚功。当
20、fRi与实际支座位移Ci的方向一致时，其乘积取正；反之则取负。14.5.1 支座移动引起的静定结构的位移计算【例例14-714-7】图图14-17 14-17 【例【例14-714-7】图】图(a)(a)实际状态实际状态(b)(b)虚拟状态虚拟状态1(c)1(c)虚拟状态虚拟状态2 214.5.1 支座移动引起的静定结构的位移计算14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算静定结构在温度变化（与施工时的温度相比）时，不产生内力。但由于材料的热胀冷缩特性，结构产生变形，所以引起结构位移。如图14-18所示图图14-18 14-18 温度变化引起的静定结构的位移计算简图温度变化引起的静定结构的位
21、移计算简图14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算设任意微段ds的上边缘温度升高t1，下边缘温度升高t2，并假定温度沿截面的高度h线性分布，则在发生变形后，截面还将保持平面状态。此时，杆件轴线处的温度t0为（14-12）若h1=h2，则上、下边缘的温差为微段ds的轴向伸长应变为=t0（14-13）14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算微段ds的曲率为（14-14）式中，为线膨胀系数，其物理意义为当温度变化1时杆所产生的相对变形。由于静定结构在温度发生变化时，杆件可自由变形，故微段ds的剪应变为零，把式（14-13）和式（14-14）代入式（14-5），得（14-15）式中，为图的
22、面积；N为fN图的面积。14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算应用式（14-15）时，轴力fN以拉为正，t0以升高为正。虚拟力状态和实际状态的温差t引起的弯曲为同一方向（和t使杆件的同一侧产生拉伸变形）时，其乘积为正，反之为负。14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算【例例14-814-8】图图14-19 14-19 【例【例14-814-8】图】图14.5.2 温度变化引起的静定结构的位移计算PART14.6线弹性体的互等定理14.6 线弹性体的互等定理对于线弹性体，由虚功原理可推导出4个互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理和反力位移互等定理。其中，功的互等定理
23、是最基本的，其他几个互等定理皆可由其推得。14.6.1 功的互等定理简支梁如图14-20所示，图14-20（a）、（b）分别表示同一线性变形体的两种状态。假定由Fi引起的位移状态为第i状态，由Fj引起的位移状态为第j状态。现在考虑这两种力按不同次序先后作用于该体系时所做的功。图图14-20 14-20 功的互等定理的推导功的互等定理的推导14.6.1 功的互等定理在结构上先加Fi后加Fj，梁的先后变形情况如图14-20（c）所示，则外力所做总功为若先加Fj后加Fi，梁的先后变形情况如图14-21（d）所示，则外力所做总功为式中，ij下角标中的i表示位移的序号，j表示引起位移的原因。14.6.1
24、 功的互等定理在上述两种加载过程中，外力作用的先后顺序虽然不一样，但是最终的荷载是相同的，根据线弹性体系解的唯一性定理，体系最终的变形情况也是相同的。因此，两种加载情况使体系所储存的变形能也相同。根据能量守恒定理，上述两种加载情况外力所做的总功应相等，即外力所做总功与加载次序无关。故Wi=Wj(14-16)将式和式代入式（14-16）得14.6.1 功的互等定理所以Fiij=Fjji（14-17）式(14-17)表明：在线弹性体中，状态i的外力在状态j的位移上所做的功等于状态j的外力在状态i的位移上所做的功，即功的互等定理。另外，Fi和Fj可以是广义力，此时，位移ij和ji就是与之相应的广义位
25、移。功的互等定理可以适用于杆件体系外的线弹性连续体。14.6.2 位移互等定理设图14-21所示的梁状态中，Fi和Fj均为广义单位荷载。其中，ij表示由单位力Fj=1引起的Fi作用处相应的广义位移，ji表示由单位力Fi=1引起的Fj作用处相应的广义位移，由式（14-17）得1ji=1ij即ji=ij（14-18）图图14-21 14-21 位移互等定理的推导位移互等定理的推导14.6.2 位移互等定理式（14-18）是位移互等定理，即对于同一线性变形体，第j状态的单位力所引起的第i状态单位力作用点沿其作用方向的位移等于第i状态的单位力所引起的第j状态单位力作用点沿其作用方向的位移。由此可见，位
26、移互等定理只是当Fi=Fj=1时功的互等定理的一种特殊形式。14.6.3 反力互等定理反力互等定理是功的互等定理的另一个特殊形式，它用来说明超静定结构在两个支座处分别产生单位位移时，这两种状态中反力的互等关系。图14-22所示为同一超静定结构的两种变形形态。图图14-22 14-22 反力互等定理的推导反力互等定理的推导14.6.3 反力互等定理状态i为由支座i发生单位位移i=1的状态，此时在支座i和支座j处引起的支座反力分别为rii和rji，如图14-22（a）所示；状态j为由支座j发生单位位移j=1的状态，此时在支座i和支座j处引起的支座反力分别为rij和rjj，如图14-22（b）所示。
27、其他支座反力因为所对应的另一种状态的支座位移都为零而不做功，故在图14-22中未给出。14.6.3 反力互等定理根据功的互等定理得rii0+rji1=rij1+rjj0即rji=rij（14-19）式（14-19）就是反力互等定理，即在任一线弹性变形体中，由单位支座位移j=1所引起的与支座位移i=1相应的支座反力等于由单位支座位移i=1所引起的与支座位移j=1相应的支座反力。14.6.4 反力位移互等定理反力位移互等定理仍然是功的互等定理的一个特例。它说明的是一个状态中的反力与另一个状态中的位移之间的互等关系。如图14-23所示，当超静定梁的i点作用Fi=1时，在支座j处引起反力矩kji=1，其指向如图14-23（a）所示图图14-23 14-23 反力位移互等定理的推导反力位移互等定理的推导14.6.4 反力位移互等定理此为状态i；在支座j处沿kji的方向发生一单位转角j=1时，在i点沿Fi方向上引起位移ij，如图14-23（b）所示，此为状态j。根据功的互等定理得kji1+1ij=0即kji=ij（14-20）式（14-20）就是反力位移互等定理，即单位荷载引起的结构的某支座反力等于该支座发生单位位移时所引起的单位荷载作用点沿其方向上的位移，但符号相反。THANKS