《初二数学题库.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学题库.pdf（91页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、目 录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。注：有（*）标注的为选做内容。本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做儿何证明题第二讲平 行 四 边 形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别
2、式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结 业 考 试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、儿何证明是平面儿何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综 合 法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的
3、应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分 析 法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条
4、线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。【例 1】已知：如图所示，A 4 B C 中，N C =9 0。，A C B C,A D =DB,A E =C F .求证：D E=D FA【巩固】如图所示，已知A 4 8 c 为等边三角形，延长8 c 到 D,延长5 4 到 E,并且使4E=B。，连结 C E、D E。求证：E C=E D【例 2】已知：如图所示，ABCD,AD=BC,AE=CF。求证：N
5、E=N F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。【例 3】如图所示，设 BP、C。是AA8C的内角平分线，AH,A K分别为力到8P、CQ的垂线。求证：KH/BCCB【例 4】已知I：如图所示，AB=AC,NA=90,A E =BF,B D =DC。求证：F D 1 E D【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线
6、段。（截长法）【例 5】如图，四边形A8CC中，A D/B C,点 E 是 A 8上一个动点，若N8=60 ,AB=BC,且NOEC=60 ；求证：B C=A D+A E【巩固】已知：如图，在 A 48C 中，N8=60,ABAC.NBC4的角平分线A。、CE相交于0。求证：A C=A E+C DAC（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）【例6】已知：如图7所示，正方形A8C。中，尸在QC上，E在BC上，Z E A F =45 求证：E F=B E+D F【专题四】证明几何不等式:【例7】已知：如图所示，在A 48c中，4
7、。平分NB4C,A B A C .求证：B D DC【拓展】AA8C 中，A B A C =90,于。，求证：A D =2 E F。【巩固】已知在 4 8 C中，N B=2N C,A O _ L B C于D,M为B C的中点.求证：DM =-A B2【例2】已知E、F、G、H是四边形A B C D各边的中点则四边形E F G H是 形当A C B D时，四边形E F G H是 形当A C L E D时，四边形E F G H是 形当AC和BD 时，四边形E F G H是正方形。【巩固】如图，等腰梯形48C。中，AD/BC,M、N 分别是A。、BC的中点，E、尸分别是BM、CM的中点。(1)求证：
8、四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCZ)的高和底边8 c 的数量关系，并证明你的结论。【例 3】梯形A8CO中，AB/CD,M.N 分别是AC、8。的中点。求证：M N=-C A B-CD)2【巩固】如图，在四边形A8CC中，ABCD,E、尸分别是对角线8。、AC的中点。求证：E F -(A B-C D)【拓展】E、尸为四边形A8C的一组对边A。、8 c的中点，若E尸=；(4 8 +C O),问：四边形A8CC为什么四边形？请说明理由。【例4】四边形ABCO中，G、，分别是A。、8 c的中点，ABCD.BA,C D的延长线交4 G的延长线于 E、Fo 求证
9、：Z B E H=Z C F H.【例5】如图，AABC的三边长分别为AB=14,BC=16,AC=26,P为/力的平分线A。上一点,月 一 8P_LA,M为BC的中点，求P M的长。【巩固】已知：A B C中，分别以4 8、4 c为斜边作等腰直角三角形4BM和CAN,P是BC的中点。求证：P M=P N第六讲：一元二次方程的解法【知 识 梳 理】形 如a/+bx+c =O(a，O)的方程叫一元二次方 程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二 次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。b +d b 4 a c求根公 式彳=、之 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全
10、部代数运算：它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。【例 题 精 讲】【例1 选 用 恰 当 的 方 法 解 方 程(基 础 题)：(1)X2-2X=0 (2)x2-9=0 (3)(1-3X)2=1；(4)(f-2)(?+1)=0(5)X2+8X=2(6)/一7 3 +6 =0(7)X2-4X-2 1=0(8)f 一215=0 (9)4X2-1 2X+9 =0(1 0)-a2-4 a+2 1 =0(1 1)X2+1 1X+1 8 =0(1 2)2X2-X-3 =0(1 3)x(x 6)=2(1 4)(2 x+l)2=3(2 x+l)(1
11、 5)2/+7 b 1 5 =0(1 6)3。2+4。-4 =0(1 7)3 及+1 4 6 =5(2&2+x-6=。(1 9)X4-X2-2 0 =0(2 0)(3 x +5 -5(3 x +5)-6 =0；【例 2】用适当的方法解下列关于x的 方 程（提高题）:(1)(3 x 2)(4 x +3)=5 ；1 ,(2)x 2,x 3 3 2 7 =0；3(5X-3)2-1 2 =4(5X-3)；(4)(3 x l)(x -1)=(4 x +l)(x 1)；(5)(2-7 3)x2-2(V 3-l)r-6 =0 o【巩固】用适当的方法解下列关于x的方程:(1)(x-2)2 -9(x +l)2
12、=0；(2)x -6ax=b?-9 t z；(3)2 x?+2.yp2,-/6 =0。(4)(2 x +l)(x 3)=(4x 1)(3 x)【拓展】解方程：（6X+7）2（3X+4）（X+1）=6；【例3】解方程：X2-3|X|-4 =0【巩固】解方程:(1)x2-|x-l|-l =0；(2)x|x|-x-2 =0 o【例4】解关于x的方程：（加一 1 卜2+（2 加-1 卜+加一 3 =0。【巩 固】解 关 于x的方程：x2-4p x +4/?2+5x-1 0 p-6 =0 o【例5】已知方程/一米一 7 =0与尤2 -6 x 化+1)=0有公共根。(1)求k的值；(2)求二方程的所有公共
13、根和所有相异根。【巩 固】是否存在某个实数？，使 得 方 程x?+机+2 =0和 2+2犬+加=0有且只有一个公共的实 根？如果存在，求出这个实数机及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。第七讲：一元二次方程的判别式【知 识 梳 理】一、一元二次方程 Q +6x+c=0（Q W 0）根的情况：令 A=/?2-4Q0。1、若(),则方程有两个不相等的实数根：玉一/7 +“2 -4QC-b-4h-ac2、若 =0,则方程有两个相等的实数根：X,=x2 3、若A v O,则方程无实根（不代表没有解）。二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数
14、或参数的取值范围；3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题精讲】【例1】已知方程5 2+4苫-1 =0；则当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？当a取什么值时，方程没有实数根？【巩固】1、已知关于x的方程X?+2（2机）x+3-6？=0。求证：无论用取什么实数，方程总有实数根；2、已知关于x的一元二次方程（1-2切/-2JT T lx-1 =0有两个不相等的实数根，求火的取值范围。【拓展】关于x的方程质2（左一1卜+1 =0有有理根，求整数人的值。【例 2】已知关
15、于x的方程尤2一卜+2卜+2女=0。(1)求证：无论左取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形A B C的一边长。=1,另两边长。、c恰好是这个方程的两个根，求A A 8 C的周长。【巩固】1、等腰三角形A B C中，8 c=8,AB,AC的长是关于x的方程d 1 0%+?=0的两根,贝|J m =o2、在等腰三角形4 8 c中，N4、NB、NC的对边分别为。、b、c,已知。=3,8和c是关于x的方程x 2+t x +2-,机=0的两个实数根，求三角形A 8 C的周长。2【拓展】已知对于正数4、b、C,方程，2+2/1卜+=0没有实数根，求证：以长a、b、c的线段为边能组成一个三角形。
16、【例 3】设方程,2+a x|=4有三个不相等的实数根，求。的值和相应的3个根。【巩固】已知关于x的方程+（1 一2ax+2=0有且只有一个实根，则实数。的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【例4】设a,b,c,d 0,证明在方程一r +J2a+bx+J cd 0；2-x2+V2F+ex+yfad=0；21 2,21 2 ,-X+2J2c+dx+yab=0；J 2d+ax+bc=0,中，至少有两个方程有不相等的实数根。第八讲：一元二次方程根与系数的关系【知识梳理】一元二次方程a/+Ax+c=0（aH 0）的根与系数的关系（韦达定理）b c设方程
17、的两个根匹，入2，则-XX2=oa a韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形：(1)X/+X22 =(X1 +X2)2-2X2;(2)3 /=x J+&2 =(网 +)2 2修/Xj x2 XjX2 X|X2(3)Xj3+x23=&+x2)(x)+x2)2-3%,%2；(4)(xj-x2)2=(X)4-x2)2-4X)X2；(5)k 一 工2(七 一 工2)2=J(X +%2)2 4/入2 【例题精讲】【例 2】设勺，q是方程2+4尤-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值:【例 1】求下列方程的两根之和，两根之积。(1)X2-2X+1=0：(2)X2-9X+1 0=0；解
18、：M,X.X.=解：再+占=,=2X2-9X+5=0；(4)4x27x+1 =0；解：为,XXo=解：x,+x2=，X|X2=(5)2?-5 x=0；(6)f l=0解：x+x2=_,xx2=_ 解：玉+=_ _ _ _ _xx2=_(1)5+1)(M+1)=_ _ _ _ _ _;(2)XX2+XX2_;(3)4-=X%2(4)(X|+%2)(5)(对一切)2：(6)X3+X2=.【例 3】解答下列问题：(1)设关于x 的一元二次方程1241一2(2 一1)=0 有两个实数根玉、x2,问是否存在%1 4-x2 X j 工2的情况?（2）已知：为、x2是关于x的方程F+（2 a-l）x +力=
19、0的；两个实数根,且（x,+2）（+2）=1 1,求a的值。【巩固】1、已知关于x的方程，+4x +a =0有两个实数根，且2.一2=7,则。=。2、已知a、是方程一一一1 =0的两个实数根，贝ij代数式/一2）的值为【例 4】已知关于x的方程：/一（加一2卜 一?=0。（1）求证：无论相取什么实数值，这个方程总有两个相异实根：（2）若这个方程的两个实根X 1、%2满 足 网=同+2,求?的值及相应的修、x2【巩固】已知关于x的方程父一（2%-3）尤+1+1 =0。（1）当上为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两个实数根林 /满 足 国+园|=3,求人的值。【例4】C 是R t ZU B
20、C斜边上的高线，AD.B O是方程1-6 x +4=0的两根，则A A B C的面积是多少？【巩固】已知 A BC的两边A B、A C的长是关于x二次方程F -（2女+3卜+/+3*+2 =0的两个实数根，第三边B C的长为5。（1）%为何值时，48C是以B C为斜边的直角三角形；（2）%为何值时，A 8C是等腰三角形，并求 A 8C的周长。第九讲：一元二次方程的应用【知识梳理】方程是刻画现实问题的有效模型之,一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程、研究元二次方程根的性质而获解。列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同，解题的关键
21、是恰当设未知数、分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。【例题精讲】【例 1 要建一个面积为1 5 0 m 2 的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长a m,另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为3 5 m。（1）求鸡场的长和宽各为多少？（2）题中墙的长度a m对题目的解起着怎样的作用？例 2 某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着
22、如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？A人 数（人）、7 00060005000400030002000100010 15 2 0 票 价（元）【例 3】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1 元,其销售量就减少10个，问为了赚得8 000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？【例4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B,若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达8,求甲与乙的速度之比。【例5】一支士
23、兵队伍长1200米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵,并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了 1200米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛-局，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1980、1981、1993、1994,经核实确实有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参加。【巩固】1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩
24、形花园A B C D,花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示)，若设花园的BC边长为xm,花园的面积为y m2(1)求 y 与 X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；(3)当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？/2、某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，II销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3、甲乙两条船分别从
25、河的两岸同时出发，它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米处，如果认为船到岸调转方向时不耽误时间，问河有多宽？4、一支士兵队伍长100米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了 100米,如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？5、象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数
26、，求参加此次比赛的选手共有多少人？第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：a2-b2=a+b a-b Y完全平方公式：a2 2ab+h2=(ab)2；a2+/+c2 4-2ab4-2bc+2ca=(6f+/?+c)2；a2+/?2 4-c2+2ah-2hc-2ca=(7 4-/?-c)2；a2+/+。2 _ 2ab 4-2hc-2ca=(-/?-0)；若a =1,则 j =1 (a W 0 ,是整数);a Ya a a Jc i H 2 2(a 0)oa3、分式的运算八3 1 小一份a,b ab a,c ad b e分式的运算法则有：一 =-
27、，一=-c c c b d b d4、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之,分式变形的常用方法有：设参法(主要用于连比式或连等式)，拆项法(即分离变形)，因式分解法，分组通分法和换元法等。三、二次根式：1、当NO时，称 右 为二次根式，显然JZNO。2、二次根式具有如下性质：(1)(&)=a(a 0)；(3)y ab =y a-0,/?0)；3、二次根式的运算法则如下：(1)ay c b y c=(6/b)4c(c 0)；(2)(6 t 0)o(2)=时=当a N O 时，,当4 0,/?0)o4、设a,b,c,d,mw Q,且小不是完全平方数，则当且仅当=c,=d时,a+b4 m。
28、【例题精讲】【例 1】分解因式：/+盯 一6 y 2+x +1 3 y-6【巩固】分解因式：1、x xy-2y-x+5y 2；2、3x-+5xy 2y-+x+9y 4；【例2】已知。、b、C是一个三角形的三边，贝1。4+/+，4-2。2/一2/。2一2。2。2的值是（）A.恒正 8.恒负 C.可正可负。.非负3、k为何值时，多项式-2%y+外2+3_-5，+2能分解成两个一次因式的积？【例3】已知4、1是实数，且+411+心+#=1,问4、b之间有怎样的关系？请推导。【专题训练】1、已知ab+a+/?+l=1 3,求a+b 的值为2、多项式犬+axy+by2-5x+y+6的个因式是x+y-2,
29、试确定a+b的值为3、设30=a+2 c,求cJ 一泌2+4c?+4ac 的值。计7 八 口、儿 a+b b +c c +a 皿(+/?)(/7+c)(c+a)4、若a b c W。,且设-=-=-,则-L=cab ab c5、已知 =-,2=*-,3=-，则1=x+y y+z z+x6、已知。+犬2=1991,h+x2=1992,c +x2=1993,且bc=24,则a b c 1 1 1-1-1-b e c a ab a b c3x2+6x+57、当x 变化时，分式彳 的最小值为一厂+x+12-=,贝 II-=x-mx+1 x-m x+19、已知实数 a 满足|1992-1993=a,贝
30、U 一 199210、化简2而A/2+V3+V511、已知 y/x ,贝 ij 飞4x+ry/a12、设J3 9 -J 技 的整数部分为a,小数部分为b,则一1匚+-a+b a+4-b13、设等式J a(x-a)+J a(y-a)=J x-a-J a-y 在实数范围内成立，其中a,x,y 两两不同,则3x2+xy-y2 2 2x-xy+y14、使等式4+万=炳成立的整数对(x,y)的个数为15、设正整数a,m,满足J a 之 一心叵=际-&，则这样的a,m,的取值有 组;16求和:S=1 2 22 2-1-1-1-1-1+尤 l+x 1 +%4 l+x17、已知。+/?+c=0,化筒I 2.2
31、 2 2.2 T1b+c-a c+a -b1+a2+b2-c21 8、若 a+b +c =a b O,计 算 （一 一 厂）+G一 一）（1一 ）的值。b e ac ah、1 1 1 11 9、计算：-r=r=-产-7=-7=H-1-7=-7=3 +V 3 5 V 3+3 V 5 7 V 5+5 V 7 4 97 4 7+4 7 7 4 92 0、设M=（4 +2g）,它的小数部分为P,求 M（l-P）的值。第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成
32、另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。3、基本思路(1)由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边;(2)两边同时变形为同一代数式；冲 左 边1(3)证明:左边-右边=0,或 而 二此时右边，0。4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】c i h c【例1】已知求证：-1-1-=1 o1 b e+h+l QC+C+1思路点拨：山繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且
33、x=y+,=z+，,求证：x2y2z2=1 oy z x【拓展】若x+y+z w 0,a=,b=y+zyx+zZ.n.、十c-,求证:x+ya b c-1-1-a+1 b+1 c+1=1 oY7 1 1 13【例2】证明：-2+j=一+一+一+巳ax-a ay-a az-a x-a y a z-a a思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。【巩固】I、求 证0+3+)+而+5 =4+/+加|而+,bb+c+d2、._ _ _ _ _ _ _+_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
34、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0a(a+b)(a+b)(a+b+c)(a+b+ca+b+c+d)a(a+b+c+d)【拓展】求证:246 2 0 11 11 11-1-4-+，+-=-1 1-|x2-l X2-4 x2-9 x2-1 0 0(1 心+1。(%-2 卜+9)-(工 一 1眼+1)【例 3】已知x=y=-z=-,求证:(1+x)(l+)(1+Z)=(1-X)(l-y)(l-z)a+8 b +c c +思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。【巩固】已知=3,求证:b da+c2+/+4 2 _ (+b)2+(c +J)a+c b
35、+d a+b+c+d【拓展】已知实数a、b、c满足+2+1=1，求证:a b c a+Z?+c其中是正整数。【例 4】已知二勿3 =c/,且 l.+J _ +J.=i,求证：y/ax2+by2+cz2=y/a+V&+Vc x y zA R【巩固】1、已知三=%yr r x _ _ _ _ _一=一，求证：4AX+JB)!+T Cz+=J(A+B+C+Dx+y+z+t)z t 2、设生=幺（,%，an,by%，%都 是 整 数）。仇 b2 b3 bn求证：JaQi+2b2 +J%+J a也=J q +g +%也 +%+,【拓展】设2 005/=2 006 y3=2 007 23,x”0,且12
36、005+2 006)，+2007Z2=y2 005 +J 2 006 +4 2 007 ,求证：-+-+-=1x y z【例5】已知正数a,一 满 足 痴-从+从/1一/=,求证：+z?2 =1 o思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明的结论，就是我们平时说的“正面突破”。第十二讲：专题复习：相似三角形【知识梳理】1、比例线段的有关概念：a c在 比 例 式 一=（a：b-c：4）中，a、6/叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项,b d从d叫后项，4叫第四比例项，如果b=c,那么b叫做a、”的比例中项。2、平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截
37、两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l/l2/l3.miI贝 I J AB=DE,AB=DE,BC=EFBC EF AC DF AC DF推论：平行于三角形边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。4、相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似5、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三
38、角形面积的比等于相似比的平方3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：(1)如图 1,当 时，A B C A D E(2)如图 2,当 时，A B C M E D.(3)如图 3,当 时，A B C AACD (4)如图4,如 图 1,当时，则4(5)如图5,当 时，则4 _。图 4 图 5(6)如右图，特殊图形(双垂直模型)1/NBAC=90 AD BCAA DC s ARDA s 八的 CCBD【例题精讲】【例 1】如图，在A BC中，AB=AC,NB4C=90,8。是中线，A E VB D,交 B C 于点E,求证:BE=2EC。【巩固】如图，ZVIBC是一个等腰三角形，其中A8
39、=AC,若N B 的角平分线交4 c 于。且 8c=8D+AO,设乙4=c,求 c 的值。6【例 2】如图，梯形A B CC中，AD/BC(AO 0）；若a=1,则a ,1 （。0,是整数）;ci H 2 2（a 0）o三、分式的运算分式的运算法则有:a,c ad beb d bd-,-丁-b d bd b d be（是正整数）。b四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设 参 法（主要用于连比式或连等式），拆 项 法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。【例题精讲】【例I】加=-时，分式皆需的值为零;(2)要使分式，1有意义，则x的取值范围是_
40、。1一国W思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。【巩固】3r2-121、若 分 式 与 一的值为0,则X的值为;x+4x+4a2-42、若使分式i+l+3a没有意义，则。的值为2a【拓展】当x取何值时，分 式，”二 彳有意义?二 5|x|+6【例 2】化简下列分式:岛七用x-I x+1 x?+l x+l x+l1-1-1-1 -I-x-1(x-l)(x-2)(x-2)(x-3)(x-99)(x-100)【巩固】化简：2 2,、n-m m-n(1)1 +-+-7m-2n m-4mn+4H-5-5-1 o-Q-3Q+2 G 5。+6 Q 7Q+12X
41、r 4-1【例3】已知2xy0,A=,8=，试 比 较A与8的大小;y y+2【巩 固】比较两数5678901234,-与678901234556789012356789012347的大小。【例4】化简:。一 好 (z-xy。一4(x-y x-z)(y x)(y z)(一 元)(z-y)【巩 固】化简:(y-x)(z-x)(z-y)(x-y)(x-z)(y-z)(x-2y+zx+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)()；+z-2x)(x-2y+z)第二讲：分式的化简求值【知识梳理】1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。给出一定的条件并
42、在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略：(1)适当引入参数；(2)拆项变形或拆分变形；(3)整体代入；(4)取倒数或利用倒数关系等。2、基本思路(1)由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边;(2)两边同时变形为同代数式；证明:左 边-右 边=0,或左边=1,此 时 右 边H 0。3、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。【例题精讲】【例1】(1)已知x-2 y
43、=0,求x2-3xy+y22 x2+孙 一3y 之(/2、)_已1A知.i一+1 =5厂 ,则n,-2-x-5-xy-+2y-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _:x y x+2xy+y(3)若巴上则 3 2 0 +c=_；3 4 5 a-2b-3c#a+h b+c c+a【例2】若1=-=-=-cab求 R的值?【例3】已知a,b c w八O,且门 一a=b=c,求_3-a-+-2-b-+-c 的值Zl.？nb c a a-2b-3c【巩固】若=2=4,b c d aab+c d A-R则-的值是a+b c+d94 1【例4】已知：x2-x-l=O,求
44、/+下 的 值。X【巩固】3（1）已知/-3。+1 =0,则代数式一袅一的值为a+1,LI 2 1 八 n I 尤4 +2x+1 若x -x-l=O,则-，=【例5】已知、b、c为实数,且 MWbe 1 ca 1 迎，,ahc 川“口-=-,-=-,那 么-的值是b+c 4 c+a 5 ah+be+ca多少？a-+b-+【例6】已知 c =l,求证:1 bc+/?+l oc+c+1=1 O思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。【巩 固】已知：cibc 0,a+/?+c=0,求。(I )+/?(I )+c(I )+3 的值。h c c a a h【例7】已知。+=1,/?+=1,求c +
45、的值。b c a【例 8】已知x =g L y=-士,z=区,求证：(l+x)(l+y)(l+z)=(l-x)(l-y)(l-z)。a+h b+c C+Q思路点拨：左边和右边，变形为同一-个代数式。【巩固】已知q=3,求证:b dQ2+(72 h2+d2 _(Q+A)2+(c +d)2 +ch+d +/7 +c +d第三讲：分式方程及其应用【知识梳理】1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。2 .解分式方程的般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程：（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原
46、方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。4 .较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。【例题精讲】X【例1】解方程：（1）1X 13(x-l)(x +2)(2)x 2X-1 X +1 例 2 解方程：-,6)：+12-J-4+2=0y +4 y+4 y-4 y+4 y-4 例3解方程:-1-1-1-x +10(x +l)(x +2)(x +2)(x +3)(x +9)(x +10)=2
47、I X +1 X +6【例4】解方程-+-x+2 x+7x+2-Fx+3x+5x+6【巩固】解方程:12x-10 32x-34 24x-23 16x-19-1-=-1-4x-3 8x-9 8x-7 4x-5_【例te,5】.a解r方a h程：x-2-+-4-x-+-72-x-7-2-118O =0八x-1 x-+4x【拓展】解方程:1 1 1-H z-z -x+1 lx 8 x+2x 8 13x 8=02 n?v 3【例 6】，为何值时关于的方程0+门=0会产生增根?【巩固】若 解 分 式 方 程 三-学1 =出产生增根，则 加的值是（）x+1 X+x XA.-1或-2B.-1 或2C.1 或
48、2D.1 或2【例 7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线/起跑，绕过点P 跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到撞球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学山于心急，掉了球，浪费了 6 秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2 倍”，根据图文信息，请问哪位同学获胜？30米【巩固】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了 7 小时：在另一次航行中,用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度点拨：在航行问题中的等量关系是“船
49、实际速度=水速+静水速度”第四讲：二次根式的运算【知识梳理】1、当Q 2 0时，称 后 为二次根式，显 然 右2。02、二次根式具有如下性质:(1)=a(a 0)；当a 2 0时，,当Q 0,/?0)；肾君)。3、二次根式的运算法则如下：(1)ay c hy c=(t z&)V c(c 0)；(2)(V a)=(o 0)o4、设a,b,c,d,m e Q ,且 不 是 完 全 平 方 数，则当且仅当。=。，b =d时,a+b y/m -c +d-Jm。5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法,还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定
50、要化成最简二次根式的形式。6、最简二次根式与同类二次根式(1)一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数：被开方数不含分母。适合上述这些条件的根式叫做最简根式。(2)几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。【例 题 精 讲】例1 已 知）,=x2-2X2-25x-4 V4-5x+2,则+y2【巩 固一】若x,y为有理数，且J2x 1+Jl-2 x +y=4,则 孙 的 值 为【巩 固二】已 知y=”7 +6 1 +2009,则x+y【拓 展】若 相 适合关系式 J3x+5y-2-+2x+3y-m =