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1、 第一章第一章 付立叶变换付立叶变换积分变换积分变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式)1 Fourier积分在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
2、线性组合来逼近.-Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近利用利用EularEular公式公式,可将其写为复数形式可将其写为复数形式tcoswwww-+jeetneetnjntjntjntjn2sin,2ww=对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个都可以看成是由某个周期函数周期函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的.作周期为作周期为T的函数的函数fT(t),使其在使其在-T/2,T/2之内等之内等于于f(t),在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数轴延拓到整个数轴上上,则则T越大越大,fT(t)与与f(t)相等的范围也越大相等
3、的范围也越大,这就这就说明当说明当T时时,周期函数周期函数fT(t)便可转化为便可转化为f(t).对非周期函数对非周期函数 可视为以可视为以T T为周期的函数当为周期的函数当时的极限时的极限,即即定理定理:(:(付氏积分定理付氏积分定理)设设 在在 满足条件满足条件(1)(1)在任意有限区间上满足狄氏条件；在任意有限区间上满足狄氏条件；(2)(2)收敛，即收敛，即 绝对可积。绝对可积。则在则在 的连续点有的连续点有而在而在 的间断点有的间断点有注意：注意：这里的广义积分均在主值意义下收敛。即这里的广义积分均在主值意义下收敛。即可将上面的付氏积分公式写成三角形式可将上面的付氏积分公式写成三角形式
4、为为 的偶函数的偶函数为为 的奇函数的奇函数而而例 1 求矩形脉冲函数 的积分表达式。2 2 付立叶变换付立叶变换定义：定义：在付氏积分公式中，令在付氏积分公式中，令则则 .称称为为 的的付氏变换付氏变换，记为，记为 ,称为称为FF的的象函数。象函数。称为称为的的付氏逆变换付氏逆变换，记为，记为FF称为称为 的的象原函数象原函数。和和 称为一个付氏变换对。称为一个付氏变换对。付力叶付力叶正弦积分公式正弦积分公式这是这是f(t)f(t)的付力叶的付力叶正弦变换式正弦变换式这是这是F(w)F(w)的付力叶的付力叶正弦逆变换式正弦逆变换式解：解：FF例例1 1：设设 称为指数衰减函数，求其称为指数衰
5、减函数，求其付氏变换及积分表达式。付氏变换及积分表达式。f(t)FF由此可得一个含参变量的广义积分由此可得一个含参变量的广义积分例例2 2：求钟形脉冲函数求钟形脉冲函数 的付氏变换及积分的付氏变换及积分表达式。表达式。FF解：解：如取所示积分路径如取所示积分路径由于由于 为解析函数为解析函数故故而而同理同理因此因此从而从而FFFF可得一个含参变量的广义积分可得一个含参变量的广义积分2 2、单位脉冲函数及其付氏变换、单位脉冲函数及其付氏变换 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函常常会碰到单位脉冲函数数.因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学如
6、在电学中中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流产生的电流;在力学中在力学中,要研究机械系统受冲击力要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数要介绍的单位脉冲函数.在原电流为在原电流为0 0的电路中，某一瞬时的电路中，某一瞬时 进入一个进入一个单位电量的脉冲。现在要确定电路中的电流强度单位电量的脉冲。现在要确定电路中的电流强度 以以 表示该电路中的电荷函数，则表示该电路中的电荷函数，则而而 当当t 0时时,i(t)=0,由于由于q(t)是不连续的是不连续的
7、,从而在普通从而在普通导数意义下导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数,则得则得则则这表明在通常意义下的函数类中，找不到一个函数用这表明在通常意义下的函数类中，找不到一个函数用来表示上述电路中的电流强度。为确定上述电流强度来表示上述电路中的电流强度。为确定上述电流强度须引进一个新的函数称为须引进一个新的函数称为DiracDirac函数函数，简记为，简记为 函数函数这是一个这是一个广义函数广义函数。不能用。不能用值对应关系值对应关系确定。确定。有了这种函数有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的对于许多集中于一点或
8、一瞬时的量量,例如点电荷例如点电荷,点热源点热源,集中于一点的质量及脉集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分就能够象处理连续分布的量那样布的量那样,以统一的方式加以解决以统一的方式加以解决.函数具有重要的性质函数具有重要的性质:筛选性筛选性一般地一般地对无穷次可微函数对无穷次可微函数 有有(*)(*)函数函数按按(*)(*)可以方便的求出可以方便的求出 的付氏变换的付氏变换FF可见单位脉冲函数可见单位脉冲函数 与与 1 1 构成一付氏变换对构成一付氏变换对.而而 与与 构成一付氏变换对构成一付氏变换对.注注:这里将这里将 的付氏变换仍写成古典形
9、式的付氏变换仍写成古典形式.但这里的但这里的广义积分广义积分 应理解为应理解为 .并不并不是普通意义下的积分值是普通意义下的积分值.因此因此,的付氏变换实际上的付氏变换实际上是一种广义付氏变换是一种广义付氏变换.工程技术中许多重要的函数都不满足绝对可积性工程技术中许多重要的函数都不满足绝对可积性如如:常数、符号函数、单位脉冲函数、正弦余弦函数常数、符号函数、单位脉冲函数、正弦余弦函数等。然而它们的广义付氏变换是存在的，可以利用单等。然而它们的广义付氏变换是存在的，可以利用单位脉冲函数及其付氏变换求出它们的付氏变换。位脉冲函数及其付氏变换求出它们的付氏变换。例例4:4:证明单位阶跃函数证明单位阶
10、跃函数 的付氏变换为的付氏变换为证明：证明：则按付氏逆变换可得则按付氏逆变换可得FF故故即即因此因此 与与 构成一付氏变换对，从而单构成一付氏变换对，从而单位阶跃函数位阶跃函数 可写为积分形式可写为积分形式同理，当同理，当 时，则时，则FF所以所以1 1与与 是一付氏变换对。同样是一付氏变换对。同样 和和也构成一付氏变换对。也构成一付氏变换对。FF由此可得由此可得它们都在它们都在 意义下成立意义下成立例例5:5:求求 的付氏变换的付氏变换解：解：FFtpp-w0w0Ow|F(w)|3 3、非周期函数的频谱、非周期函数的频谱FF称为称为 的的频谱函数频谱函数称为称为 的的振幅频谱振幅频谱，简称为，简称为频谱频谱关于关于 的图形称为的图形称为频谱图频谱图例例6:6:作矩形脉冲的频谱图作矩形脉冲的频谱图解：解：FF振幅频谱振幅频谱这里只画出频谱图的右半部分，左半部分是对称的这里只画出频谱图的右半部分，左半部分是对称的即振幅频谱是偶函数：即振幅频谱是偶函数：