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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 第1页，本讲稿共33页1一、复平面一、复平面1.复平面的定义复平面的定义第2页，本讲稿共33页22.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显然下列各式成立显然下列各式成立第3页，本讲稿共33页33.复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.第4页，本讲稿共33页4辐角主值的定义辐角主值的定义:第5页，本讲稿共33页54.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致算一致.第6页，本讲稿共33页65.复数和差的模的性质复数和差的模的性质第7页，本讲稿
2、共33页7利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示第8页，本讲稿共33页8例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为第9页，本讲稿共33页9指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为第10页，本讲稿共33页10例例2 2解解(三角式三角式)(指数式指数式)第
3、11页，本讲稿共33页11例例3 3解解第12页，本讲稿共33页12例例4 4证证第13页，本讲稿共33页13两边同时开方得两边同时开方得第14页，本讲稿共33页14例例5 5证证第15页，本讲稿共33页15两边平方两边平方,并化简得并化简得 下面例子表明下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方很多平面图形能用复数形式的方程程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的复数形式的方也可以由给定的复数形式的方程程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形来确定它所表示的平面图形.第16页，本讲稿共33页16例例6 6解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为第17页，本
4、讲稿共33页17第18页，本讲稿共33页18例例7 7证证第19页，本讲稿共33页19两边同时平方两边同时平方,第20页，本讲稿共33页20例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解第21页，本讲稿共33页21化简后得化简后得第22页，本讲稿共33页22三、复球面x2 +y2+z2=11.球面上点球面上点 N(0,0,1)称为北极称为北极.复平面上点复平面上点 z对应球面上点对应球面上点 P.点点 P 坐标为坐标为（(1 t)x,(1 t)y,t）并且并且第23页，本讲稿共33页23点点 P 坐标为坐标为解得解得反过来，球面上点反过来，球面上点P(x1,y1,z1)对应着平面
5、上的点对应着平面上的点第24页，本讲稿共33页24 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点之与复平面内的点之间存在着一一对应的关系间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来我们可以用球面上的点来表示复数表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平与复平面上的无穷远点相对应面上的无穷远点相对应,记作记作.因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义
6、复球面的定义第25页，本讲稿共33页25 南极、北极的定义南极、北极的定义第26页，本讲稿共33页263.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简或简称复平面称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.第27页，本讲稿共33页27第28页，本讲
7、稿共33页28三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种复数的各种表示法表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应,所谓所谓无穷无穷大大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的数，不要与实数中的无穷大无穷大或正、负或正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈第29页，本讲稿共33页29习题习题4.7.10.(3)(4)第30页，本讲稿共33页30思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?第31页，本讲稿共33页31思考题答案思考题答案否否.它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第32页，本讲稿共33页32