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1、复变函数与积分变换复变函数第1页，本讲稿共25页第五章第五章 留数留数1.孤立奇点2.留数3.留数在定积分计算上的应用4.对数留数与辐角原理5.第五章小结与习题第2页，本讲稿共25页第四节第四节 对数留数与辐角原理对数留数与辐角原理对数留数1辐角原理2小结与思考4路西定理3第3页，本讲稿共25页一、对数留数一、对数留数1.定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分:说明说明:1)对数留数即函数 f(z)的对数的导数在在C内孤立奇点处的留数的代数和内孤立奇点处的留数的代数和;2)函数 f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.第4页，本讲稿共25页2.定理一内零点的总个数内零点的总个数,P为为 f(
2、z)在在C内极点的总个数内极点的总个数.其中其中,N为为 f(z)在在C且且C取正向取正向.注意注意:m级的零点或极点算作级的零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点.第5页，本讲稿共25页证第6页，本讲稿共25页第7页，本讲稿共25页 证毕证毕 由以上所述和留数定理，得由以上所述和留数定理，得第8页，本讲稿共25页二、辐角原理二、辐角原理.不一定为简单闭曲线不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原其可按正向或负向绕原点若干圈点若干圈.1.对数留数的几何意义对数留数的几何意义第9页，本讲稿共25页单值函数单值函数等于零第10页，本讲稿共25页结论结论:(k总为整数总为整数)对数留数的几何意义是
3、 绕原点的回转次数k第11页，本讲稿共25页由定理一及对数留数的几何意义得由定理一及对数留数的几何意义得可计算f(z)在C内零点的个数此结果称为辐角原理第12页，本讲稿共25页2定理二(辐角原理)如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析,且在C上不等于零,那么 f(z)在C内零点的个数等于乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.第13页，本讲稿共25页三、路西定理三、路西定理定理三定理三(路西定理路西定理)说明说明:利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较.第14页，本讲稿共25页证在C内部解析第15页，本讲稿共25页第16页，本讲稿共25页
4、 证毕证毕 第17页，本讲稿共25页例1 试证方程证证第18页，本讲稿共25页在圆内的零点数为n在圆内的零点数也为n第19页，本讲稿共25页例2 对数留数.解解所以这些零点是二级零点所以这些零点是二级零点,从而是从而是 f(z)的二级极点的二级极点.第20页，本讲稿共25页所以由对数留数公式得所以由对数留数公式得第21页，本讲稿共25页四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应熟悉对数留数及其与应熟悉对数留数及其与函数的零点及极点的关系函数的零点及极点的关系;了解辐角原理与路了解辐角原理与路西定理西定理.第22页，本讲稿共25页思考题第23页，本讲稿共25页思考题答案只有一个根只有一个根.第24页，本讲稿共25页Thank You!再见！再见！第25页，本讲稿共25页