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1、第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.2 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布 二二维维随随机机变变量量(X,Y)的的分分布布主主要要包包含含三三个个方方面面的的信信息息:1.每个分量的信息，即边缘分布每个分量的信息，即边缘分布;2.两个分量之间的关系程度，即相关系数两个分量之间的关系程度，即相关系数;3.给给定定一一个个分分量量时时，另另一一个个分分量量的的分分布布，即即条条件件分分布布;本节先讨论边缘分布本节先讨论边缘分布第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数 设二维随机变量
2、设二维随机变量(X，Y)具有分布函数具有分布函数F(x，y)X和和Y都都是是一一维维随随机机变变量量，也也各各有有对对应应的的分分布布函函数数FX(x)和和FY(y)，依依次次称称为为二二维维随随机机变变量量(X，Y)关关于于X和关于和关于Y的的边缘分布函数边缘分布函数易知易知 以以上上两两式式说说明明，由由联联合合分分布布函函数数可可以以求求出出每每个个分分量的分布函数，量的分布函数，但但由由各各个个分分量量的的分分布布函函数数不不一一定定求求出出联联合合分分布布函函数数3.2.1 3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数【例例3.8】设设(X，Y)的分布函数为的分布
3、函数为求关于求关于X和和Y的边缘分布函数的边缘分布函数FX(x)、FY(y)解：解：由定义知由定义知同理可求得：同理可求得：3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX=xi，Y=yj=pij，i，j=1，2，则，则 3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX=xi，Y=yj=pij，i，j=1，2，则，则称称为为(X，Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；称称
4、为为(X，Y)关于关于Y的的边缘分布律边缘分布律联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系:【补充例补充例】已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.解解:3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律【例例3.9】设设一一只只口口袋袋中中有有5个个球球，有有两两个个球球上上标标有有数数字字1，3个个球球上上标标有有数数字字0，现现从从中中(1)有有放放回回地地摸摸两两个个球球，(2)无无放放回回地地摸摸两两个个球球.并并以以X 表表示示第第一一次次摸摸到到的的球球上上标标有有的的数数字字，以以Y 表表示示第第二二次次摸摸到到的的球球
5、上上标标有有的的数数字字，求求(X，Y)的的联联合合分分布布律律及及其其两两个个边边缘缘分分布布律律 解解：(1)(X，Y)所所有有可可能能取取值值为为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则 同理同理 3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律于是于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：的分布律和边缘分布律如下：12/53/5PY=yj2/54/256/2513/56/259/250PX=xi10 YX 3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律(2)(X，Y)所所有有可可能能取取值值仍仍然然为为
6、：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则则同理同理 于是于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：的分布律和边缘分布律如下：12/53/5PY=yj2/51/103/1013/53/103/100PX=xi10 YX 比比看比比看 对对于于两两种种情情况况，X，Y的的边边缘缘分分布布是是相相同同的的，但但(X，Y)的的分分布布不不同同，说说明明由由联联合合分分布布可可得得到到边边缘缘分分布布，但但由由边边缘缘分分布布却却不不一一定定能能确确定定联联合合分分布布3.2.2 3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律12/53/5PY=yj2/54/256/2
7、513/56/259/250PX=xi10 YX 12/53/5PY=yj2/51/103/1013/53/103/100PX=xi10 YX 设设二二维维连连续续型型随随机机变变量量(X，Y)的的分分布布函函数数为为F(x，y)，概率密度为，概率密度为f(x，y).因为因为由由分分布布函函数数定定义义知知，X是是一一个个连连续续型型随随机机变变量量，且其概率密度为且其概率密度为同样有同样有所所以以,Y也也是是一一个个连连续续型型随随机机变变量量，其其概概率率密密度度为为 3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度3.2.3 3.2.3 二维连续型
8、随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度 称称 为为(X，Y)关关于于X的的边边缘缘概率密度概率密度 称称 为为(X，Y)关关于于Y的的边边缘缘概概率密度率密度3.2.3 3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度二维连续型随机变量的边缘概率密度【例例3.10】设设二二维维随随机机变变量量(X，Y)的的联联合合概概率率密密度度为为求边缘概率密度求边缘概率密度fX(x)和和fY(y)解：解：f(x，y)的非零区域如图的非零区域如图:解解:【补充例补充例】【例例3-11】设设，试试求求二二维维正正态态分分布布的的边边缘缘概概率率密密度度fX(x)和和fY(y)解：解：由于的概率密度
9、为由于的概率密度为且且所以所以故故XN(1,12)，同理，同理即即YN(2,22)我我们们看看到到二二维维正正态态分分布布的的两两个个边边缘缘分分布布都都是是一一维维正正态态分分布布，并并且且都都不不依依赖赖于于参参数数，亦亦即即对对于于给给定定的的，不不同同的的 对对应应不不同同的的二二维维正正态态分分布布，它它们们的的边边缘缘分分布布都都是是一一样样的的，这这一一事事实实再再次次表表明明，单单由由关关于于X和和关关于于Y的的边边缘缘分分布布，一一般般来来说说不能确定随机变量不能确定随机变量X和和Y的联合分布的联合分布概念推广概念推广(1)n维随机变量的维随机变量的分布函分布函数数(2)n维
10、随机变量的概率密度函数维随机变量的概率密度函数(3)n维随机变量的边缘分布函数维随机变量的边缘分布函数(4)n维随机变量的边缘概率密度函数维随机变量的边缘概率密度函数解解样本点样本点 课堂练习课堂练习样本点样本点 一只硬币一面写上一只硬币一面写上1，另一面写上，另一面写上2，将硬币，将硬币抛抛3次次,以以X记前两次所得数字之和记前两次所得数字之和,以以Y记后两次记后两次所得数字之差所得数字之差(第第2次减去第次减去第3次次).试求试求X和和Y的联的联合分布律，以及边缘分布律合分布律，以及边缘分布律.样本点样本点解：解：先将试验的样本空间及先将试验的样本空间及X,YX,Y取值的情况列出如下：取值
11、的情况列出如下：111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0 课堂练习课堂练习X和和Y的联合分布律及边缘分布律如下表所示：的联合分布律及边缘分布律如下表所示：X所有可能取的值为所有可能取的值为2，3，4；Y所有可能取的值为所有可能取的值为-1,0,1.易得易得(X，Y)取取(u,v)，u=2,3,4;v=-1,0,1的概率的概率.-1 0 11/8 1/8 1/81/8 0 01/81/8 2/8 1/8 2/8 1/8 0 1/8 1/8 1/81/8PX=uPY=v1/4 1/2 1/41/4 1/2 1/4 12 2 3 3 4 41/41/41/21/21/41/4样本点样本点111 112 121 122 211 212 221 2222 2 3 3 3 3 4 40 -1 1 0 0 -1 1 0