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1、第5章 数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法I.证明：由消元公式及A的对称性得2a.,i,j=2,3,.n故x2对称2.证明：(1)因A对称正定，故a i i=(Aej)0,2=l,2,.,n其中e,=(0,0,1,0,0)7为第i个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得Mll 12 Mln 4 4M22 112n 2 L (2)%.=a；-a,Ij 2,.,n故A也对称.aw ao 4AL：显然L,非其异，从而对任意的x。0,有X w O,（x,L,A L：X）=（L：x,A L：X）0（由 A 的正定性）故正定.又L/C“11 0 A,，而a”0,故 A,正定.3.证明由矩
2、阵乘法简单运算即得证.4.解 设 有 分 解4 23-2 12 5 3-1 63A1Ai Ai由公式0,d=。0(i=2,3,.,n)D-4一d,故 D=.=故 A=ZDZZ=Z D2 D2 L1=(Z Db(Z br=LLr其中L=Z炉为三角元为正的下三角矩阵.7.解AII=-23-1112-3 -1 1 010001()-00-047 .0-2：01 0-1 5 0 0 01-1 0-15 0 0 010 1 3-8 .03 01 0;3-0 2 30 1 10 1-1-1 10 021 0-1 5 0 0 00 1 3-8.01 0-3-0 0-3 1 9 0-2 1 70 0-4-3
3、1-1 0 14 2 1 41 0 0 0 3：3 3 30 1 0 1 1 ；0 -1 1 4八八,1 9：八 2 1 7-0 0 1-:0 -一一-一3 .3 3 3,、八八8 5：,5 4 2 50 0 0 1 -一 3 3 3 34 1 0 _ 2 3 1 6 8 5 1 7 -8 5 -1 71 0 0 8 3 3 6 41 1 30 1 0 0:8 5 V7 8 5 1 7-0 0 1 0：1 9 1 5 380 0 0 1:8 5 1 7 8 5 1 7_3_ _ J _ 4_ _ 5 _-8 5 -1 7 8 5 1 7 .0.0 47 0 5 8 9-41 01 68 51
4、71 73 3_6_1 3A-I=8 5-1 71 7195851 7-1 7_ 2 _15_8 5-1 71 70.5 8 8 2 3 5 3-0.2 7 0 5 8 8 2 -0.9 41 1 7 6 50.3 8 8 2 3 5 3-0.2 2 3 5 2 9 4-0.0 3 5 2 9 41-0.3 5 2 9 41 20.2 9 41 1 7 6-0.0 5 8 8 2 3 50.48 2 3 5 2 9-0.0 3 5 2 9 410.0 47 0 5 8 90.7 6 47 0 5 9-0.47 0 5 8 8 20.2 9 41 1 7 6由公式“=i,C i =a=。血_ 1
5、 +%,a=2,3,4,5)c；=a,(i =2,3,4)其中4,q,c；分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，则有54651 2 3.=一 ，6 2=_ ，A=45A=由32-143-154-1 1 1 1 1 1得 必=5,必=，%=屋%由12134得 天=7，4=,芯3 =5 2 =玉=9.解 设由矩阵乘法得由得2111-1d2”3123,2 1_5227y33 21413 1，2_7-5 _2211,3 23 1754,12d22 1 勺11 ，3 21%=7,%69T由24769T得故 x、=一=2.5 5 5 5 5 5 6,X,=-=0.7 7 7 7 7 7
6、8,x.=1.1 1 1 1 1 1 13 9 9 910.解 A中42=0，故不能分解。但 d e t(A)=-1 0 H 0,故若将A中第一行与第三行交换，则可以分解，且分解唯一。B中，A2=A3=0,但它仍可以分解为其中L 为一任意常数，且 U奇异，故分解且分解不唯一,对 C,W O,i=l,2,3,故 C可分解且分解唯一。1 1 .解1儿=哽 同=1-n j=lM l=出 越 同=0.8,.=1n J.，M l =(Z a；)?=V 0.7 1 =0.8 42 6 1 5 0i gTro.6 o.liro.6 0.5 ro.37 0.33“A=|_0.5 0.3j_0.1 0.3J _
7、0.33 0.344nax(A A)=0.6 8 5 3 40 7故 m ax(A Z)=0.8 2 7 8 5 3 11 2 .证明(1)有定义知|=max|x,.|x;|=|4=l 8故 II4 H,IHL(2)由范数定义，有4 (AZ)+4 (Al)+4(A )=tr(AT A)E+E4+-+E=z=l f=l/=1ZZ-MK/=1 i=l|同|：=4/1)2%(A，A)+A (A)+%(A，A)=;K故 2 K制引即1 3.证明 因P非奇异，故对任意的x H O,有 心H 0,故|X|/,=|PJ|2 O,当且仅当x=o时，有I M,=归=0成立。(2对 任 意a eN,有MP=fc
8、ll=M k ll=H h llP 卜+现=|町+y)H+啡 1 +1 引=1或+|故卜|是R 上的一种向量范数。1 4.证 明(1)因A正定对称，故当x=0时，卜 =0,而当X H O时，卜1=(xTAxV 0。(2)对任意实数c,有辰I,=J(cx)，A(cx)=cJxAAx=|c|x|A(3)因A正定，故有分解人=1/7,则M =(xrA xy=-xy =(x)y=归4故对任意向量x和y，总有|x+y|4=|Lr(x+y)|2=|Lrx+Lry|2 0,使对任意X,有故C；IIIIA4 l L1m ax -H ii-。I N LMT故iQ-min M M，r-M T17.证 明 设 九#
9、0,则MLH3 即 囚2，*又Ai-A2 2k-ll.2|2|+1nr故Co nd(A)w=IKILll=-i22(2 +),|2|-7从 而 当 回=:时,2即囚=时，Co nd(A)s 有最小值，且m i nCo nd(A)=7瓜解 A=1_ _9Q Q Q9Q8_-|(1)=1MIL=W L=JP(AA,)=(/)=1故 Co d(A)2=M11Ah i2 0 .证明 Cond(AB)=|(AB)-11|AB|0即A”为对称正定矩阵。Co （d/）2=|（A，A）M矶=“m a x R X A i y W M T 皿（4 7尸仍7）=j4-（A 7）T）2 m ax（A 7）2 =J%ax（1 A）T j A L（A 7）=Q 4n（AA）T2 j T=（A 7）2 =人|；|那=心 佃2