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1、习 题 一 解 答1取 3.14，3.15，位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2 后，可以根据定理 2 更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.31415926510，3.1
2、40.31410，m=1。而3.143.141592653.140.0015911所以3.140.001590.005=0.5102102101322所以，3.14 作为的近似值有 3 个有效数字。22355，作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的7113（2）绝对误差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.31415926510，3.150.31510，m=1。而3.153.141592653.150.00840711所以3.150.0084070.05=0.5101101101222所以，
3、3.15 作为的近似值有 2 个有效数字。（3）绝对误差:相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.31415926510，22 3.142857143 0.314285714310，m=1。722而 3.141592653.142857143 0.0012644937所以22所以，作为的近似值有 3 个有效数字。7（4）绝对误差:355e(x) 3.141592653.14159292 0.0000002705113 0.000000271相对误差：1有效数字：因为3.14159265=0.31415926510，355 3.14159292 0.31415929210，m=1。11
4、3355而 3.141592653.14159292 0.0000002705113所以355所以，作为的近似值有 7 个有效数字。113指出：实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。3467854，7000009 ，00001324580 ，0600300解：346785434679，7000009 70000，00001324580 000013246 ，0600300 060030。指出：注意 0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限
5、和相对误差限和有效数字的位数。x1 0.0315,x2 0.3015,x3 31.50,x4 5000。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限， 再求相对误差限， 最后确定有效数字个数。 有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是有效数字分别有 3 位、4 位、4 位、4 位。指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。4.计算10的近似值，使其相对误差不超过 0.1。解：设取 n 个有效数字可使相对误差小于 0.1，则1101n 0.1
6、%，2a12而310 4，显然a1 3，此时，11101n101n 0.1%，2a1231即101n103，6也即610n104所以，n=4。此时，10 3.162。5、在计算机数系 F(10,4,-77,77) 中，对x1 0.14281103与x2 0.314159101，试求它们的机器浮点数fl(xi)(i 1,2)及其相对误差。解：fl(x1) 0.1428103,e( fl(x1) x1 fl(x1) 0.142811030.1428103 0.00001103,fl(x2) 0.314210 ,e( fl(x2) x2 fl(x2) 0.31415910 (0.314210 ) 0
7、.0004110对误差分别是0.000011030.000041101e1 0.007%,e2 0.013%。310.1428100.3142101111其相6、在机器数系 F(10,8,L,U) 中，取三个数x 0.23371258104, y 0.33678429102,z 0.33677811102， 试按(x y) z,x(y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。解：精确计算得：第一种算法按从小到大计算 ,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。*在机器
8、数系 F(10,8,L,U) 中，取三个数x 0.23371258104, y 0.33678429102,z 0.33677811102，试按(x y) z,x(y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。解：第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。37、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U) ，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算试比较所得结果。解：从左到右计算得10.40.30.20.040.030.020.01 0.1100.04100.03100.02100.00100.00
9、100.00100.0010 0.19101.9从右到左计算得从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数x1 3.105,x2 0.001,x3 0.100，估计下列算式的相对误差限分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。x30.100解：因为x1 3.105, x2 0.001,都是有效数，x (2) 0.0005,x3( )所以(x1) 0.0005,0.0005则(x1 x2 x3) (x1)(x2)(x3) 0.00050.00050.0005 0.0015指出:如果简单地
10、用有效数字与误差的关系计算,则不够精确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中x示 x 充分大）。(1)ln x1 lnx2,x1 x2；(2)11 x, x1 x1 x1；1；1表示 x 充分接近 0，x1表(3)x(4)11x,xxx1cosx,x 0且 xx1(5)cot x,x 0且 xx1;1。分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。4解：(1)ln x1ln x2 ln(2)x1；x211 x1 x(1 x)21 x1 x(1 x)(1 x)1 x(12x x )
11、3x x(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)22；(3)或(4)(5)指出：采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。例如试与上例比较。有时候这种方法可以使用，例如因为cos(x) cosx cos sin xsin，当 01时，cos 1,sin在这个计算中，由于x 是常数， x 的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开f (x) f (x)f ()(x x)，当f (x) f (x)f (x)，因此
12、1时，就有和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确5定的可能极小的小数而不是无穷小 （趋于零的变量） ，因此近似计算是不能采用极限方法的。转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。所以，是错误的。极小的数做除数，实际上是0型的不定型，要转化为非不定型。010、用 4 位三角函数表，怎样算才能保证1cos2有较高的精度？解：根据1cos2 2si
13、n21，先查表求出sin1再计算出要求的结果精度较高。指出：用度数就可以。不必化为弧度。11、利用783 27.982求方程x256x1 0的两个根，使它们至少具有4 位有效数字。解：由方程的求根公式，本方程的根为因为783 27.982，则如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理x1x21，在求出x1 55.982后这样计算x2：这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分1In e近似值的稳定算法。11nxxe dx(n 0,1,2,3,.)，0解：当 n0 时，I0 e1x0exdx e1(e1)1e1。01
14、1(exdx ex e1)。00b对 In运用分部积分法(udv uvavdu)得aabb由此得到带初值的递推关系式6由递推公式 In1nIn1解得In11(1 In)，这是逆向的递推公式，对 In的值作估计，有n另有 (取 e 的指数为最小值 0，将 ex取作 e01 作为常数即可简化公式）。11则e1。 Inn1n1那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取可以看出，n 越大，这个近似值越精确地接近于准确值。(n 越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)111(In*In) en，e0=en，计算是稳定的。nnn!实际上，如果我们要求 I9，
15、可以先求出 I20，这样求出的 I9的误差是比 I20的误差小得多的，而I20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的 I9比直接计算出来的精确得多。补充题（一）此时，en1=In1*In1=1、给出数系 F(10,4,-5,5) 中的最大数、最小数和最小整数。解：最大数： 0.9999 105；最小数： 0.9999 105；最小正数： 0.0001 105。2、已知e 2.718281828459045235360287475）中的浮点数。解：在 F(10，5，5，5）中，fl(e) 0.27183101在 F(10，8，5，5）中，fl(e) 0.271828181013、已知数 e 的以
16、下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多少？x0 2.7182, x1 2.7183,x0 2.7182818。，求它在 F(10，5，5，5）和 F(10，8，5，分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个近似数和准确数之间的误差关系。所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。解：因为11e x0 0.000081811031014,2211e x1 0.000021041015,，2211e x2 0.000000031071018.22所以，x0 2.7182, x1 2.7183,x0 2.7182818分别有 4、5、8 个有效数字。其相对误差分别是7(
17、38)34、数与下述各式在实数的意义上是相等的，3(38)（1）(176 8)3，（2）(176 8)31，（3）(38)6，（4）(38)61，（5）196016920 8，（6）(196016920 8)1。试说明在浮点数系F(10,4,8,8)中，用哪个公式计算出的结果误差最小。分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论。解：在本例中，显然3 和8在浮点数系中是相近的数。进一步地，17 和6 8、19601 和6920 8也是相近的数。因此：为避免相近的数相减，不应采用（1）、（3）、（5）三种计算方法。在余下的三种计算方法中，（2）需要进行
18、4 次乘除法，（ 4）需要进行 7 次乘除法，（6）需要进行 1 次除法。从减少运算次数来说，应采用（6）。所以，采用（ 6）计算，计算结果误差最小。5、f (x) xe ln(1 x)/ x3，当x解：当xx21时，如何计算才能获得准确的结果？1（即很小时）， f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变形。由泰勒展开得因此此处最后略去部分的第一项为当x1时，这一部分是相当小的值，可以略去。指出：如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。补充题（二）（一）1、计算 e 的近似值，使其误差不超过 106。2、利用计算 f(0.1)的
19、近似值，其误差不超过 102，求 n。 3、3.142 和 3.141 分别作为 的近似数，各有几位有效数字？4、已知近似数 x 的相对误差限为 0.3,问 x 至少有几个有效数字？5、已知 x 的下列 3 个近似数的绝对误差限都是 0.005，问它们的有效数字各有几位？8a=138.00，b=-0.0132，c=-0.8610-46、设近似值 x=1.234，且绝对误差界为 0.0005，则它至少有几位有效数字？7、某校有学生 6281 人，通常说有 6000 人。下面哪个式子表示 6000 这个近似数合适？分析与解答1、解：令 f(x)=ex,而 f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0
20、=1。由麦克劳林公式，可知1当 x=1 时，e 112!1en!(n 1)!(0 1)e3故Rn(1)。(n 1)!(n 1)!当 n9 时，Rn(1)106，符合要求。此时，e2.718 285解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在a,b上存在直至 n 阶的连续导函数，在(a,b)上存在n+1 阶导函数，则对任意给定的 x，x0a，,b，至少存在一点 （a，,b），使得f (x0)f(n)(x0)f(n1)()2nf (x) f (x0) f (x0)(x x0) (x x0) (x x0) (x x0)n12!
21、n!(n 1)!其中，f(n1)()(x x0)n1叫做拉格朗日型余项。Rn(x) (n 1)!当 x0=0 时,得到麦克劳林公式。2、解：所以，n=2。3、3.14159265=0.31415926510，3.1420.314210，m=1。因为3.1423.141592653.1420.0004011所以，3.1420.000400.0005=0.5103103101422所以，3.142 作为的近似值有 4 个有效数字。 3.1415926,1122133.14159263.141 0.00059 0.005 0.510101022小数点后几个 0，10 的指数的绝对值就是几。4、解：设
22、 x 有 n 位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为 9，则31111 0.3% 101n101n10n，10002(91)2102210n由上可得610n1000，n2.2，9所以取 n=2。15、解：xa xb xc 0.005 102，2所以 m-n=-2。a=138.00=0.13800103，则 m=3，所以 n=3-(-2)=5，即 a 有 5 位有效数字；b=-0.0132=-0.13210-1，则 m=-1，所以 n=-1-(-2)=1，所以 b 有 1 位有效数字。c=-0.8610-4，则 m=4，所以 n=4-(-2)=20，所以 c 没有有效数字。6、解：因为近似
23、数 x=1.234 的绝对误差界为 0.0005，1所以x* x 0.0005103，2则 m-n=-3。而 x=1.2340.1234101，则 m=1，所以 n=1-(-3)=4，所以，x=1.234 有 4 位有效数字。7、解：哪个式子表示 6000 这个近似数合适实际上要看近似数 6000 有多少个有效数字。6281 近似到十位、百位，千位分别是写成科学记数的形式分别是可见，上述写法中，第一种是合适的。实际上，所以 m=4,1而62816000 281 0.281103 0.51031032所以 m-n=3，则 n=m-3=4-3=1，即近似数 6000 只有一个有效数字，所以，只有0
24、.6104这种写法是合适的。（二）1、已知测量某长方形场地的长为 a110 米，宽为 b80 米。若a*a0.1（米），b*b0.1（米），试求其面积的绝对误差限和相对误差限。2、已知三角形的两个内角的测量误差都不超过 0.1，则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。3、若 x1=1.030.01，x2=0.450.01，1计算y x12ex2的近似值并估计误差。2104、已知测量某长方形场地的长为 a110 米，宽为 b80 米。若a*a0.2（米），b*b0.1（米），试利用多元函数的误差分析方法求其面积 S=ab 的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。5、如果用电表测得一个
25、电阻两端的电压和通过的电流分别是V=1102(V)，I=200.5(A)试运用欧姆定律R 差。6、已知近似值 a1=2.21,a2=4.63,a3=7.98 是由四舍五入得到的，它们的绝对误差界都是 0.005a aa a试估计12a3和a113的相对误差界。a3a2分析与解答1、S ab,(S) (ab) a(b)b(a) 19.1(m2)2、提示：内角和为 180，而且 180 是准确数，没有误差。3、由已知，x1=1.03，x10.01，x2=0.45，x20.01。所以，(x1)x10.01，(x2) x20.01。所以，y 的绝对误差限为将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似
26、值为1y x12ex21.845，2则 y 的相对误差限为进一步地，本题的绝对误差限可以看作是 0.05，那么计算结果中只需要保留到百分位就可以了，即最终结果取 1.8，那么计算过程中各数只需要取到千分位。)4、（。6、略解。f (x1,x2,x3) x1x2a a x3, f (a1,a2,a3) 12a3则x3a3V求这个电阻值 R 的近似值， 并估计所求出的近似值的绝对误差和相对误I所以，则相对误差限为下略。解二:根据函数y f (x1,x2,e(y) e( f (x1,x2,x3,xn)的函数值的绝对误差,xn) i1nfe(xi)。xi相对误差11公式计算。（三）1、用秦九韶算法的多
27、项式格式乘法计算多项式P(x)=x7-2x6-3x4+4x3-x26x-1在 x=2 处的值 p(2)。2、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。11 x( x1)。12x1 x3、指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）11cos1（三角函数值取四位有效数字）2ln(303021)（对数函数值取六位有效数字）1cosx3 (其中 x 的绝对值很小）sin x4x12710015n(n1)n14、设近似值 T0=S0=35.70 具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式1Ti1 5Ti142.8和Si1Si142.85计算 T20和 S20所得结果是否可靠。
28、5、计算p6(x) 2x63x4 x24x1的值p6(3)。分析与解答1、p(2)92x22、(12x)(1 x)x3、11cosx 2sin2,sin 0.50 0.00872234x127xx2x4x8x16x32x645由小到大依次相加。4、设计算 Ti的绝对误差为 e(Ti)=Ti*Ti，其中计算 T0的误差为 ，那么计算 T20的误差为e(T20)=T20*T20（5T19*142.8）（5T19142.8）=5(T19*T19)5e(T19)=52e(T18)=520e(T0)显然误差被放大，结果不可靠。1同理，e(S20) e(S0)，误差缩小，结果可靠。55、解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为 0。2012所以p6(3)1213。13