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1、数学分析第一学期期末考试试题考试科目：数学分析年级：适用专业：数学与应用数学 信息与计算科学 统计学考试时间：120分 钟 考试方式：闭卷试卷类别：A 试题满分：100分考生注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题.一.判断题(正确的划 错误的划x,每小题2分，共20分).1.若数列 端收敛，则 凡 必为有界数列.2.无穷小量与一个有界变量的乘积仍是一个无穷小量.3.若单调数列%中有一个子列%收敛，则数列 6 收敛.4.若 =1,2,，且 lim一 x8 “=a,lim y=b ,则必有n5.若/(x)在x=0 点可导，则|/(刈在x=0 点也可导.6.若/(x)在/点连续，g(x)在/
2、点不连续，则/(x)g(x)在5 点一定不连续.7.设/(%)在。,刃上可导，若/(九)在切上严格单调增加，则在Q,川上必有 x)0.8.若/(x)在x=x()取的最大值，则/(x)=0.9.若/(x)在X 上一致连续，则/a)在X 上必定一致连续.10.若/(x)为可导的偶函数，则/(X)必为奇函数.二.叙述定义并用定义证明(每题9分，共18分)丫2 _ S1.叙述lim/(x)=A的定义，并用定义证明lim=l.X-00 7 XfCO k _|_ j2.叙述函数/(x)在 X 上一致连续的定义，并用定义证明/(x)=正在(-0 0,+0 0)上一致连续.三.计算下列各题(每题4分，共24分
3、)+2.l imX TO171s in2 x3.设 y =(x 2 +2 x +3)e，求 y()；4.l imA-0s in 4 xV x+T-i5.设4x=(r s in r)y=t i(l-co s r)，求 宗;g(x)6.设“x)=丁，x*，且已知 g=g (O)=O，g (O)=4,试求r(O).0,x =0四.按要求解答下列各题(1-4每题8分，第5题6分，共38分)1 .设an+i-y2+an,=1,2,，证明:4“的极限存在并求其值.2 .设函数/(x)在天点可导，且在5点的某一邻域内，/(%)为/(X)的最大值，则 _ f(X o)=O.3 .叙述闭区间上连续函数的有界性定
4、理，并用有限覆盖定理证明.4 .按函数作图步骤，作函数/(x)=x-2 arct an x的图像.5 .若 函 数 /(%)满 足：fa,b a,b,对 V x ,yea,b,有f(x)-f(y)qx-y,其中 0 q l是常数,对V/.a,令x,+|=/(x“),=0,1,2,，则 上 收敛，且x*=%x“满足/(x*)=x*,且有误差估计式：|x -x*|0,3 X 0,当忖X 时，有|/()一川0,由于Y2-工5 1=6 J 二6 ，所 以 要r2使-51,只x +1 x+x x+1须 提 杉，取X=j|，则当|x|X时，有9|一1,所以l imXT8X2-5x2+l2.(l)/(x)在
5、 X 上一致连续:V 0,第0,V xpx2eX,只要|当一司5,就有|/(斗)-/()|0 ,由于V X ,9 e(-o o,+o o)有-双 卜 加,所以取5=/,则当上一马上，就有|声 一 所 以/(%)=也 在(-00,4-00)上一致连续.三.计算下列各题(每题4 分，共 24分)3.y()=/+(2 +2M)X+2 +3/;.si n 4x 04.h m i.-=8;3。Jx +1 -15.dx2 4 2A r，/c,g(x)1-g (x)1 r g (x)-g 1 ”小 o6./(0)=h m i4-2-=l i m -=h m -=g(0)=2.)1 0 x2 2x 2-。x-
6、0 2 v 7四.按要求解答下列各题(1-4 每题8 分，第 5 题 6 分，共 38分)1 .证明：(1)先利用数学归纳法证明 ,有上界血+1;(2)由 an+l-an-J2 +%-J2 +a,=j；以及%-可知 凡 单调上升，因而由单调有界定理知 a“的V 2 +V 2 +V 2极限存在，设l i m q,=a,在a“+i=j 2 +a”两边取极限得a =Jc +a ,解得”上T8 Y2(舍去负值)得a =2,所以l i m%=2.T82 .证明：f：(x0)=l i m .x)T(X o)wo,广(%)=l i m “力)酒+V 07-+o x 而 f-o x-x0又/(x)在天点可导，
7、所以(%)=(/)=(%)，因而有/(x)=0.3 .(1)有界性定理:若函数/(x)在闭区间a,可上连续，则“X)在a,可上有界.(2分)(2)证明：由连续函数的局部有界性，对每一点x b a,b,都存在邻域。(,)及正数”使得|/(x)|MA,x e U(,%)n a,b，考虑开区间集H =u(f,3X.)|x e a,可,显然“是a,可的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集H*=(7(4)卜 w a,b,i =l,2,%覆盖了 a,句，且存在正数根,此，,风，使得对一切可有|/(x)|M.t,i =l,2,k,令”=嘤,叫.，则对任何x e a,b,x必属于某因而|/(x
8、)归即“X)在a,可上有界.(6分)4.解：(1)定义域x|xe/?(2)函数f (x)=x-2 arctan x在(-*+8)上是奇函数。(3)曲线与坐标轴的交点为(0,0)。(4)/。)=无/令(3=0,得 =1。4 Y(5)/(x)=令/(x)=0,得x=0(1+巧一(6)渐近线 y=x+4,y-x-7i(7)列表X-1(T，。)0(0,1)1。,+8)/(X)+/F)0+“X)凹增极大值点凹减拐点凸减极小值点凸增极大值=1,极 小 值/=1-拐点(0,0)。5.证明：(1)先证明 x为Cauchy歹！因而 x“收敛，设limx,=x*。(上+1 -归/归 一 与|,卜,-x|002.若
9、/(x)在 a,匕 上连续，/2(x x=0,证明：fx)=0,xe a,b 3 .设/(x)为连续正值函数，证明当x 2 0时，函数*3=是单调递增的4.设/(%)在 0,+8)上单调，l i m/G)存在，如果导数r(x)在 。,+句 上连续，那么积Xf+00分 /(x)s i n2 xdx收敛数学科学学院2004-2005学年第二学期期末考试试题考试科目：数学分析 年 级：04 适用专业：数学与应用数学时 间：120分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：B 卷 试题满分：100分注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题。叙 述（每题3分 共 12分）1.函数列/,（X）在数集X 上一致有
10、界82.级 数 一 致 收 敛 的 Cauc h y原理W=13 .微积分学基本定理4,积分第一中值定理四.计 算(每 题 6分共3 0分)1.x2exdx2.L nxdxnnn3.l i m(“TOOn2+12-1-.n2+22-n2+n2)4.l i mX TO2Xf e-dttos.v5.求级数Zn=(T)A n的和S五.讨 论 敛 散 性（每题7分共28 分）1.设数列有界，讨论级数，的敛散性.3/=i2.讨论级数方史的绝对收敛性与条件收敛性3.4.设5(x)=：,(=1,2,-),讨论 S.(x)在 0,1 上的一致收敛性 +nx讨论无穷积分的收敛性四.证 明（1,2,3 题每题8分
11、，4题 6分共3 0分）1.设 函 数 列 /“（X）满足(1)fn(x)eC a,b,=1,2,；,(X)在句 上一致收敛于/(x)一 82.设/(x)e c a,b,且非负，若 3 x0 e a,b,使/(玉)0，则 f/(x/x 03 .设/(x)为连续正值函数，证明当x 2 0时，函数9(x)=是单调递增的4 .设/(X)和g(x)在a,可上都可积,证明不等式f f(x)g(x)dx f g2(力 对04-05学年第二学期04级 数学分析A 卷解答六.叙 述(每 题3分 共12分)1.0 ,3 x0 GX ,n0 G 有卜A f。2./e 0,3 N ,当N 时，对 W p ,V x
12、G X ,有+i(x)+“+(x)|0X2厂 dtx2=lim-；-X TO rsin-x 2-I e dtlim.r-0、1n21+3分6分3分(华百刀 2-U e dt1.2x=lim -f eSin x-2sinx cos x=-16分5.解：令 x)=f(1)工 x2 n,由某级数的性质知当x w(1,1)时,a 2nf(x)=Z(T)xM=1,2n-l _.X1 +x23分因为/(x)=_/+/)小=1 *力所以S=lirq,/(x)=-；ln2.ln(l+x2 v2)6分八.讨论敛散性(每题7 分共28分)1.解：考察级 数 之I土 I.因为=1 lim Jl I =lim=1x1
13、,T8 Y n T8 Hjn所以当lx l l时，由Ca u c h y判别法知，发散，故 之 二 也 发 散；=|n,=n.5分而当X =1 时，级数为上，它是发散的；当x=-l 时，级 数 为 匚 ,它是条件=1 =I n收敛的.7 分2 .解：令 S（x）=O,易知，V xe O,l,有lim S（x）=S（x）.2 分取o=，对 V N,取o N及/=-5-,有3 儿、阮（/）S（X o）|=；g.6 分因此 S.（x）在 0,1 上不一致收敛.7 分3 .解：因为 b,有界，所以三”0,使 得（%,J 卜 M。.2分.5分I 6 1 产而当P已时，2 匕收敛，故X。绝对收敛，从而收敛
14、。3 n=几 1 n=l.7 分4 .解：取 x）=则在 2,+8）上，/（X）单调减少，/（x）0,且QOE/（n）=E=2 n=21n ln2 n.3分由于 /（x“x =-1 1-1-In A In 2.6分故 /（X.X收敛7分四.证 明(1,2,3题每题8分，4题6分共3 0分)1.证明：由条件(1)(2)知 x)eC a,可，从而/(x)e K 出句.1分对V e 0,由条件(2)存在N,当N时，对Vx e a,b,有|/“(力一/(%)|/x|/(x)-/(X)px 002.若/(x)在 a,“上连续，/2(x)t/x =0,证明：f(x)=0,x ea,b 证明：因为/(x)w
15、 C a,K 3 x0 6 a,b,使/(而)0,所以存在可使得/(x)0,x e a,例.5分又因为/(x)在 a,可 非负，故 f /(x)t/x j 0.8分3 .证明：若 云0 卜,“，使得从而/2(x0)O o.2 分因为f(x)eC a,b,所以存在 a,。u a,可使得/2(x)0,x e a,0.5 分又因为尸 在心力非负，故，/2(x“x 2 1/卜20,矛盾.8分4 .证明：因为4 3二 句 门0力 一/(：)1力 ”.3分(1/可令。=由于/(x)为连续正值函数，所以0(x)=/(x)1：(一)/(3合0,.6 分所以“(x”0,即9(x)是单调递增的.8分4.证明：不妨
16、设/(x)在 0,+oo上单调递减。因为l i m/G)存在，故 由Ca u c h y收敛准则*-+0知，7 0日乂0,当4,4 乂时，有f(A)-f(A)X时，不妨设A 4 ,有口 夕(洲,，.6 分=卜1/。建=|/(4)一/(0|J：f (x)s in2 xdx 0,使对V x w X 及Vw 有|f(x)归M.2 .Vf 0,3 N ,当N 时，对Wp e,有,“+Fun+p|0,使 得（M a“6分 三.讨论敛散性（每1 8 1时，W7收敛，故2 绝对收敛，从而收敛3 “=i =7 分_oo 12.解：考 察 级 数 二 I.因为=|xn|x llim 4 l-1=1 加 7=1n
17、 f oc Y n-njn所以当I x k l 时，匚绝对收敛；,1 .3分当lx l l时，由Ca u c h y判别法知，|史 1 发散，故之 工 也 发散;M=1?：=1.5分8 8 1 1）而当X =1 时，级数为2，它是发散的：当x =1 时，级数为它是条件n=l n=l 收敛的.3 .解：令S（x）=O,易知，/x G 0,1,有lim Sn（x）=S（x）.2 分取（）=1，对 V N,取0N及%=-5-,有3。W.（X o）-S（X o）|=g；.6 分因此 S“（x）在 0,1 上不一致收敛。.7 分4.解：当时，0 W-W .1+M X。.2分又当月 1时无穷积分9 r收敛
18、，故无穷积分f 收敛，.5分从而无穷 积 分 收 敛.7分四.证 明(1,2,3题每题8分，4题6分共3 0分)1.证 明:由 条 件(1)(2)知/(x)eC a,可，从而/(x)e R a,可.1分对V 0,由条件(2)存在N,当 N时，对Vx e a,。,有 .4 分U U因此，当?4时，有f/(x叫 w f|/“(x)/(x)网 六.(b -a)=即1 1 1 1 1/()公=1/(如 .8分”-002 .证明：因为/(x)w C a,且去0丹。,“,使/&)0,所 以 存 在 例u a,可使W/(x)0,X G ,/7.5 分又因为/(x)在a,可 非负，故2 /(工9 0。.8 分
19、3.证明：。，司(力 门 力-/山 .3分0 X)_ 7-3 炉(。(。力)令(x)=#(x)：/(%f-/(x),由于/(X)为连续正值函数，所以0(x)=/(x)：(X一，)/(小 壮。,.6 分所以“(x)N O,即e(x)是单调递增的.8分4 .证明：对任给实数t,有f|y(x)+g(x)7x 2 0,即t2 f /(x R x +2 f ly (g (x”x+f g?(x /x N O.2 分从而左端的二次三项式的判别式A 4 0,即Q(X)g(X)d x)-jf 2(x)jg 2 成4(J,.4 分即f/(x)g(x”x 4 f/2(x”x)(f g 2(x)d x)。.6 分数学
20、科学学院2005-2006学年第三学期期末考试试题考试科目：数学分析年级：0 4 适用专业：数学与应用数学，信息与计算科学，统计学时 间：1 2 0 分钟 考试方式：闭卷 试卷类别：A 卷 试题满分：1 0 0 分注意：答案全部写在答题纸上，写清题号，不必抄题。.将函数/（）=/（一万4x4万）展开为F ou ri er级 数（1 0 分）计 算（每题9 分共54 分）1 .求极限li m98 X-X V +Vy 00 ,2 .设忆=a r c t a n+=求 二dx.v=03.求二重积分 jj s i n+y2dxdy+/4 4 乃 24 .设函数z =z（x,y）是由方程土=l n Z
21、确定的，求 生 及 生z y 5x dy5.求第二型曲线积分/=,其中L为环绕点（1,0）的简单、可求长的闭曲线6.求三重积分JJJJ?+dxdydz,其中丫是由曲面f+J?=2 2,z =1 所界的区域V三.判断反常积分关于p 在 上 的 一 致 收 敛 性（1 0 分）四.（第 1 题 1 0 分，第 2 题 1 6分共2 6分）1 .设/（x,y）,fv（x,y）都在 a/、上,引上连续，则/（）,）=/（工,中在卜,引上可微并且在 c,旬上成立 fy（x,y）dx2 .设x,y),x2+y2 r 0,x2+y 2 =0证明：（1）/（x,y）在（0,0）的邻域中连续；（2）/（x,y）
22、在（0,0）的邻域中具有有界的偏导函数力（x,y）,（3）/（x,y）在点（0,0）不能微分。04级第三学期 数学分析期末考试试题解答（A 卷）解：因为“X）是偶函数，所以2=0,-2分且“。=2,x2dx-1万2,an-X2 cos nxdx-(-1)，；n*n于是得到/(x)的F ou r i e r级数为-4分.-8分“X).-.-10 分1.极限l i mX fo cy oox+y 2 2x-孙+y解：由不等式f+y 2 2 2 k H得x+y/|x+y|/+y|/1 ,1、十x2-xy+y2-+H-|x|y|-5分而l i mXTCOy f o o(1 11、甲瓦=0,故有一l i8
23、m xy-oox+y2y+y=o-9分2 .解：由链式规则dz dz dz dy 1 2e2x +-+-,dx Sx By dx l +(x+y)1 +(%+y)-7分于是生dx x=o 23.解：令x=r s i n,Vy-r cos 6,9分0 2=2,其中小于原点到集合L的距离。记 L与C,所围的区域为。CJ 表示顺时针方向的圆周。则由格林公式得x-)dy-ydx,(x-)dy-ydx,/L (x l Z k(x-l)2+y2 一 虬由此推出T(X-1)2+/L ;(xl J+J-9 分6.解：+y2dxdydz=j j dxdy j%-V x2+y2,2 1三.解：令心f当Z*X1e
24、i n Y?1 1注意到当0 得xp产 s i n x3,1d Q d PV J 八-dxdy=0dx dy)-6 分a竺占2.h (x-l)2+y2 ylx2+y2dz-5 分-9 分 苧X由w e i e r s tr as s 判别法知在上致_ 2 2 _-4 分广 8 s i n/,由于 s i n f 力=|cos而函数”,+5关于t单调减少，于是知心关于一；,；尸 L 2 2-C LX=-1 -T-UT1X。3 4t 3/1-cos l 2,1 A xp 2 2四.I .证 明：对V ye c,J,当y+Aye c,J时，利 用 微 分 中 值 定 理 得/日 +)，)一/()，)
25、,/(x,y+Ay)/(x,y)(y)()x-分于是有处L l i m X上3=加 以(内+啊)公dy Ay-0 Ay Ay-0 J”)，Z 7=f 船 (%+)x =fN(%，y”x-i o分2.证明：(1)函数/(x,y)在 犬+2*0的点显然是连续的，由不等式 2-1_知 吧j/(x,y)=0=/(0,0),故以x,y)在(0,0)的邻域中连续。y f 0(2)5分3，(兑)=彳1+力3,x2+y200,x2+/=0当V+y2工0时，由于n(x,y)|工=1,故f：(x,y)在(0,0)的邻域中有界。同法可证l/；,(x,y)在(0,0)(严的邻域中有界。-10分(3)由于广(0,0)=/：(0,0)=0,且极限l i m x,y)T(o,o)-忒(o,o)-川(o,o)=l i m，0+p0fO+X1+y2是不存在的，因此可知/(x,y)在点(0,0)不能微分-16分