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1、 一、填空题 1.30sinarctanlimxxxx=16；2220cos()xdtxtdtdx=2cosxx 3如果()sinsinf xxdxxxC=+(0,)x，则()f x=1cot.xx+；421lndxxx+=1；5初值问题020,0yxdyxedxy=的解为2ln(1)yx=+；6用定积分表示 1100911111lim1218ndxdxdxnnnnxx+=+?二、选择题 1下列级数中条件收敛的是（D）（A）113!(1)nnnnnn=；（B）1(1)(1 cos)(0)nnn=常数；（C）111(1)(ln)nnnnn=+；（D）111(1)()2nnnn=.2设函数2212
2、12 sincos,0,()0,0 xxf xxxxx=,则（A）（A）()f x在(,)+上有连续的原函数；（B）0 x=是()f x的连续点；（C）()1,1f x ；（D）因为0lim()xf x=，所以()1,1f x .三、1 解：22sec1tanarctan9tan33xdxxCx=+2 解：2222220021(1)xxx dxxxdx=11221(1)1xttt dt=+12202(1)1tt dt=+第2页（共4页）sin22202(sin1)costuuudu=+58=3设()yy x=由方程2210sin02ytxte dtdtt+=确定，求dydx，22d ydx 解
3、：22sinydyexdx=；222222(cossin)yd yexxyyxdx=222222(cossin)yyexxyex=四、1求函数23(5)yxx=的极值，单调区间及曲线23(5)yxx=的拐点，凹凸区间.解:令35(2)()03xy xx=，解得驻点2,x=不可导点为0,x=且23(5)yxx=在(,0)(2,)+内单调递增，在(0,2)内单调递减,所以3(2)3 4y=为()f x的极小值，(0)0y=为()f x的极大值；3410(1)()09xy xx+=,解得1x=，且0 x=是二阶导数不存在的点。且23(5)yxx=在(,1)内是凹的，在(1,)+内是凸的，所以(1,6
4、)是拐点.2 设非负函数()(0)yy xx=满足微分方程20 xyy+=，又已知当(0)0y=时，曲线()yy x=与1x=及0y=所围图形的面积等于2，求()y x，并求图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.解20 xyy+=是可降阶方程，令py=，则20 xpp+=，解一阶线性方程120ppxx+=得，1122()()2dxdxxxpecedxx cxcxx=+=+=+，212(2)2yxcdxc xxc=+=+，其中1c，2c为任意常数，代入条件(0)0y=，得20c=，第3页（共4页）又由条件，有11211002()(2)13cy x dxxc xdx=+=+，于是得13c=.故所求非负函
5、数为232yxx=+图形绕y轴旋转所得旋转体的体积 11200172()2(23)6Vxy x dxxxxdx=+=五、对于积分中值定理：若若函数(),f xC ab则至少存在一点,ab使得()d()()baf xxfba=（，问,ab能否改为,ab（）？（要说明理由）答：能改为,ab（）事实上，(),f xC ab由微积分基本定理，()()dxaxf tt=是()f x的一个原函数，即()()xf x=，由 Newton-Leibitz 公式和 Lagrange 微分中值定理，有()d()()baf xxba=()()ba()()fba（，,ab（）六、1证明：当0 x 时，2ln(1)2x
6、xx+证明：令2)1ln()(2xxxxf+=01)(2+=xxxf 0)0()(=fxf 2设()f x在)0(2,0aa上连续，证明：200()()(2)aaf x dxf xfax dx=+.证明：2200()()()aaaaf x dxf x dxf x dx=+200(2)()a t xaafatdt=+0()(2)af xfaxdx=+3设()f x的二阶导数()fx在2，4上连续，且(3)0f=（1）将()f x在3x=处展开成带 Lagrange 余项的一阶 Taylor 公式；第4页（共4页）（2）证明在2，4上必存在一点，使得42()3()ff x dx=证明：（1）2()()(3)(3)(3)2ff xfxx=+在 3 与 x 之间；（2）对上式两边求定积分 4442222()()(3)(3)(3)(3)2ff x dxffxdxxdx=+422()(3)2fxdx=2()2,4,f xC 2,42,4,max(),min(),xxM mMfxmfx=使得 从而有，444222222()(3)(3)(3)222mfMxdxxdxxdx 即 422()(3)323mfMxdx 即 423()mf x dxM 由连续函数的介值定理有，422,4()3()ff x dx=使得