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1、第六章 图形的相似解答题专练1.(2018百色)已知A D为。的直径，BC为。的切线，切点为M,分别过A,D两点作BC的垂线，垂足分别为B,C,A D的延长线与BC相交于点E.(1)求证：A B M sM C D；(2)若 AD=8,A B=5,求 ME 的长.2.(2018甘孜州)如图，A D是A A B C的外接圆。的直径，点P在BC延长线上，且满足NPAC=NB.(1)求证：PA是。的切线；(2)弦CE_LAD交A B于点F,若AFA B=12,求AC的长.3.(2018日照)如图所示，。的半径为4,点A是。上一点，直线I过点A；P是。上的一个动点(不与点A重合)，过点P作P B I于点
2、B,交。0于点E,直径PD延长线交直线I于点F,点A是质的中点.(1)求证：直线I是。的切线；(2)若P A=6,求PB的长.4.(2018巴中)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(-3,-3),点B(-1,-3),点 C(-l,-1).(1)画出A B C；(2)画出a A B C 关于x轴对称的A i B i C i，并写出A i 点的坐标：；(3)以0 为位似中心，在第一象限内把4 A B C 扩大到原来的两倍，得到4 A 2 B 2 c 2,并写出A 2 点的坐标：.5.(2 01 8 南通)如图，A B 为。的直径，C为。上一点，A D 和过点C的切线互相垂直，垂足为D,且交。O
3、于点E.连接O C,B E,相交于点F.(1)求 证:E F=B F；(2)若 D C=4,D E=2,求直径A B 的长.6.(2 01 8 大连)如图，四边形A B C D 内接于。0,N B A D=9 0。，点 E 在 B C 的延长线上，且N D E C=N B A C.(1)求证：D E 是。0 的切线；(2)若 A C D E,当 A B=8,C E=2 时，求 A C 的长.7.(2 01 8 梧州)如图，A B 是。M 的直径，B C 是。M 的切线，切点为B,C是B C (除B点外)的任意一点，连接CM交。M于点G,过点C作D C 1 B C交BG的延长线于点D,连接AG并
4、延长交B C于点E.(1)求证：A B E s/B C D；(2)若M B=B E=1,求CD的长度.8.(2 01 8乐山)如图，P是。外的一点，P A、P B是。0的两条切线，A、B是切点，P O交A B于点F,延长B。交。于点C,交P A的延长交于点Q,连结A C.(1)求证：A C/7 P O；(2)设D为P B的中点，QD交A B于点E,若。的半径为3,C Q=2,求处的BE值.9.（2 01 8莱芜）已知 A B C 中,A B=A C,Z B A C=9 0,D、E 分别是 A B、A C 的中点，将A A D E绕点A按顺时针方向旋转一个角度a (0。9 0。)得至“A D E
5、,连接B D，、CE如图1.(1)求证：B D =C E ；(2)如图2,当a=6 0。时，设A B与DF交于点F,求电的值.FA图1B图2BC1 0.(2 01 8葫芦岛)如图，A B是。的直径，A C=B C，E是OB的中点，连接C E并延长到点F,使E F=C E.连接A F交。于点D,连接B D,B F.(1)求证：直线B F是。的切线；(2)若O B=2,求B D的长.1 1.(2 01 8宁夏)已知：A B C三个顶点的坐标分别为A (-2,-2),B (-5,-4),C (-1,-5).(1)画出 A B C关于x轴对称的A i B i C i；(2)以点O为位似中心，将 ABC
6、放大为原来的2倍，得到4 A 2 B 2 c 2，请在网格中画出4 A 2 B 2 c 2,并写出点B 2的坐标.1 2.(2 01 8宁夏)已知：A B为。的直径，延长A B到点P,过点P作圆。的切线，切点为C,连接A C,且A C=C P.(1)求NP的度数；（2）若点D是弧A B的中点，连接CD交AB于点E,且DEDC=20,求。的面积.（7 1 取 3.14）OJETTB13.（2018乌鲁木齐）如图，AG是N H AF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的。交AG于点D,过点D作A H的垂线，垂足为点C,交AF于点B.（1）求证：直线BC是 的 切 线；（2）若AC=2CD,设。的半
7、径为r,求BD的长度.14.（2018东营）（1）某学校 智慧方园 数学社团遇到这样一个题目：如图 1,在aABC 中，点 0 在线段 BC 上，NBAO=30。，ZOAC=75,A O=M，BO：C 0=l：3,求 AB 的长.经过社团成员讨论发现，过点B作BDA C,交A 0的延长线于点D,通过构造ABD就可以解决问题（如图2）.请回答：ZADB=,AB=.（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AC1AD,A 0=%,ZABC=ZACB=75,BO：OD=1：3,求 DC 的长.D（图2）C（图 3）15.（2018福建）如图，在 Rt
8、ZABC 中，ZC=90,AB=10,A C=8.线段 AD 由线段 AB绕点A 按逆时针方向旋转90。得到,4EFG 由4ABC沿 CB方向平移得到,且直线EF过点D.（1）求NBDF的大小；（2）求 CG的长.16.（2018遵义）如图，AB是半圆。的直径，C 是 AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D,交AC于点E,连接DA,D C.己知半圆。的半径为3,BC=2.（1）求AD的长.（2）点 P 是线段AC上一动点，连接DP,作NDPF=NDAC,PF交线段CD于点F.当 DPF为等腰三角形时，求 AP的长.17.（2018苏州）问题1：如图，在ZABC中,AB=4,D 是 AB
9、上一点（不与A,B 重合），DEB C,交AC于点E,连接C D.设aA B C 的面积为S,aD EC 的面积为S.（1）当 AD=3 时，i_=；S（2）设AD=m,请你用含字母m 的代数式表示.S问题2：如图，在四边形ABCD中，AB=4,ADBC,AD=J-BC,E 是 AB上一点2（不与A,B 重合），EFB C,交 CD于点F,连接C E.设A E=n,四边形ABCD的面积为S,4EFC 的面积为S，.请你利用问题1 的解法或结论，用含字母n的代数式表示乙.S18.（2018贵港）已知：A、B两点在直线I的同一侧，线段A。，BM均是直线I的垂线段，且B M在A O的右边，AO=2B
10、M,将B M沿直线I向右平移，在平移过程中，始终保持NABP=90。不变，BP边与直线I相交于点P.（1）当P与0重合时（如图2所示），设点C是A O的中点，连接B C.求证：四边形0cB M是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：处 里；PB BM（3）若AO=2加，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长.19.（2018上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE1AP,D F 1 A P,垂足分别是点E、F.（1）求 证:EF=AE-BE；（2）连接B F,如果空=迈.求证：EF=EP.BF AD20.（2018昆明）如 图1,在矩形ABCD中，P为CD边上一点
11、（DP A B,点P是CD边上的任意一点（不含C,D两端点），过点P作PFB C,交对角线BD于点F.求证：4D E F是等腰三角形；（2）如图2,将4P D F绕点D逆时针方向旋转得到P D F,连接PC,F B.设旋转角为 a（0Q a.BD=3 叵 0ABF=/ABBF.A FBD，4 X2=2 依 BD,【点评】本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型.1L【分析】（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点得出即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案.【解答】解:（1）如图所
12、示：Ai Bi J即为所求：(2)如图所示：Z A2 B2 c 2即 为 所 求;B2(1 0,8)【点评】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键.1 2.【分析】(1)连接O C,由P C为圆的切线，利用切线的性质得到N O C P为直角，利用等边对等角及外角性质求出所求即可；(2)连接A D,由D为弧A B的中点，利用等弧所对的圆周角相等，再由公共角相等，得到三角形A C D与三角形E A D相似，由相似得比例求出A D的长，进而求出A B的长，求出O A的长，求出面积即可.【解答】解：(1)连接OC,.p c为。的切线,A ZOCP=9 0,即 N2+NP=9 0,
13、V OA=OC,，NCAO=N1,V AC=CP,.,.ZP=ZCAO,又Y N 2是 AOC的一个外角，/.Z2=2 ZCAO=2 ZP,.2 ZP+ZP=9 0,A ZP=3 0；(2)连接AD,：D为第的中点，/.ZACD=ZDAE,/.ACDAEAD,必 匹，即 AD2=DCDE,DE ADVDC*DE=20,，AD=2 娓，V =B D，.*.AD=BD,V A B是。0的直径，RtAADB为等腰直角三角形,/.AB=2T10，OA=lyB=V10S 0o=n*OA2=lOn=31.4.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形
14、的判定与性质是解本题的关键.13.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODA C,证明0D1 C B,可得结论；（2）在 RtZACD 中，设 C D=a,则 AC=2a,AD=倔，证明A C D s/V kD E,表示a=4 r,由平行线分线段成比例定理得：毁 典，代入可得结论.5BC AC【解答】（1）证明：连接。D,V A G是NHAF的平分线，NCAD=NBAD,V OA=OD,/.ZO AD=ZODA,.,.ZCAD=ZODA,，ODAC,V ZACD=9 0,/.ZODB=ZACD=9 0 ,即 ODJ_ CB,.D 在。上，二直线B C是。的切线；(2)解：在 R
15、t a ACD 中，设 CD=a,则 AC=2 a,AD=倔,连接DE,VA E是。0的直径，NADE=9 0,由NCAD=NBAD,ZACD=ZADE=9 0,.,.ACD AADE,；iAD _ AC；,同 而，即述a二2 a ,2 r V 5 a od-4 r，5由(1)知：ODAC,理 应，即B D二r ,BC AC BD+a 2 a【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键.1 4.【分析】（1）根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=7 5。，结合N B O D=N C O A可得出 B O D s c O A,利用相
16、似三角形的性质可求出0D的值，进而可得出A D的值，由三角形内角和定理可得出NABD=7 5 o=NADB,由等角对等边可得出AB=AD=4E，此题得解；(2)过点B作BEA D交AC于点E,同(1)可得出AE=4仃，在R tA E B中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在R taC A D中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解.【解答】解：(1)；BDAC,/.ZADB=ZOAC=75.VZBOD=ZCOA,.,.BODACOA,O-D-O-B-.lOA 0C 3又，：A G=m，OD=ATO=/33，AD=AO+OD=4 仃VZBAD=30,ZADB=75,/.ZABD=180-ZBAD
17、-ZADB=75=ZADB,，AB=AD=4 我.故答案为：75；4-73.(2)过点B作BEA D交AC于点E,如图所示.VAC1AD,BEAD,A ZDAC=ZBEA=90.VZAOD=ZEOB,/.AODAEOB,BO_ EO_ BEDO AO DAV BO：OD=1：3,EO_BE_1 ,一 一.AO DA 3VAO=3V3)/.EO=V3.AE=4 我.V ZABC=ZACB=75,.,.ZBAC=30,AB=AC,/.AB=2BE.在 RtAEB 中，BE2+AE2=AB2,即(4我)2+BE2=(2BE)2,解得：BE=4,，AB=AC=8,AD=12.在 RtaCAD 中，AC
18、2+AD2=CD2,即 82+122=CD2,解得：CD=4后.【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出0 D的值;（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度.15.【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10,ZA B D=45,再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出/A D E=N A C B,进而得出AD E szA C B,得出比例式求出A E,即可得出结论.【解答】解：（1）线段A D是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90。得到，A ZDAB=90,AD=AB=10,，NABD=45,V A
19、E FG是aA B C沿CB方向平移得到，；.ABEF,/.ZBDF=ZABD=45O；（2）由平移的性质得，AECG,ABEF,/.ZDEA=ZDFC=ZABC,ZADE+ZDAB=180,VZDAB=90,，ZADE=90,V ZACB=90,，ZADE=ZACB,.,.ADES/XACB,-A-D 一 AE,AC-ABVAC=8,AB=AD=10,.,.AE=12.5,由平移的性质得，CG=AE=12.5.【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出A D E sa A C B是解本题的关键.16.【分析】
20、(1)先求出A C,进而求出A E=4,再用勾股定理求出DE即可得出结论；(2)分三种情况，利用相似三角形得出比例式，即可得出结论.【解答】解：(1)如图1,连接OD,.,0A=0D=3,BC=2,，AC=8,DE是A C的垂直平分线，AE=LC=4,2/.OE=AE-OA=1,在 RtAODE 中，DE=40口2 OE在 RtZxADE 中，AD=JAE2+DE*2(2)当DP=DF时，如图2,点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当 DP=PF 时,如图 4,.ZCDP=ZPFD,ID E是A C的垂直平分线,ZDPF=ZDAC,/.ZDPF=ZC,VZPDF=ZCDP,/.PDFACDP
21、,/.ZD FP=ZD PC,，NCDP=NCPD,，CP=CD,/.AP=AC-CP=AC-CD=AC-AD=8 -2通；当PF=DF时，如图3,/.ZFDP=ZFPD,V ZDPF=ZDAC=ZC,/.DAC APDC,；iPC _ CD；，CD A C，-8-AP _2A/6,2氓:8，；.AP=5,即：当4 D P F是等腰三角形时，A P的长为0或5或8-2遍.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，判断出 PD F s/C D P和 D A C s P D C是解本题的关键.17.【分析】问题1：（1）先根据平行线分线段成比例定
22、理可得：生 理 上，由同高三角形面积的E A A D 3比等于对应底边的比，则也匹还毁3,根据相似三角形面积比等于相似A A D E 杷 3 9比的平方得：%以3）2=2 _,可得结论;A A B C 4 16（2）解法一：同理根据（1）可得结论;e|C E-D F解法二：作高线D F、B H,根据三角形面积公式可得：-,分别表SA A B C示更和更的值，代入可得结论；C A B H问题2：解法一：如图2,作辅助线，构建 O B C,证明 O A DSAOBC,得0 B=8,由问题1的解法可知：S ACEF=S F,O E F 4-n x(生1)2=改2 1,根据相似A O B C 2A O
23、 E F A O B C +n&6 4三角形的性质得：1 =1,可得结论；2O B C 4解法二：如图3,连接A C交E F于M,根据A D=1B C,可 得 也 吗 工 得:SAA D C=1S,2 SAABC 2 3SA A B C=2S，由问题1的结论可知：隰 眩 二F，4 n,证明 C F M s/M Z D A,根3SAABC 16据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论.【解答】解：问题1：(1)V A B=4,A D=3,/.B D=4 -3=1,.D E B C,C E B D 1 京 而 可 SADECE C 13；2 AA D E 杷 3 9.D E B C,
24、/.A D E A A B C,.S/kD E C =即 心 上SAABC 16 S -16故答案为：J _；16(2)解法一：VAB=4,AD=m,BD=4-m,VDE/7BC,C E _ B D _?E A A D m.5DEC=C E =4 in；AADE 杷 10；DEBC,/.ADEAABC,S 2kAPE _/in、2-n2，SA A B C-(7)一记，SADEC_SADEC S仙E_4-ID m2-m2+4in -，A A B C A A D E 2A A B C 10 16 16即 S =_ m 2+4 m.-S 16 ，解法二：如图1,过点B作BH_LAC于H,过D作DF_
25、LAC于F,则DFBH,.,.ADF AA B H,D F A D-i n.而 下 Ne&T D F 2 dA D E C _ _ _ _ _ _ 4-m、/in-m +4 mSAABC 4 4 16即 S,=一+.S 16-问题2：如图，解法一：如图2,分别延长BD、CE交于点0,：ADBC,/.OADAOBC,O A A D 1/.0A=AB=4,；.0B=8,V A E=n,0E=4+n,：E F B C,由问题1的解法可知：,也多面.SMEF 4F X（生工）2=里/,A O B C A O E F A O B C +n 8 6 4 SA 0A D （0 K）2=1.A O B C B
26、 4 SA B C D _ 3 -9A O B C 4.SACEF _ S/CEF;且 通一言 J G-n 2 即 S JG-n、.SABCD SA 3 6 4 4 8 S 4 84 dA O B C解法二：如图3,连接AC交E F于M,V A D/B C,且 A D=1B C,2；SAADC 12A A B C 2，SA A D C=1SA A B C*.,.SA A D C=，SA A B C=-S，由问题1的结论可知:S/kE M C =-n 2+4 n；,A B C 16：M F A D,/.C F M A C D A,.#S C F M=-（4F）X S，4 8SAE F C=S E
27、 M c+SAC F M=-n 2+4n.2 5+鱼 X S=12L.16 3 4 8 4 8 S=16-112 -L Sx s，4 8o【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度.18.【分析】(1)先证明四边形OCBM是平行四边形，由于NBMO=90。，所以口OCBM是矩形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；(2)连 接AP、0 B,由于NABP=NAOP=90。，所 以A、B、0、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明N A P
28、B=N 0B M,所以APBS/0 B M,利用相似三角形的性质即可求出答案.(3)由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在。的左侧时，第二种情况是点P在。的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案.【解答】解:(1)V2BM=A0,2C0=A0.BM=CO,：AOBM,二四边形OCBM是平行四边形，VZBMO=90,.”OCBM是矩形，V ZABP=90,C 是 A0 的中点，/.OC=BC,二矩 形OCBM是正方形.(2)方法一：连接AP、0B,VZABP=ZAOP=90,，A、B、0、P四点共圆，由圆周角定理可知：ZAPB=
29、ZA0B,VA0/7BM,/.Z A 0B=Z 0B M,A ZAPB=Z0BM,.,.APBAO BM,二 AB 二 O MPB方法二：如图所示，过点B作BDJ_A。于点D,易证：四边形DBMO是矩形，/.BD=OM,/ZABD+ZDBE=ZDBE+ZPBM,ZABD=ZPBM,VZADB=ZPMB=90,/.ABDAPBM,AB BDAB _0M.P BBM(3)当点P在。的左侧时，如图所示，过点B作BD A O于点D,易证PEOsaBED,；i PQ _0E易证：四边形DBMO是矩形，.*.BD=MO,OD=BM，M0=2P0=BD,O-E一 1，DE-2,.，AO=2BM=2 通，BM
30、=A/5，；.0 E=,DE=2恒3 3易证AD BsABE,，AB2=ADAE,VAD=D0=BM=V6，.*.AE=AD+DE=-/i3/.AB=V10由勾股定理可知：B E=Z Hf3易证：PEOsPBM,BE 0M=2P B =PM T*-PB=V15当点P在。的右侧时，如图所示，过点B作BDJ_OA于点D,VMO=2PO,二点P是O M的中点，设 PM=x,BD=2x,/ZAOM=ZABP=90,，A、。、P、B四点共圆，二四边形AOPB是圆内接四边形，NBPM=NA,/.ABDAPBM,二 AD 尸,丽 丽，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM,AD=BM=/5，娓=x -=-
31、y2x V6解得：x=y,：.BD=2x=2仃由勾股定理可知：AB=3&,PB=3【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，矩形的判定与性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识.19.【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD,ZB A D=90,根据等角的余角相等得到N 1=N 3,则可判断4ABE丝A D A F,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论；（2）利 用 处J L和AF=BE得 到 双 题，则可判定RtZBEFsRt/DFA,所以/4=BF AD DF ADZ 3,再证明N 4=N 5,然后根据等腰三角形的性质
32、可判断EF=EP.【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD,ZBAD=90,VBEAP,DFJ_AP,.,.ZBEA=ZAFD=90,VZ1+Z2=9O,Z2+Z3=90,A Z 1=Z 3,在aA B E和a D A F中，ZBEA=ZAFD Z 1=Z 3 ，,AB=DA.ABEADAF,；.BE=AF,/.EF=AE-AF=AE-BE；(2)如图，.里BF AD而 AF=BE,”BE-_D-F-,BF AD BE_ BF,DF AD/.RtABEFRtADFA,，N 4=N 3,而 N 1=N 3,，Z 4=Z 1,V Z 5=Z 1,A Z 4=Z 5,即BE平分NFBP
33、,而 BE_LEP,AEF=EP.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.20.【分析】（1）过 点P作PG_LAB于 点G,易知四边形D P G A,四边形PCBG是矩形，所以 AD=PG,DP=AG,GB=PC,易证APG-ZSPBG,所以 PG?=AGGB，即 AD2=DPPC；（2）DPA B,所以N D P A=N P A M,由题意可知：Z D P A=Z A P M,所以NPAM=Z A P M,由于NAPB-NPAM=NAPB-N A
34、 P M,即N A B P=N M P B,从而可知PM=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形;（3）由 于 义 工，可设 DP=1,A D=2,由（1）可知：AG=DP=1,PG=AD=2,从而AD 2求出 GB=PC=4,AB=AG+GB=5,由于 CPA B,从而可证PCFS/XBAF,APCESA M A E,从 而 可 得.,.迎 王，杷=5,从 而 可 求 出EF=AF-AE=3A C-AC 9 AC 13 9-20_AC_LA,-_20JC,从 而 可 得 变=率=1.13 117 AE 913队【解答】解：(1)过点P作PG 1AB于点G,二易
35、知四边形D P G A,四边形PCBG是矩形，/.AD=PG,DP=AG,GB=PC,/ZAPB=90,，ZAPG+ZGPB=ZGPB+ZPBG=90,，NAPG=NPBG,/.APGAPBG,PG GBAGPG，.PG2=AGGB,E P AD2=DPPC；(2)：DPAB,/.ZDPA=ZPAM,由题意可知：NDPA=NAPM,，NPAM=NAPM,/ZAPB-NPAM=NAPB-ZAPM,即 NABP=NMPB，AM=PM,PM=MB,；.PM=MB,又易证四边形PMBN是平行四边形，二四边形PMBN是菱形；(3)由 于 里AD 2可设 DP=L AD=2,由(1)可知：AG=DP=1,
36、PG=AD=2,VPG2=AGGB,/.4=1GB,.GB=PC=4,A B=A G+G B=5,.C P A B,/.P C F A B A F,_P_C=45AB5,-9 AFA C-又易证：PCESAM AE,AM=LB=2 2C E =P C =工 8*AAF5.y2 A.E 一 5,A C-1 3Z.E F=A F -AE&C-L 1 2 0 A C,9 1 3 1 1 7【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识.2 1.【分析】（1）易证N D M E=N C B A,Z
37、 A C B=Z M E D=9 0 ,从而可证明MEDs B C A；（2）由N A C B=9 0。，点 M是斜边AB的中点，可 知 M B=M C=A M,从而可证明NAMD=N C M D,从而可利用全等三角形的判定证明aAMD丝ACMD；（3）易证 M D=L B,由（1）可知：M E D s/X B C A,所以一（旭L）2=L,2SAACB A B 4所以 S MCB=SAACB=2SI,从而可求出 SAEBD=S 2-SMCB-S i=Z S i,由于2 5s一 胆，从而可知胆二L 设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC=2,X,SAE B D EB EB 2
38、2 X最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【解答】解：(1)VM D B C,，NDME=NCBA,VZACB=ZMED=90,/.MEDABCA,(2)NACB=90,点M是斜边A B的中点，MB=MC=AM,/.ZM CB=ZM BC,VZDM B=ZM BC,NMCB=NDMB=NMBC,V ZAMD=180-NDMB,ZCMD=1800-ZMCB-ZMBC+ZDMB=180-ZMBC/.ZA M D=ZC M D,在a A M D与A C M D中，MD二MD ZAMD=ZCMD,AM=CMAMD之CMD(S AS)(3)VMD=CM,，AM=MC=MD=MB,，M D=LB,2由
39、(1)可知：MEDs/S BCA,S1 一，MD、2_1-(-J ,SA A C B 福 4 SAACB=4SI，V C M是ZACB的中线，SAMCB=-SAACB=2SI，2.nSAEBD=S2-SAMCB-S1=-=LS1，5；S1 ,M E.A E B D E B S1 =M EE B5 ME,-5-,E B 2设 ME=5x,EB=2x,/.MB=7x,，AB=2MB=14x,M D-M E-l -fA B B C 2，BC=10 x,cos N A B C=旦A B 1 4 x 7另解：设 ME=5x,EB=2x,，MB=MD=7x.VMD/7BC,/.cosZABC=cos N
40、BMD=2=5M D 7【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识.22.【分析】(1)先 求 出B D,进而求出OD=OB=OA,再判断出ODEsaADO,即可得出结论；(2)先判断出4AEF丝ZS DCE,进 而 求 出B F=1,再判断出C H G s/C B F,进而求 出BK=GK=1,最后用勾股定理即可得出结论；6(3)先求出EC=5,再求出D C=1,根据勾股定理求出D H=C H=1,再判断3 3出E M N s a E
41、H D,的粗M N =EM,AEDM A E C H,得出M=E M,进而得HD E H C H E H出 义 龙0=5,即可得出结论；M N HD 4先判断出N M DH=NN ED,进而判断出NM DH=NECB,即可得出D M=D H,CB-CE即可.【解答】解：(1)如图1,连接0 A,在矩形ABCD中，CD=AB=3,AD=BC=5,ZBAD=90在RtAABD中，根据勾股定理得，BD=病，:。是BD中点，.*.OD=OB=OA=34,2/.Z 0A D=Z 0D A,V0E=DE,A ZE0D=Z0DE,.,.ZE0D=Z0DE=Z0AD.ODEAADO,A DQ-D E,A DO
42、2=DEDA,AD-DO.,.设 AE=x,，DE=5-x,.(圾)2=5(5-x),2 x-3310即：A E&；10(2)如图2,在矩形ABCD中，VBE 平分NABC,，ZABE=ZEBC=45,VADBC,，NAEB=NEBC,，NABE=NAEB,；.AE=AB=3,.AE=CD=3,VEF1EC,/.ZFEC=90o,；.NAEF+NCED=90,ZA=90,，ZAEF+ZAFE=90,，NCED=NAFE,VZD=ZA=90,.,.AEF ADCE,，AF=DE=2,BF=AB-AF=1,过点G作GKLBC于K,.NEBC=NBGK=45,，BK=GK,ZABC=ZGKC=90,
43、VZKCG=ZBCF,.CKGs/xCBF,GK CK 而 演，设 BK=GK=y,ACK=5-y,vy-5,6BK=GK=$,6在 RtaGKB 中，BG=3巨；6（3）在矩形ABCD中，ZD=90,VAE=1,AD=5,，DE=4,VDC=3,/.EC=5,由折叠知，ED=ED=4,DH=DH,ZEDH=ZD=90,.,.DC=1,设 DH=DH=z,A HC=3-z,根据勾股定理得,(3-z)2=l+z2,74-4-93.DH=&,CH=A,3 3V D N lA D,，ZAND=ZD=90,.DNDC,/.EMNAEHD,；rM N _ E M ：,而油，VDNDC,/.ZEDM=ZE
44、CH,VZMED=ZHEC,/.EDMAECH,D M E M ，二，C H-E H M N D M,而 C H D M 二C H 二5,M N H D SA E DZ M 5 -二一；SA E M N 4相似，理由：由折叠知，ZEHD=ZEHD,ZEDH=ZD=90,.ZMDH+ZEDN=90,VZEND=90,/.ZEDN+ZNED=90,.,.ZMDH=ZNED,.DNDC,/.ZEHD=ZDMH,A ZEHD=ZDMH,.DM=DH,.ADBC,.NNED=NECB,ZMDH=ZECB,；CE=CB=5,-D-M -D-H-【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的
45、判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键.23.【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得：NEDB=NEBD=a,ZCAD=ZACD,NDC E=NDEC=2a,再根据三角形内角和定理可得结论；(2)设/M B E=x,同理得：Z M E B=Z M B E=x,根据切线的性质知：ZDEF=90,所以NCED+NMEB=90。，同理根据三角形内角和定理可得NCAD=45。；(3)由(2)得：ZCAD=45；根 据(1)的结论计算NMBE=30。，证明a C D E是等边三角形，得 CD=CE=DE=EF=AD=b，求 EM=1,MF=EF-E M
46、=/-1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：E N=C E=,代入化简可得结论.【解答】解:(1)连接CD、DE,O E中，VED=EB,/.ZED B=ZEBD=a,/.NCED=NEDB+NEBD=2a,O D 中，VDC=DE=AD,/.ZCAD=ZACD,ZDCE=ZDEC=2a,ACB 中，ZCAD+ZACD+ZDCE+ZEBD=180,.Z C A D=1 8 0 3 O _ 3 0;2 2(2)设NMBE=x,VEM=MB,.NMEB=NMBE=x,当EF为。D的切线时，ZDEF=90,A ZCED+ZMEB=90,/.ZCED=ZDCE=90-x,ACB 中，同理得，ZCA
47、D+ZACD+ZDCE+ZEBD=180,.,.2ZCAD=180-90=90,A ZCAD=45；(3)由(2)得：ZCAD=45；由(1)得：NCAD=180-3/M B E；2，NMBE=30,A ZCED=2ZMBE=60,VCD=DE,-,.CDE是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD=A/,RtADEM 中，NEDM=30,DE=愿，.EM=1,MF=EF-1,ACB 中，ZNCB=45o+30=75,CNE 中，ZCEN=ZBEF=30,.ZCNE=75,二 NCNE=NNCB=75,二 EN=CE=J 5，.MN=NE+E+=V+l=2+.n*M F MF V3-l-【点评
48、】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.24.【分析】(1)先求出BE的长度后发现BE=BD的，又NB=60。，可知a B D E是等边三角形，可得NBDE=60。，另外NDEF=60。，可证得a C D F是等边三角形，从而 CF=CD=BC-BD；(2)证明E B D s D C F,这个模型可称为 一线三等角相似模型，根据AA判定相似；【思考】由角平分可联系到角平分线的性质 角平分线上点到角两边的距离相等”，可过 D 作 DM_LBE,DG1EF,D N 1
49、C F,则 DM=DG=DN,从而证明BDMCDN 可得 BD=CD；【探索】由已知不能求得CAABC=AB+BC+AC=2AB+2OB=2(m+m co sa),则需要用m和a是三角函数表示出CAAEF，CAAEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG；题中直接已知点。是BC的中点，应 用(2)题的方法和结论，作OGLBE,OD1EF,OH1CF,可得 EG=ED,FH=D F,贝U CM E F=AE+EF+AF=AG+AH=2AG,而 AG=AB-B O,从而可求得.【解答】(1)解：.ABC是等边三角形，AB=BC=AC=6,ZB=ZC=60.VAE=4,，BE=2,则 BE=BD,.
50、BDE是等边三角形，A ZBED=60,X V Z E D F=60,.,.ZCDF=180-ZEDF-ZB=60,贝UNCDF=NC=60。，.,.CDF是等边三角形，；.CF=CD=BC=BD=6-2=4.故答案是：4；(2)证明：如图，,.,NEDF=60,ZB=60,，ZCDF+BDE=12O,ZBED+ZBDE=120,/.ZBED=ZCDF.又 NB=NC=60,/.EBDADCF；【思考】存在，如图，过D作DMLBE,DG1EF,D N 1C F,垂足分别是M、G、N,ED 平分NBEF 且 FD 平分NCFE.，DM=DG=DN.又/B=NC=60,ZBMD=ZCND=90,.