数字信号处理课后习题.pdf-淘文阁

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1、第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。(1)(2)(3)x (n)=A c o s (+)8 6x(n)=(-7T)8x(n)=A s i n(n +)4 3解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=A c o s(0 +e),得出。=*。因此?=?是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=g%=1 6(攵取5)。1 2 4(2)对照复指数序列的一般公式x(n)=e x p。+/0 n,得出0=。因此*=16万是无理数，所以不8 0)是周期序列。3 7r 7T 7T 7T(3)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=A c o s (2 +(p)，又x(n)=

2、A s i n(+)=A c o s(-n-),4 3 2 4 3=A c o s(n-),得出因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于4 6 4 (o 3QN=L=8(左取 3)2.2 在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n),并画出y(n)的图形。h(n)=u (n)x (n)=u (n)1 1 1 1 1 2 3 4 n0(n)IL L:h(n)(b)1 O0h(n)anu n)解利用线性卷积公式y(n)=2 x(k)h(n k)k=-按照折叠、移位、相乘、相加、的作

3、图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a)y(0)=x(0)h(0)=1y(l)=x(0)h(l)+x(l)h(0)=3y(n)=x(0)h(n)+x(l)h(n-l)+x(2)h(n-2)=4,nN2(b)x(n)=2 8(n)-b(n-l)h(n)=-8(n)+2 8(n-l)+8(n-2)y(n)=-2b(n)+53(n-l)=3(n-3)OO OO1fl+1(c)y(n)=Z 伏)幻=Z d4 二 -u(n)k=oo k=8 1 -aI*.I 1.2 足 v（）的图膨.图L 22.3计算线性线性卷积(1)y(n)=u(n)*u(n)(2)y(n)=2 n u(n)*u(n)oo解:

4、(1)y(n)=,u(k)u(n k)k二gOO=)=(n+l),nNOk=0即 y(n)=(n+l)u(n)(2)y(n)=支(6(一 A)k=-g8 4 1 -A=EA u(k M n-k)=,n 0k=01 /t即 y(n)=l u(n)I A-2.4 图P2.4 所示的是单位取样响应分别为h I(n)和 h 2 (n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n),%(n)=S(n)-J (n-4),h2(n)=a u(n),|a|l,求系统的输出 y(n).rv(n)z、j r(n)O-h 1(n)-九 2()-O解 CO(n)=X(n)*h,(n)=(%)_ 3(n-k)-8(

5、n-k-4)k=-=u (n)-u (n-4)y(n)=6 9(n)*h2(n)=Sdu(k)u (n-k)-u (n-k-4)q=-o o=,n 2 3k=n-32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a-u(-n),0 a l 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。证明（1）交换律X（n）*y（n）=x（左）y（一女）A=-8令k=n-t,所以t=n-k,又-8 k 8,所以-8 t 8,因此线性卷积公式变成x(n)*y(n)=x(n-t)y n-(n-t)二 Z九(，)y )二丫8)*x(n)=交换律得

6、证.(2)结合律x(n)*y(n)*z (n)=*z(n)Z x(Z)y-2)z (n-t)二 Z x(k)Z y(t-k)z(n-t)=Z x (k)Z y(m)z(n-k-m)A r=-o o m二.x (k)y(n-k)*z (n-k)k=-oo=x(n)*y(n)*z(n)结合律得证.(3)加法分配律x(n)*y(n)+z(n)co=Z x(k)y(n -k)+z(n -k)&=oo二 x(k)y(n-k)+乞 x(k)z(n -k)A=-o o k=-o=x (n)*y(n)+x(n)*z (n)加法分配律得证.2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以

7、证明(l)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin-n+3 6(3)y(n)=(4)y(n)=f x(Z)k=-0ok=%(5)y(n)=x(n)g(n)解(1)设 y (n)=2X(n)+3,丫2(n)=2x2(n)+3,由于y(n)-2 X(n)+x2(n)+3(n)+y2(n)-2 x (n)+x 2(n)+6故系统不是线性系统。由于 y(n-k)=2x(n-k)+3,Tx(n-k)=2x(n-k)+3,因而y(n-k)=Tx(n-k)故该系统是非移变系统。设|x(n)1WM,则有|y(n)|=|2x(n)+3|W|2M+3|3故该系统是稳定系统。因y(n)只取决于现在和过

8、去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。(2)设 yi(n)=axi(n)sinn+3 6/、/-r 2 乃 TCV 2 (n)=bx2(n)smL-n+J3 6由于 y(n)=Taxi(n)+bx2(n)=axj(n)+bx2(n)sin-n+3 6/、.TC、.27r TC=axi(n)sinL-n+bx2(n)sinL-n+J3 6 3 6=ayi(n)+by2(n)故该系统是线性系统。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k)+3 6Tx(n-k)=x(n-k)s i n -n+3 6因而有 Tx(n-k)Wy(n-k)帮该系统是移变系统。设|x(n)|W M,

10、元 2 伏)=a yi(n)+by2(n)k=n o k=n o故该系统是线性系统。因 y(n-k)=Z M&)=Z *(2 一)k=n o t n=n o+tW T x (n-t)=x(m -1)k=o所以该系统是移变系统。设 x(n)=M,则l i m y(n)=l i m (口-%)仁8,所以该系统不是稳定系统。一 8 T OO显而易见，若 n 2 n。则该系统是因果系统；若 n n。则该因果系统是非因果系统。(5)设(n)=Xj (n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于y(n)=T a Xj (n)+bx2(n)=(a X (n)+bx2(n)g(n)=a x1(n)g(

11、n)+b2(n)=a y,(n)+by 2(n)故系统是线性系统。因 y(n-k)=x(n-k),而T x (n-k)=x (n-k)g (n)H y (n-k)所以系统是移变系统。设|x(n)|WM 0 (6)h(n)=2 R u(n)解(1)因为在n 0 时，h(n)=2#0,故该系统不是因果系统。因为S=|h(n)|=|2|=1 1 时才是稳定系统。=n=-=8(3)因为在n 0时，h(n)中0,故该系统不是因果系统。因为S=|h(n)|=|(n+n0)|=l o o,故该系统是稳定系统。M=-n=-(4)因为在n 0 时，h(n)=O,故该系统是因果系统。因为S=|h(n)|=|(L)

12、T 8,故该系统是稳定系统。n=-n=O 2(5)因为在n 0 时，h(n)=u(n)=O,故该系统是因果系统。nO OO O 1 O O 1因为S=|h(n)|=y|-u(n)H V 上=8,故该系统不是稳定系统。=o o =o o =0 U(6)因为在n 0时，h(n)=O,故该系统是因果系统。8 N-1因为S=Z|h(n)|=Z|2|=2-1)2兀(上d w2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y (n)-y (n-1)=x (n)+x(n-l)2 2(1)求该系统的单位取样响应h(n)(2)用(1)得到的结果求输入为x(n)=e”时系统的响应(3)求系统的频率响应(4)求

13、系统对输入x(n)=c o s(生n+生)的响应2 4解(1)令 X (n)=6 (n),得到h(n)-h(n-l)/2=8 (n)+8 (n-l)/2由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出h(n)=h(n-1)/2+8 (n)+8 (n-l)/2 ,n N O递推计算出h(-l)=0h(0)=h(-l)/2+8 (0)=1h(l)=h(0)/2+l/2=lh(2)=h(l)/2=l/2h(3)=1 h(2)=(l)2h(4)=1 h(2)=(1)3h(n)=8 (n)+(g)n/u(n-l)或 h(n)=()n u(n)-u(n-l)也可将差分方程用单位延迟算子表示成(1-D

14、)h(n)=(l+D)8 (n)由此得到h(n)=(l+-D)/(l-D)8 (n)=1+D+lD2+(-)2 D3+.+(-)k-1 D3+.8=8 (n)+8 (n-l)+-8 (n-2)+-8 (n-3)+.+(-)k1 6 (n-1)+,2 2 2=8 (n)+(1)nu(n-1)2)将 X()=e w 代入 y()=x(n)*力()得到1 +-Dy ri)=e m*21-D2+-D 21。2=1 +D +-D2+(_ 2 /w(T)j w n .&=eJ-j-i-L-w21 +-e-JW=ei w n 2 _2(3)由(2)得出1l +-e-JWH&w)=T-2(4)由(3)可知.1

15、(.w、1 H-H J 5 =_ 2_v 7 -1 e -j 2w2 (.w、a rg Hrre2=a rc t a n_ v L-3()(i Y-1)3+-D+=111 -J.尸 I1 -J.乃1+e 2-a rc t a n 1 e 22 J 2=-2 a rc t a n y()=(c故：71 兀-CO S+2 4o s +?+a rg (eJ w)t C YI-2 a rc t a n 22.1 5 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-a y(n-1)=x(n)-b x (n-1)试确定能使系统成为全通系统的b值(b W a),所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率。无关

16、的常数的系统。解：令x(n)=Mi),则h(n)=ah(n-l)=(n)-b8(n-l)或h(n)=ah(n-l)+(n)-(n-l),nO由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：h(-l)=Oh(O)=lh(l)=a h (0)-b (O)=a-b2h(2)=ah(l)=a-abh(3)=ah(2)=a3-a2bh(n)=ah(n-l)=a n-an xb,nOh(n)=au(n)-an buCn-l)或系统的频率特性为H(e力=2；=_ anu(n)-anTbu(n-1)ej0-aeiw+a!2l-a e-iw-ae-iw+la 2若选取a=柠或b=。

17、*,则有|H(e)|2=|b|即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该系统为全通系统。2.1 6 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a u(n),其中a为实数，且设输入为x(n)=P u(n),为实数，且0 1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式y (n)=(k a +k 2 1 )u (n)(2)分别计算x(n)、h(n)和中求得的y(n)的傅立叶变换X(e j)、H(e巧、Y(e2),并证明Y(e”)=H(e M)x(e)解(l)y(n)=E1ci%(k)0-u(n k)2z v夕|口(步严1 一明

18、 Ty (n)=(/4-/T)u(n)0 X(e 2)=工户/3 =佻 73Y(e w)=Y(，一 a p决73=o a B a-f3a-B 1 aei(t)a-pe由于aa-，-a e1(1叱川)(1 一鼠=X(e，3)H(e，z)故得出 Y(e加尸H(ej)X(e)2.17令x(n)和X(/)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明:4-oo1Z x()x*()=j X(eJW)X e,u)dx=-w 27t n此式是帕塞瓦尔(Parseval)定理的一种形式。证明：证法一X(e jwn)E尤(l oo)e-jwnX*(e jw)=(Z xn=oo*(N)e jwn)*x*()e iw

19、nn 812 71r兀X(eJ-北Jw)X*jw)dw12 71J二【X(?m=-Z无(加)Z x*()1m=-82 nJ 一点其中n=-871m(nejw(H-m)dw-兀7C =2 7 C ,.n-jw(n-m)-=0,n W mm12 4兀X(e JW)X-兀*(e)dwZ x(n)x*(n)=-oo证法二:cot=-tn=-ooX()12 KX(e jw)e-jwn dw J 一兀zf=ooX ()12 71r X*(e 加)e Jwn dw 3-兀I2 71X*(e 加)x()e f，dwn=-ooI2 71X(e jw)X*J-7 TJW)dw2.1 8 当需要对带限模拟信号滤波

20、时，经常采用数字滤波器，如图P 2.18所示，图中T表示取样周期，假设 T很小，足以防止混叠失真，把从x(t)到 y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。(1)如果数字滤波器h(n)的截止频率0等于卫r a d,810 k H z,求整个系统的截止频率力 ,并求出理想低通滤波器的截止频率fc(2)对，=2 0 k H z,重复(1)的计算Tx.(O解理想低通滤波器的截止频率&(弧度/秒)折合成数字域频率为九(弧度)，它比数字滤波器h(n)的TTT4截止频率(弧度)要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率巴(弧度)来决定。将8 8其换算成实际频率，即将 0时，x(n)是

21、因果序列，收敛域为0 I z I 无零点，极点为0(m阶)；当m0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0W I z|零点为0(m阶)，无极点；当m=0,X(z)=l,收敛域为0 I z I W 8,既无零点，也无极点、*切=；U(n)z 5=n=-8 2/n=0 I，/_ 2-2X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R ,的圆的外部区域，这里x(”+l)_ 1，x(n)2T(n)还是因果序列，可以有I z I=8,故收敛域为1|z|W8。零点为0,极点2X(n)还是因果序列，可以有I z|=8,故收敛域为|z I W8。零点为0,极点为(3)2 2OO OOx(z)=2 1-

22、l)z-，!=Z(a z-)n=8n=l-OO OO=Z(Jz)=2(盥7)=六=1 =_ i w=i 1 -a z 1 -a zX(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围凡+的圆的内部区域，这里%+=4封x(-(n+1)L 1池 1。一 +D 1=同x()还是逆因果序列，可以有|z|=0,故收敛域为0SzM a|零点为0,极点为a。(4)X(z)=u(n)-u(n-1 0)z-nn=-o l乙)X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负事项，故收敛域为0 I z I W8.零点为。和_1(1 02阶)，极点为工。28 8 /卬0 I /卬。(5)X(z):c o s(W。)()Z =X-z

23、7n=-oon=8 j (-：-H-：-)=2 1z=l-eJ%zl1 -z c o s w01 -2 z t c o s w0+z -2x()是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为尺-的圆的外部区域，这里,x(n+l)R%()=1x()还是因果序列，可以有I Z|=8,故收敛域为1 0 Z区 8,零点为0和c o s w0,iw.一，卬0极点为e 和e2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图(1)x(n)=a|n|,0ab),u(n)(3)x(n)=Ar n cos(6 4-9)u(n),0r8x(n)I I 6 11,八。+x(n)还是右边序列，可以有|z|=8 ,故收敛域为e V

24、|z|4 8。零点为0,极点为e。(3)OOX(z)=2 A r c o s(%+e)()z fl=-8j(an+(p)-j(a)on +(p)=/j A r-zn =O ”A A。一 )=-Z (z _ 1)H-工 re j0)o z 2 =()2 =oA ej(p 1 A e-j)z-+一 )2 1-r z ej0)0 +eja)+r2 z2-1 z、_ A co s(p-rz co sttf()-(p)1 -2 rz-l cos con+rzX (n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为鸟一的圆的外部区域，这里R x-=l im+1)x()=l im T 8A，c o s%(+1)

25、+(2 7 A c o s(6 y0+c p)%()还是因果序列，可以有|z|=8,故收敛域为M 8X(n)还是因果序列，可以有xn+1)%()，故收敛域为limH oo Z 8,无零点，极点为。1XezZ,极点为1 Un!R和 reJ(Xon!二0OOX(z)=s in(W o +e)()zn=oo-nOO=sin(w()+0zTn=0oo=En=0，(卬0 +夕)-j(won+(p)-.2 jooI j S(e，H)=()p抑_ J(e-W&T)2j(e/s ej(p)+(6八伙-0)_ e-j(wQ-(p)2 j 1 -(ejw+ejw)z-x+z-2s in +s in(w0-(z)

26、z-1l-2 c o s v voz!+zlX(H)是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为R的圆的外部象区域,这里x(+l)s in%(+l)+o R()=l im =l im -r-=1I-xn)s in(w0/J+Jx()还是因果序列,大故收敛域为1 8.零点为0和 s m -。).极点为s in。c o s%+j s in w,o 和 c o s%-j s in%.2.2 1 用三种方法求下列Z 变化的逆变换(I)x(z)=-J ,|z|i1 -7T(3 )X(Z)=-!,|Z|a-Iz-a解(1)采用基级数法。由收敛域课确定X|(n)是左边序列。又因为l im X 1(z)=l 为有限值

27、，所以 X|(n)X T 8是逆因果序列。用长除法将X 1 (z)展开成正基级数，即X!(2)=-1 +2-2=2Z-4Z2+8Z3-16Z4+2 1 z 5+.+(-1 )2 z +.=Z (-1 )-1 2 Z-=-(-2)Z-最后得到x,(n)=-2 (-2)n=-l,-2,-3.或 x!(n)=)nw(-/?-l)（2）采用部分分式展开法。将 X?（z）展开陈部分分式X2(Z)=l+-z-+-z-21 +-z-1 +-Z-12 4其中1-Z-21+-Z-14=4A?1Z T2由收敛域可确定X 2（n）式右边序列。又因l im X 2（z）=l,所以 X 2（n）还是因果序列。用长除

28、法分别将4-31 1 jI+-Z-1 +-Z-12 4展开成负幕级数，即 7 =4 l-z-l+-z-2-z-3+.+(-),z-n+.1I H Z2 4 8 228 1工。(-彳”“=0 LZ16Z-2-1-8十-,)z1-43(-82-=-1-41-4山上两式得到x2()=4(-1 r-3(-l)nM)(3)采用留数定理法。围线积分的被积函数为t -a z-)z-(l-1z)zn-1了 3()Z =-7 -=-7 1 z-a z-a当 n 0 时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z =,，因此aX3(H)=R e 5 x3(z)zn-1,=(l-a-1z)z/I-I|ta

29、匕二面一犷,。当 n=0 时，被积函数在围线之内有两个极点z =，和 z=0,因此ax3=R e s X 3 (z)z T +R e 5 X3(z)z/M,0 1a,|、-i|l-a z=(l-a z)z i+-加=a-z-a乙 a 2=0=(1 n-2)a a =a l,n=0当 n 0 时，因为七(z)z T 在围线之外无极点，且刍(z)z T 在 z=8处有 l-n 2阶极点，所以有七(“)=0,n 0%3(n)=-a-1,n =00,/z 0故%3(n)=(a2-l)a ni(n-l)-a 6(n)2.2 2 求下列Z 变换的逆变换(1)X (z)=1(l-z-)(l-2 z-

30、1)X(z)=-(l-0.5 z-1)(l-0.5 z)K|z|20.5|z|e“(隐答水口解(4)采用部分分式法X4(z)=4 .A1-z-1 l-2 z_|A=-r|=-1,A =r l =2l-2 z l,=1-1 -z l,=21 -2根据收敛域1|Z|2,j 和-r 分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成Z的负1-z-1 l-2 z-1嘉级数和正募级数，即-277l-2z-n=l n=-l最后得到x4(4)=-u(ri)-2n+1 u(-n -1)用留数定理法,被积函数X z T =(z-5)z T =(z-5)z5(2)一 (1-0.5ZT)(1-0.5Z)一 (-

31、0.5)(l-0.5 z)根据收敛域0.5|z|2 可知,对应的是一个双边序列.其中0.5|z|对应于一个因果序列，即n 0|z|2 对应于一个逆因果序列，即 n N O 时，x(n)=0;n 2,故得/()=_ R e s X 5(z)z“T,2(z 5)z z-0.5=-2,+l/?0最后得到/()=鸣，心。-2n=+l,c 可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n 0最后得到ncT,nQ0,a表明它对应于一个右边序列；又因im J=1有限值，1 -az/_ o 1 _ az所以一匚应于一个逆因果序列王()。用长除法将一二展开成Z的正塞级数，即1 ciz1 az1-=1+

32、az+azx+azl+=anzn由此得到MS)=dluri)1Um对于i-bz”,收敛条件|Z b表明它对应于一个左边序列又因,己。i-_|=0为有限值，所以1 一反T对应于一个逆因果序列乙()。用长除法将1-历7展开成Z的正嘉级数，即1,=-b-z-b-2z2b-Zn-=-y b-nz=-ybz-n1-分士台由此得到x2(n)-bnu(-u-)最后得到毛()=au(n)-bu(u 1)2.2 3 求 X (Z)=，+浸，0 口 8,的逆变换解将/和 e：展开成哥级数_2 n 8 z=l1 +z d-Z-F.d-Z-1-=x/-1 1Z2!n ！7-z(一 )！由以上两式得出最后得x

33、(n)=6(n)+：j,一8 8|n|!2.24试确定X(z)=z 是否代表某个序列得Z 变换，请说明理由解不能，因为，如果X (z)能代表某个序列得Z 变换，则 X (z)必须在收敛域内试解析函数。但是，现在 x (z)=u (x,y)+jv (x,y)=z*=x j y,显然有半=1 H =-1 ,即 X (z)不满足柯西一黎dy曼！方程，因此X (z)不是解析函数，故 X (z)不能代表某个序列得Z 变换。2.2 5如果X (z)是 x(n)得 Z变换，证明:(1)2-*他)是*(1 1-1 1 1)的 2 变换(2)X(aT z)是 a x(n)的 Z 变换(3)z 也也

34、是 n x(n)的 Z变换解一加)z =x(n)z-(w+w)n=-8 n=-8=zm x(n)z-n=z-mX(z)n=-oo 工 ax()z-=Z xS X G z)-=X a z)n=-o o n=_oo W x()z-=-z J x()z-=-z J X(z)n=-az n=-8 az2.26证明(1)/(方 =x()(z*)-*=X*(z*)n=-oo n=08 g Z x-n)zn=x()(z T)f=X(z)H=oo=oo(3)O O O O 1 1 CO 8 1Z Rex(/?)z-,=-x(n)+xn)z=l x(n)z+X *(-=jX(z)+X*(z*)(4n=co=-o

35、o 乙乙 n=oo/i=co 乙)O O O O 1 1 O O g 1 Imx(/2)z_=Z x(z?)-x7A2)z_n=X(/2)z-n-工 x*(tt)z-=X(z)-X*(z*)n=oo n=co 2J 2 j=OO=-8 2 J2.27 解乂(2)=1/,上|1I-a zw(z)=x(z)y(z)=-11-=+=叱(Z)+叱(z)(l-z-X l-a z-1)l-z-I-az-1其中 4由于x(n)和 y(n)都是因果序列，故 w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W的收敛域为忆|1。这样，W(z)的收敛域应为而吗(z)的收敛域为|z|a。这意味着W,(z)和暝

36、(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将叱(z)和吗(z)展开成z 的负累级数，即II 二叱 =-(1+z-1+z-2+)=-V zn1 Q1 a n=7W2(z)=a(1 +6 Z Z-1+a2z2+)=a y anzn1 一。1 一。“=o由上二式得到1 4a)(n)-()，用()=-anu n 1-a -1 a最后得到l-a+,6 9(/?)=幽()+?()=-i/(n)1-a2.2 9 (1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a|z区8；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要求极点为z =a,零点为z =qT,收敛域|a|z区8。极一零点图利收敛域示于图1.7。(/)=l-a

37、-e-j a,l-a e-j t 0,1 一。7一/3、,1一。，5、*-a e-i m x/-a ei 0 x +a-2-a-(eJn,+e-j(a)-:-)(-:-)=(-:-)(-:-)=-:-:-a e-i a,-a e-Ja-a e-J(0-a eJC0 +c r-a(e W+et a)+a2-2a cos c o a a +l-2 acos w)-=-+a -a cos (O +a -a c o s c o因此得到|”(e )|=q T,即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。2.3 0 (1)根据极一零点图得到x(n)的Z变换X(z)=-(z-)(z-2)(z-3)因

39、-?(z-2)最后得到=0.9 x2-0.5 x3,00.9 x2-0.5 x3,0或 x()=0.9(；)()+(0.9 x2-0.5 x3 )(1)对于收敛域2|z|01个极点z =3 在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3-2（因 n 0）,故x(n)=-Re s X(z)z T,3 =一(丁)L=3=0.5 x3,0(z-1)(z-2)-最后得x（）=-0.9 x2,2 0-0.5 x3,82.3 2(1)次)=(-l)+x()，y(n)-奴)+奴-1)W(z)=zW(z)+X(z),W(z)=X(z)-/3zy（-z）=%x（z）所以系统函数为(z)=Y(z)1 +z-

40、1X(z)1 频率响应为H(z)=+e-ja,.0)e 2.0)e 2.(o A C t)zJ2.J2 2 c os-(e-+e-)_2产一竺.co(e 2-e 2)2 s i n y.(o=-，c 啊l +z-1 由出)=匚而X(z)可写出系统的差分方程-/3 e-itoy(n)-B y(-1)=xri)+x(n-1)1 1 +z-1(3)当x(n)为单位阶跃序列时，将X(z)=一丁代入y(z)=rX(z),得到1 Z 1 p zy仔占采用部分分式法：y(z)=l +z-1+T 4T=X(Z)+X(Z)1-zA其中4 J +Z _ 1 +04 百一巧l +z-1 _ 2=|z|得

41、到x()=不/”()2 1由芍 =匚百二”MA得至 2y2()=-夕”()1一。因此系统的单位阶跃响应为-1-3 2 1 一夕 2 1 一夕 1 一夕+iy()=x()+%()=-()=-()+-()=()+()1 p 1 p 1 p 1 p 1 /?1 -/?2.3 3(1)求差分方程两边的z变换y(z)=z-ly(z)+z-2y(z)+z-|x(z)由上式得到系统函数(z)=1-1-21 Z Z求系统函数的零点和极点n (Z)=-=-=-l-Z-Z-2 Z2-Z-1 (z 区)其中，零点为0;极点为片=；(1+正)和尾=g(l-6)。由此可画出极一零点图，如图 1.9 所示

42、已知系统为因果系统，因此收敛域为14|z区8。(2)采用留数定理法。由H(z)=-丁(收敛域为14|z区8)计算单位取样响应(z-(z-尾)()=Re s”(z)z T,4 +Re s (z)z-1,=1二制 +L 夕,=4-()z 河 z-1 -A丹四(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为四|z区片，这是一个双边序列。采用部分分式法将系统函数分解为H(z)=-=4 +工一=4(z)+,(z)(z-/)(z-4)z B z-A ,v 2 V其中A A =Z i _ 四-z_BW由乩.)=P Pi z-1计算单位取样响应九()。因收敛域为|z|/,故()为左边序列，又因l

43、i m|(z)=0为有限值，故小()还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数Z TOM(z)人一 4 z TL-z-1,当 n 0时，极点片=3(1+后)在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为1-+1 2 2(因 n ()Pl-P2.3 4（1）求差分方程两边的Z变换z T y（z）-|y（z）+z y（z）=x（z）由上式得到系统函数“（Z）丫 _ 1 _ zX(z)-I 5 -1.Z-+z (z-2)(z-)系统函数的零点：z=0；极点：4=2,四=g。系统单位取样响应的3种可能选择方案如下（参考图1.10所示的极一零点图）。（1）收

44、敛域取为2|Z|4 8,系统是因果的，但不是稳定的。得到系统的单位取样响应为力()=卷箸 ()=：2n 一 (；)()=g (2 -2-)()2（2）收敛域为;|z|2,系统是稳定的，但不是因果的。得到系统的单位取样响应为1 2 1hn=w（-/i-l）+律”（几）1=一万 2 （一一 1）+（彳）（）P-Pi 3 2（3）收敛域取为|z|g,系统既不是稳定的，又不是因果的。因收敛域为|z|四，故/：（）为左边序列，又因l i m H（z）=0为有限值，故为（）还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数 (z)z Tz(Z-B1)(Z-仇),当n 2（因n 0）,因此有1 2h(n)=(-/

45、?f +=+2/r)w(-77-l)P Pi 3(4)验证每种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数”(z)=1,故只要z-F Z2验证每一种方案的系统函数即可。(1)W(z)=|(2M-2-nW)z-=|(2 z-1r-(2-1z-1)n =|(=-8 D D =c o 。一乙 Z=2 1 z 13 l-2z-|z 2T -1 5Z-F Z2(2)H(z)=W-；(2 (f-1)-2、5)叱=过(2zT)一力(23)M=-CO3D n=-n=02(3)=Z-1(2 -2-K)M(-n-l)z-=|22(2z-)-Y(2-z-1)n=o o J J n=o a/!=o o第归)33

46、可(存一修)=1T 5-z +z22.35 z-,r(z)-y r(z)+zr(z)=x(z)iz-1 10 (&、/z 一耳 +z(z-3)(z-)极点为3,p 系统稳定，单位圆在收敛域内，即:|z|3,对应于双边序列。H(z)=-(z-3)(z-)-、=i(Z)+”2(Z)z-3其中A=2 pLL9,4 =Z 3Z 3z =_ 1z-3 4 8由收敛域|z 3知4()为左边序列，由l i m H/z)=0为有限值知人2()是逆因果序列。采用留9 z i数定理法，被积函数”|(z)z T=-，当n 0时极点3在积分围线外，且被积函数的分母与分子8 z 3多项式阶数之差为1 一+12 2(因n

47、 0),因此有%()=R e s Ht(z)z-,3 =?z”3=3,max 四，河,a ,且有y()=0,（）=Z R e s V（z）z T,zjf=l=Z-2+Z 2+Z 2（z-42）（z-a）二=4+（z-（z-a）+（z-.）（z _.）=止+Q+，+2（尾-（4-。）（尾-口）（尾-。）（a -Bj（a -隹）=（尾）加（片一a）/?；+（片一尾）。?3 -A）（4 -a）（62-。）_ （%-用a）。/）?一（叱-双忖迫产+/2r s i n 6a+2、172r s i n 0 re16-d）re i e-a）第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图 P

48、3.1所示的序列只)是周期为4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数X(A;)o2 2*1 1|1 n-1 0 1 2 3图 P3.1N-l N-l-(N-I)解：X(k)=Z以二 Z()阅二E无5)照成=又(一心=文*)=0/i=0 n=03.2(1)设乳)为实周期序列，证明只)的傅里叶级数元(Q 是共匏对称的，即弥(Q=X (-Q。(2)证明当月)为实偶函数时，又(女)也是实偶函数。证明：(1)N-I又(一幻=29)n=0N-l N-l元*1)=0 以 )%叮=、()/J 黄也)n=0 zz=0(2)因底”)为实函数，故由(1)知有X(k)=X*(k)或 X(-k)=X*(k)

49、又因以)为偶函数，即()=()，所以有NT N-一 (NT)文*)=X武枕)叫J )M J E WNn k=文(k)=X k)n=0 n=0 n=03.3图P3.3所示的是一个实数周期信号%(/?).利用D F S的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数又(Q,确定以下式子是否正确。(1)X(k)=X(k +O),对于所有的 k；(2)X(k)=X(-k),对于所有的 k；(3)X(0)=0；任(4)对所有的k是实函数。图 P3.3解：(1)正确。因为主()一个周期为N=10的周期序列，故又伏)也是一个周期为N=10的周期序列。(2)不正确。因为()一个实数周期序列，山例3.2中

50、的(1)知，犬(女)是共转对称的，即应有X(k)=X (6，这里火伏)不一定是实数序列。(3)正确。因为以)在个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有N-1(0)=()=0=0(4)不正确。根据周期序列的移位性质，文 =又(心用丁对应与周期序列翼 +2),如图P3.3 所示，它不是实偶序列。由题3.2中的(2)知道，行不是实偶序列。图 P3.3_13.4 设%()=%()，()=x(+6 r),求又(左),并作图表示()和火(左)。r=-2解:N T 5 2 1 _ W，n=0n=0n=0-皿 1-(-1/X(0)=1X(2)=X

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