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1、第 一 章 绪 论1.设x O,x的 相 对 误 差 为 求Inx的误差。p*Y *一 丫解：近似值父的相对误差为5=e；=-%*%*而Inx 的误差为 e(lnx*)=lnx*-lnx进而有e(lnx*)x b2.设x的相对误差为2%,求/的相对误差。解：设y(x)=x ,则函数的条件数为c =i卫 卫I*/(%)又,:/(x)=nx,C=1 A 1=nn又:r(x*)Cp-(x*)且4(x*)为2J(x*)a0.023.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：X：=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,x；=56.430
2、,x；=7 x 1.0.解：x；=1.1021是五位有效数字；x；=0.031是二位有效数字；x；=385.6是四位有效数字；x；=56.430是五位有效数字；x；=7x1.0.是二位有效数字。4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：x：+x；+x；,(2)x：x；x；,(3)x2lx4.其中x：,x；,x；,x；均为第3题所给的数。解：（X：）=；x l（r4（x；）=gx l（）-3（X；）=gx l（）T（X；）=gx l O-3（x；）=gx l（）T（1）（X：+X；+X：）=（X；）+（X；）+（X：）=-x l O-4+-x l O-*3+-x l O-35 6.4 3 0
3、 x 5 6.4 3 0=1 0一55计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为丫=一万/?33则何种函数的条件数为 R V R 4球 、C,=-=：-=3V ，叱3,（/?*）=3 j（R*）2 2 2=1.0 5 x 1 0-3（2）（X：X；X；）=忖司 （X；）+|x；X；|（X：）+忖 X；,（X；）=|1.1 0 2 1 x 0.0 3 1|x l x l 0-1+|0.0 3 1 x 3 8 5.6|x l x l 0_4+|1.1 0 2 1 x 3 8 5.6|x i x l 0-3 0.2 1 5（3）（X；/X；）同 （X；）+|x
4、 （X；）i ,i ,0.0 3 1 x-x l 0-3+5 6.4 3 0 x-x l O 32又,*）=1故度量半径R时允许的相对误差限为j(R*)=；x l。0.336.设=2 8,按递推公式匕=工1 -V783(n=l,2,.)计算到九加。若取J旃a 27.982(5位有效数字)，试问计算地将有多大误差？解:.%=%+屈Y oo=%-Y gg K)g-V783100L9 8%9 7 -J78310()-V7830 100依次代入后，有K0G=%IOOX击即几0=乂-，若取27.982,./0G=%-27.982（X M）=（/）+（27.982）=1xl0-3.y1 二1Go的误差限为
5、5x10-3。7.求 方 程 炉-56x+l=0的两个根，使它至少具有4位有效数字（J旃=27.982）。解:X2-56X+1 =0,故方程的根应为4 2 =28 土 7783故 玉=28+7 2 8 +27.982=55.982.王具有5位有效数字X,=28-V783=x-=-0.01786328+V783 28+27.982 55.982%具有5位有效数字阴+1 18.当N充分大时，怎 样 求:-dx2卜 +X2rN+1解 Jv-2 dx=ar ctan(N +1)-ar ctan N设 a =ar ctan(N +1),=ar ctan N。则 tan a =N+1,tan B =N.J
6、w+iN11 +x2dx-a-3-ar ctan(tan(a 一 夕)ar ctantan cr -tan /?1 +tan ez tan (3ar ctanN+l-N1 +(N +1)N=ar ctanM+N+I9.正方形的边长大约为了 1 0 0 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm2?解：正方形的面积函数为A（X）=2(A*)=2 A*(尤*).当 x*=1 0 0 时,若 （4*）4 1,则（X*）LX1 0-22故测量中边长误差限不超过0.0 0 5 cm 时，才能使其面积误差不超过l cJ1 0.设S=；g/，假定g 是准确的，而对t的测量有0.1 秒的误差，证明当t增加
7、时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：5 =洌1 ,/（）（S*）=gt2 （f*）当f*增加时，S*的绝对误差增加?（5*）=芾=gr g（r*）*）2_ 2 /*）当f*增加时，“*）保持不变，则 S*的相对误差减少。1 1.序列 为 满足递推关系先=1 0 先_1 一1 （n=l,2,.）,若治=及=1.4 1 （三位有效数字），计算到凹。时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：0=血；1.4 11 ,，（%*）=于 1 0-2又,.”=1 0 几-1（%*）=1。（%*）又：y2=1 0%T（%*）=1。（/*）.,.（%*）=1。2 （%*）（w*）=1。1 （%*）=10l（,x
8、 lx l0-22=-x l 082计算到M o 时误差为:X 10 8,这个计算过程不稳定。12.计算/=（血 一 1）6,取 血“1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？-r1 ,（3-2V2）3,9 9-7 0 0。（V2 +1）6（3+2 V 2）3解：设 y=（x 1卜，若=&,x*=1.4,则式x*）=g x l（）T。若通过一计算y 值，则（V2+1）6*1（）=6 x；-（x +1）(丁)6 */*、=j 7 y s（x ）（X+i y=2.5 3yb（x*）若通过（3-2 夜）3计算y 值，则8（y*）=|-3 x 2 x （3-2x*）21 8（x*）6 */*j
9、*ya 工）3-2x=30 y*（x ）若通过计算y 值，则(3+23（*）=3 x-（x*）（3+2x y=6x-r z-y*（x*）（3+2.r）7=1.0 34 5），*（尤*）通过二 二计算后得到的结果最好。（3+2 V 2）313./(x)=l n(x Jx 2-l),求。(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。l n(x _ Jx 2_ l)=Tn(x +Jx 2_ l)计算，求对数时误差有多大？解 /(x)=l n(x-7x2-l),.-./(30)=l n(30-/899)设 =屈 =/（30）则“*=29.9833（*）=；x l 0-4
10、故底卜一岛而)=焉而)。3x 10-3若改用等价公式n(x-yl x2-1)=-l n(x +/x2-1)贝 i J/(30)=-l n(30 +屈此时，(),*)一二 J (*)30 +=-E(M)5 9.9833a 8x 10-7第二章插值法1.当x =l,-1,2时,/(x)=0,-3,4,求/(x)的二次插值多项式。解：=1,4 =1,%2=2,/(%)=0,/(%)=-3,/()=4;/(%)=_ l(x +i)(x_ 2)(%一%)(%一 工2)2/,(x)=(X 虫一玉)=-(x-l)(x -2)(七一 Xo)(X|一)6(X-Xo)(X-X|)1L(x)=-!=(x l)(x
11、+1)(乙一公)(一玉)3则二次拉格朗日插值多项式为2k=O=-3Z0(X)+4/2(X)1 4=-(x-l)(x-2)+-(x-l)(x +l)2.给出/(x)=l n x的数值表X0.40.50.60.70.8Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算In 0.5 4 的近似值。解：由表格知，XQ 0.4,%)0.5,x,=0.6,X3 0.7,0.8;/(x0)=-0.916 291J (x j =-0.6 9314 7/(x2)=0.5 10 826，/=0.35 6 6 75/(x4)=-0.22314 4
12、若采用线性插值法计算In 0.5 4 即/(0.5 4),则 0.5 0.5 4 0.6=-=-10(x-0.6)当一/2(x)=-10(x-0.5)2-占“X)=/(X|K(x)+/()4 (x)=6.9314 7(%-0.6)-5.10 826(x -0.5)L,(0.5 4)=-0.6 20 2186 -0.6 20 219若采用二次插值法计算In 0.5 4 时,，o(x)4(x)(X-X)。-/)(X0-X,)(X0-J C2)(x-x0)(x-x2)(七一%)(占一)(X_ Xo)(X_ X|)(x2-x0)(x2-x,)=5 0(x-0.5)(x-0.6)-10 0(x-0.4)
13、(x-0.6)=5 0(x-0.4)(x-0.5)4(%)=/(x()为(%)+/*1R (x)+/(4 M(%)=-5 0 X 0.916 29 l(x -0.5)(x -0.6)+6 9.314 7(x -0.4)(x -0.6)-0.5 10 826 x 5 0(x -0.4)(x -0.5)4(0.5 4)=-0.6 15 31984 -0.6 15 3203.给全c o s x,0 Y x M 9(T 的函数表，步长 =1 =(1/6 0),若函数表具有5 位有效数字，研究用线性插值求c o s x近似值时的总误差界。解：求解C OSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X 是近
14、似值，具 有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数C OSX 的近似值时.，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当0 K x 90 时,令/(x)=c o s x取/川=白磊畸=品令若=x04-i/i,z =0,1,.,5 4 0 07T则5 =5=90“当x e x*,x j 时，线性插值多项式为4(x)=/(x j x_%+/(%)-*一心4一次+1 4+i x*插值余项为R(x)=|c o s x -A,(x)|=；/)(x -)(x x+1)又.在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且
15、c o s x e 0,1,故计算中有误差传播过程。.(/*&-)小炉R,(x)=(f xk)-+(/*(1)(/*(X*)(Xf L+Xf)Xk Xk+Xk+Xk=(/*(4 )(小 _ X+X _ X。h=(/*(“)总误差界为R=/?|(x)+7?2()=g(cosj)(x xj(x 4+1)+(/6)|x(x-xt)(xt+|-x)+(f xk)；力)2+(/*1)=1.06xl0-8+-x l0-52=0.50106x10 54.设为互异节点，求证：(1)三3 (k=0,1,/!);J=0JJ(2)(Xj-x)kIj(x)=0(k=0,1,);；=o证明(1)令/(.)=%若插值节点
16、为Xj,j=0,，则函数/(x)的n次插值多项式为L.(x)=。j=o插值余项为此=-,仆)=需%又,：k 4.尸)(0.R.(x)=0Xjlj(x)=xk(女=0,篦);y=o f (xL)六0=(c W(r)J%(x)y=o z=o=力。5产 之 叽(x)/=0 j=0又04注 由上题结论可知Z x；/j(x)X1j=0原 式=c；(-x)y1=0=(x x)”=0得证。5 设/(x)G C2 a,h且/(a)=f(b)=0,求证：max|/(x)|(Z?-a)2max|/ff(x)|.axb 8 axb解：令4=a,X1=b,以此为插值节点，则线性插值多项式为4(x)=/(%)X-X|+
17、/(%)xQ-x x-xQ“、x-b”，、x-a=;()-+/0)a-b x-a又/(a)=/(b)=0.-.Ll(x)=0插值余项为 R(x)=/(x)-L(x)=；r(x)(x-x()(x X)/(X)=g/(x)(x-Xo)(x X 1)又|(x-X o)(x-X|)|w；(x-X o)+a -x)=-(X I-x0)2=；(j)2max|/(x)|-a)2 max|/ff(x)|.axb 11 8 幼6.在-4 V x4上给出/(x)=e，的等距节点函数表，若用二次插值求e*的近似值，要使截断误差不超过10M，问使用函数表的步长h应取多少？解：若插值节点为王_”王和毛+|，则分段二次插
18、值多项式的插值余项为&(x)=不/e)(x )(x%)(x -X,.+1)火2 )|，(x -X-)(x -X,)(x -X,.+1)ma x|/w(x)|设步长为h,即=x h,xM=xi+h:.Rx)-e4-h3 e4h1-1 6 3G 2 7若截断误差不超过1 0 ,则|2W|i o-6.-.eV 1 02 7/.h 0.006 5.7.若”=2 ,求 心 及b”,解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。K =2 ”=(-炉 先=(2-D4Z,=2 1 _ 1色.=(E2 _ E2)4%I=(E)4(-D4X,=E-2 yn yn-2rn-28.如 果/(x)是m次多项式，记V
19、(x)=/(x +/z)/(x),证 明/(x)的k阶差分/(x)(OWA W?)是m k次多项式，并且AM+i/OOnO(/为正整数)。解：函数/(x)的2”展式为f)=x)+r 3 仆诉+)+岛/吸加“其中 Je(x,x+/?)又/(x)是次数为机的多项式 尸)=。Af(x)=/(X +/i)-y(x)=f M h+!_T(x)2 +-+f(m)(x)A2 m l.g(x)为2 1阶多项式A2/(x)=A(AfW)乂/口)为 机-2阶多项式依此过程递推，得K/(x)是机-左次多项式A(x)是常数.当/为正整数时，!(x)=O9.证明(&)=力公W+取+/证明M f kgk)=f k+igk
20、+f kgk=f k+SM-f k8k+f k8k+f k8k=SM(A+I-f j +f k(Sk+i 8k)=g z/+f i A g k=.%+gnM得证,一!10.证明=f 8-f g o-E g k+Mk=0k=0证明：由上题结论可知力 坳=(4)-gnMk=0n-1=Z(/)-g +i 颂)k=0=(力gJ-g*+Mk=0 k=0(f kgk)=f k+l gk+l-f kgk；$(&)k=0=(/g -/o g o)+(&g 2 一/g)+(力g 一 l g-l)=f n8n f()8o，一！E f Z k=f“g n-f o g o-E g k+N kk=0J c=O得证。i
21、i .证 明 工 1 力=,一%J=o证明 A2y.=(5-旬)j=0 j=0=(%)+(%-A X)+(”一 AX.-i)=/“一%得证。1 2 .若/(x)=al)+alx+-+al l_lxl+a x 有”个不同实根%,马,x”,白 x*(0,0k n-2;证明：,占/(Xj)。4 =-1证明：、f(x)有个不同实根国,尤2,X且 f(x)=a0+alx+-+a“_ i x i +anxn./(%)=an(x-x,)(x-x2)-(x-x)令 七(x)=(x 一 再)(x 一 )(x x“)n k kYK n Y则白 r(Xj)而 式。)=。_ 苫2)(一曰一。一苍,)+。一芯)。-%3
22、)一。一乙)+(%-%)(X-X2)-(X-Xn_ 1)”Xj)=(Xj-X|)(Xj _ 4)(Xj -Xj T)(Xj -Xj+J(Xj -x“)令 g(x)=x*,n xkg X，X2,=则 g X,X2,x“=fW Xk J又。下 入=g X，X2,X,1月/(Xj)a“9 x：Q,Ok (Xj -x)-c(t _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)=0(Xj Xo)(Xj -Xy_ 1)(x.-xj+i)(勺-x)=(/%,王,x“得证。./(x)=/(x)+g(x)
23、y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/(x，)+g(W)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _占(Xj 尤o )一(勺-Xj _ 1 )(Xj Xj+I)(勺 x“)y_ 0_)白(Xj Xo)(Xj -Xj _|)(Xj _ X*)(Xj -x)+y-2-)尸)(x,-x0)-(xy-Xj T)(Xj _X,+I)(Xj _x“)=fx0，-，xn+gx0,-,xn.得证。1 4./()=/+/+3+1,求产2 ,2 一,2 7及尸2 ,2、2 8。f t?：v/(x)=x7+x4+3 x +l若 Xj =2 ,i =0,1,-,8心)则/1%,
24、石,x“=n!乎aI了%,玉,闻=勺=01 5.证明两点三次埃尔米特插值余项是R3M =/(4,OX-X,)2(X-X,+1)2/4!,G ,王小)解：若XWX,XJ,且插值多项式满足条件/)=尤。既/)=广 )插值余项为R(x)=/(x)-3(x)由插值条件可知R(4)=R(k J =0且 RU）=R（4M）=0R(x)可写成R(x)=g(x)(x xj2(x x*+I)2其中g(x)是关于X的待定函数，现把x看成 XA，X/+J上的一个固定点，作函数阿=%)-%-g(x)-xk)t-xk+l)2根据余项性质，有夕心)=0,夕(+)=09(x)=/(x)-%(x)-g(x)(x-xJ 2%=
25、/(X)3(X)-R(X)=0(p(t)=(t)-一 g(x)2(f-x,)(Z-x,+1)2+2(Z-xt+1)(/-x,)2(pxk)=0由罗尔定理可知，存在Je(x,x)和Je(x,x+),使”&)=0 2)=0即夕(X)在X,X/+J上有四个互异零点。根据罗尔定理，夕 。)在(f)的两个零点间至少有一个零点，故夕(f)在(,xM)内至少有三个互异零点，依此类推，“4)在(X*,七华)内至少有一个零点。记为 qe(x，4+1)使=-4)c)_34)4!g(x)=0又 =0f(4).g(x)=/，会 人 加)其中J依赖于XR(x)/(94!(x-XjJ-Cx xt+1)2分段三次埃尔米特插
26、值时，若节点为乙也=0,1,），设步长为力，即乙=X。+妫,=0,1,，在小区间 玉,4+J上f 记)R(x)=4!(x_xj(x_x*+)-|R(X)|=/倒(X f.)2(X_K)2=5 3-4)2(加 一%)2加 鬻 尸)国匕f二)2 2max|/2x)|4!2 ax劲 T I=x-!-/?4 max|/(4)(x)|4!2.I=-max|/(4)(x)|384 axb 16.求 一 个 次 数 不高于4次的多项式P(x),使 它 满 足P(0)=P(0)=0,P(l)=P1l)=0,尸 =0解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式%=0,X=1%二，%=1m()=0,m=11 1
27、%(x)=Z y)ai(X)+Z 叫再。)j=0 j=Oa0(x)=(l-2 )(土 斗 2%0一再 x0-x1=(l+2x)(x-l)2a,(x)=(l-2 忙 五)(土4 2X-xo Xj x0=(3-2x)x20(x)=x(x-l)2/?,(%)=(x-l)x2H3。)=(3 2x)x+(x l)x?x+2无2设 P(x)=3(X)+A(X X o)2(X-x j 2其中，A为待定常数 p =1，P(x)=-X3+2x2+Ax2(x-1)24从而 P(x)=L f(x 3)241 7.设/(x)=1/(1 +x?),在-5 W x 4 5上取=1 0,按 等 距 节 点 求 分 段 线
28、性 插 值 函 数,计算各节点间中点处的4。)与/(x)值，并估计误差。解：若=5,X|Q 5则步长力=1,%.=xQ+ihJ=0,1,-,1 0在小区间 苍，玉J上，分段线性插值函数为/、X X.,、X -X /、4(X)=-f(菁)+-f(西+1)X j x*xM-xt/、1 /、1=(苍+1-X)-一F +(X -X，)：-21 +X j l +xM各节点间中点处的4（X）与/（X）的值为当*=4.5时,当工=3.5时,当=2.5时,当了=1.5时,/(x)=0.04 71,(x)=0.04 86/*)=0.075 5/(x)=0.0794/(x)=0.1 3 79/(x)=0.1 5
29、00/(x)=0.3 077,/“(X)=0.3 5 00当 x =0.5 时;/(x)=0.8000,(x)=0.75 00误差m a x|/(x)-Zft(x)|m a x|r()8 -5SX 5-.fMf(x)r”(x)1I-71 +x 2.x;(l+f)2,6万2 2I )?24x-24x3(1+x2)4又：/(x)令 f(x)=O得 得(x)的驻点为玉2 =1和/=0/(X|,2)-万 J (*3)=-2.m a x|/(x)-/,(x)|-1 8.求/(x)=x 2在也,加上分段线性插值函数/.(x),并估计误差。解：在 区 间 上，X。=a,x =h,hi=七+-毛/=0,1,一
30、 1,h=m a x h.v/(x)=x2函数/(x)在小区间值,西 十J上分段线性插值函数为升一为+1=7-x j(X j+|-x)+X j+；(x-X j)4误差为max|/(x)-/(x)|XjWxWXj+i/(x)=/18啜|小)|h-:.f(x)=2x,f(x)=2m a x|/(x)-/,(x)|a x(1+2 生2)/(j J玉+1 Xi%Xi+(土 当 L)2(xf)r a)七一x川+(七%一)2(X-X*)&菁了4=T y(%七+i)(4+2x 2%)%X 4+-(1 一%)2(4 _2工 +2W+)厚+2 J 一 七+1)之(一 西)hiAY 3+-(%苍)2 a _%)误
31、差为f(x)-Ih(x)=|/(同(f)2(X f 了4 J m a x|/倒&I”24公 x助 2又./()=/.J(4)(X)=4!=2 47/.m ax|/(x)-/.(x)|max 一a助b 1 04MI 16 162 0.给定数 据表如下：为0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：S(0.25)=1.0000,S(0.53)=0.6868;(2)S(0.25)=S(0.53)=0.解：%=%一九o=0.05一%=0。9h2=x3-x2=0.06h3=x4-x3=0.08/?.,h.*.*从=
32、:-,乙=-nh j-rhi j J nhj-uh j5 3 3 从=/4 2=丁3=产，4=19 2 44=荷，4=w，4=,，4 =1f x0,xj=/(%)二/=0.9540占一。/xI5x2=0.8533/X2,X3 =0.7 7 1 7/x3,x4=0.7150 5 (%)=l.OOOO,S (z)=0.6 86 8(小，-7 0 )=-5.5 20 0%4=6d-,=64=6/L Z 卜 x=-4.31 5 7%+4/匡闯一/石,=_3.26 4 04+2/卜闾-/民闻=_2.4 30 0h2+人34=?（力-/卜 闾）=-2.1 1 5 03由此得矩阵形式的方程组为/1 1M。求
33、解此方程组得-x金 k!十(一1)K D (D +1 ，t r (J)!哆 窗 卜 5=20（1严）=x x+（i-x）r 13.证明函数l,x,，/线 性 无 关证明：若 为+atx+a2x2 4-F anx=O,V x e R分别取x*（A =0,l,2,i,），对上式两端在 0,1 上作带权夕（无）三1 的内积,得K+T 2raJ 1.此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异,只有零解a=0 o函数l,x,x 线性无关。4。计算下列函数/关于C 0,l 的|,|加与|/|2：(l)/(x)=(x-l)3,x e 0,l x)L，(3)f(x)=xm(l-x)n,m 与 n 为正整
34、数，(4)X)=(X+1)5解：若/(x)=(x-l)3,x w 0,l,则r(x)=3(1)2 NO/(x)=(x 1)3 在(0,1)内单调递增ML=sl/w|=m a x|/(0)|,|/(l)|)=m a x 0,1 =1ML=sl/(x)|=m a x|/(0)|,|/(l)|=m a x 0,1 =18 2=(2 1)户1 7 1 !.=-(l-x)7 27 0=也(2)若/(x)=x g,x e O,l,则IK=S|/(x)|=1ia=a(x)g=2卜 一；)公2 2-4l i/i l2=(p2(x)(3)若/(x)=xm(l-Xy,m与n为正整数当x e 0,l 时,/(x)N
35、0fx)=mxm-(1-x)n+xmn(l-x)-1(-1)mIT!当X(0,)时,广(%)0n+mm /(x)在(0,)内单调递减n+tn/n当不(-,i)时,r a)on+rnm/。)在(-,1)内单调递减。n+mx e(,i)r a)0/(x)=1 0(x +l)9 e-x +(x +l)i (-二)=(x +l)VA(9-x)0/(x)在 0,1 内单调递减。口 儿=处 图 刈=m a x|/(0)|,|/(l)|_ 2 el l/l =曲=f (1+1)/7 以=(x +l)5 ；+j 10(x +l)9e-A J x=5-1 2e|儿=卜+1)2/加5。证明Q g|z M H|g|
36、l证明：l l/l l=|(/-g)+g|g|6o 对/(x),g(x)c C l a,切,定义(九 g)=f/(x)g (x)d x(/，g)=f r(x)g (x W x +/(a)g(a)问它们是否构成内积。解：令/(x)三。(C 为常数，且 C/0)贝 ij/(x)=0这与当且仅当/三0时，(/J)=0矛盾.不 能 构 成 加 上 的 内 积。若(/,g)=f/(x)g (x g +/g(a),则(g J)=f g(x)f(x)dx+g(a)f(a)=(g),V a e K(a f,g)=a f(x)g(x)dx+a f(a)g(a)=a f/(x)g (x W x +/(a)g(a)
37、=a(f g)he Ca,b,(/+g,)=f(x)+g(x)(x)J x +(a)g(a)(a)=f(x)hXx)dx+f(a)h(a)+f(x)h(x)dx+g(a)h(a)=(f,h)+(h,g)(/J)=f r(x)2J x +/2(a)0若(/J)=0,则(x)三 O J(a)=O.,./W =0即当且仅当/=0时，(/,/)=0.故可以构成C t。/上.的内积。7。令7；(x)=7；(2x l),x eO,l,试证 窘 是在0,1上带权p(x)=丁】一 的正交yjx x2多项式，并求 4*(x),7 f(x),n*(x),7；*(x).解：若Z：(x)=7；(2x-l),x 0,l
38、,则k：(xR；(x)P(xMx=Tn(2x-l)Tm(2x-1)-j=dx令f=(2x l),则fw 1,1,且x=t L 故2/(x)7；：(x)-xV 2=r下FQ),7+h又切比雪夫多项式 或*(幻 在区间 0,1上带权p(x)=-=正交，且V i-x21以“忘o,。机71 八，二加W ()27r,n=m=0 (X)是在 0,1上带权p(x)=,1 的正交多项式。yjx-X1又 Z(x)=l,xe l,l/.7；*(x)=7；(2x-l)=l,xe0,lv7；(x)=x,xe-l,l：.M*(x)=7；(2x-1)=2x-1,x e 0,1,/T2(X)-2x2-1,XG-1,1./(
39、x)=/(2 x-l)=2(2 1)2-=8x2-8 x-l,x e 0,1,/Tx)-4X3-3X,X G-1,1.Z(x)=7；(2x-1)=4(2 1)3-3(2 1)=3 2/48x2+18x-l,xe0,l8。对权函数夕(x)=1 /,区间J i1 ,试求首项系数为1的正交多项式”(x),=0,l,2,3.解：若P(x)=l /，则区间 1,1上内积为(/，g)=f J(x)g(x)p(x W x定义0 o(x)=l,则%+1(X)=(X%)%(X)4外T(X)其中an=(x%(x),(pn(x)/(/(x),%(x)B“=(x),(x)/(%_(x),(p“.(x)=(x/)/(l
40、,l)1 x(l +x2)J x(l +x2)i/x=0(P(x)=Xa,=(x2,x)/(x,x)f/(l +f 心f产2(1+2心=00=(x,x)/(l,l)jlx2(l +x2)J x(l +x2)J x16=11=2-8 -53,、2 2 6(x)=x 2 2 2、2 2 2 2、X,x )/(%,x )5 5 5 5+x2)J x+x2)dx2?A =(-9X2-)/(X,X)f J/1)(工 2 -1)(1+/世,(1 +12世13 6525=1 716-7 015.一二2x=3 5 7 0 149。试 证 明 由 教 材 式（2.14）给 出 的 第 二 类 切 比 雪 夫 多
41、 项 式 族 “（X）是 0,1 上带权P（x）=V l-x2的正交多项式。证明：若 u.。）sin(/?+l)arccosA-VT7 x=c o s 6,可得.sin(m+1)arccosxsin(n+1)arccosx ,=-1-dx(osin(/n+l)sin(H +l)IZ1=-/-de“V l-cos2=sin(/n+l)sin(+)0d0当加=时，sin2(/n+)6de=l-cos2(ffl+l)力(n+1)(如1)2 sing+1)例 sin(相 +1)例，/。n+l-(p)2 sin(n+1)网 sin(m+)9d0=0又，,加W，故(Iy，(sin(n+l)sin(?7+)
42、6d0=0得证。10。证明切比雪夫多项式1(x)满足微分方程(1 X2)7；(X)X7；：(X)+27；(X)=0证明：切比雪夫多项式为Tn(x)-cos(narccosx),|xl 1从而有T(x)=-s i n(na r c c o s x)n(/)V l-x2=/s i n(a r c c o s x)v l-x2T：(x)=-y s i n(a r c c o s x)c o s(a r c c o s x)(1 7)5 I.-.(l-x2)T：(x)-xT；(x)+n2Tn(x)=s i n(及 a r c c o s x)-n2 c o s(n a r c c o s x)V l-
43、x2一 n x,s i.n(.”a r c c o s x).+n2 c o s(/i a r c c o s x)、=0得证。IK假设/(x)在 a,b 上连续，求/(x)的零次最佳一致逼近多项式？解：./0)在闭区间 a,切 上连续存 在 须 6 向，使/(x j =m i n/(x),axb/(x2)=m a x/(x),ax幼取=他 区)+/。2)则%,和 夫 是口，句上的2 个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知P 为/(%)的零次最佳一致逼近多项式。12o 选取常数a,使 max*-达到极小，又问这个解是否唯一？解：令/(x)=x3-ezx则/(X)在 T,l 上为奇函数
44、m a x%3-a x0 xl =m a x x3-a x-区田 又/(x)的最高次项系数为1,且为3次多项式。/.g(x)=n(x)与0的偏差最小。1 36y3 (x)=7 3(%)=X 3从而有a =-4T T13。求 x)=s i nx在0,耳上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：7 T*:f(x)=s i n光,x e 0,f x)=c o s x J(x)=-s i nx 0 (a)_ 2a 7 ，b-a re2c o s x2=,712x2-a r c c o s 0.8 8 0 6971/(X2)=0.77118_/(a)+/(x2)f(b)-f(a)a +x2ao 7 2 b
45、-a 2=0.10 526于是得/(x)的最佳一次逼近多项式为2q(x)=0.10 526 Hx7T即2 TCs i n x 0.10 526+x,0 x 04 =/S)-f=e_Tb-ae-1x2=l n(e-1)/(x2)=eX 2=e-l_ f(a)+f(x2)f(b)-f(a)a+x2%=-=-；-2 b-a 2l +(e-l)2一(e l)I n(e-l)2=；l n(e-l)于是得/(x)的最佳次逼近多项式为e i7 (x)=-+(e-l)r x-l n(e-l)=(e l)x +；e (e-1)l n(e-1)15。求/(x)=X4+3X3-1 在区间0,1上的三次最佳一致逼近多
46、项式。解：v/(x)=x4+3 x3-l,x e0,l 令 f=2(x 3,贝1,12口 1 1且工=一，+一2 2=j +夕 +3($+g)3 Tq(/+1 0/+24/2 22 9)令 g )=16/(。,则 g=?+1 0?+24 产 +22f 9若 g(f)为区间-1,1 上的最佳三次逼近多项式耳 应满足m a x|g Q)-4 (=m i n当 g(f)P；(t)=士 心 =-8/+1)2 o时,多 项 式 g -耳与零偏差最小，故2 =g(，)-97 3=1 0r+2 5/+2 2一 上8进而，/(x)的三次最佳一致逼近多项式为居*),则/(x)的三次最佳一致逼近多项式1 6为1
47、7 3P*=一 1 0(2 x -1)3 +2 5(2 x -1)2 +2 2(2 x -1)1 6 8 5 2 1 1 2 9=5x x+-X-4 4 1 2 81 6。/(x)=|x|,在-1,1 上求关于=,%。1,2,一 的最佳平方逼近多项式.解：v /(x)=|x|,x e -l,l 若(/，g)=f J(x)g(x Wx旦(f)0 =l,(p X 9(P X，则帆1；=2，闷；=：，帔|：=1，（九%）=l，（f，0i）=g，（f，02）=g，2 2（夕0，。|）=1，（。0，。2）=1（。1，。2）=,，则法方程组为2 2 25 7 9,解得a0=0.1 1 7 1 8 7 5U
48、 3)从而解得,0=0.1 8 7 8%=1.6 2 4 4故/(x)关于=sp a nl,x的最佳平方逼近多项式为S*(x)=aQ+%x=0.1 8 7 8+1.6 2 4 4%(3),/(x)=c o s7rx,x e 0,l 若(/，g)=f/(x)g(x g且 00=1,0=x,则有帆 l；=l l 湘=；/、1(%M)=5，(/，00)=0,(/用)=-则法方程组为f l 1 1吓。、1 1 Kai(2 3)从而解得同=1.2 1 5 9 a,=-0.2 4 3 1 771r0、故/(x)关于=sp a n,x的最佳平方逼近多项式为S (x)=aQ+atx=1.2 1 5 9 0.2
49、 4 3 1 7 x(4),/f(x)=I n X,XG 1,2 若(/，g)=f/O)g(x)d x且e o =1,例=x,则有同;=1 湘=g,/、3(外用)=5，3(/,%)=2 1 n 2-l,(/,)=2 1 n 2-,则法方程组为(八1 -z x f 2 1 n 2-l 2|0=3 7 a.)2 1 n 2-(2 3)I 4 1从而解得a0=0.6 3 7 1 =0.6 8 2 2故/(x)关于=sp a n 1,x最佳平方逼近多项式为5 (x)=a0+q x=-0.6 3 7 1 +0.6 8 2 2%7 T1 8 o /(x)=si n|x,在-1,1 上按勒让德多项式展开求三
50、次最佳平方逼近多项式。解：T T,/(%)=si n G -1,1 按勒让德多项式 6。)，6(),鸟(),鸟(灯 展开(/(x),(x)=j si n y =-CO S-X-1=01r7t 8x si n x c/x =1 2 71(X)，E(X)=.2g)sinxdx=02(/(x)，6(x)=,5 3 IT|(-x3-x)si n x J x则4 8(1 一1 0)7l4a；=(/(x)，4*)/2 =01 2a：=3(/(x)/(x)/2 =rna；=5(/(x)/(x)/2 =0*1 6 8(3 1 0)%=7(7(X)，6(X)/2 =-71从而/(X)的三次最佳平方逼近多项式为S