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1、数列 一、等差数列 题型一、等差数列泄义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为 一%=d(n n 2)或 an-an=d(n 1)。例：等差数列 d”=2n-1,an-a”-=题型二、等差数列的通项公式：吗=4+(“一1)：说明：等差数列(通常可称为A P数列)的单调性：0为递增数列，=0为常数列，dvO为递减数 列。例：1.已知等差数列匕中，心+5=16,4=1,则如等于()A15 B 30 C 31 D 64 2.a是首项=1,公差d=3的等差数列，如果务=2005
2、,则序号等于(A)667(B)668(C)669(D)670 3.等差数列an=2n-,bn=-2n+1,则心为 _ bn为 _ (填递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：赵义：如果d,A,方成等差数列，那么A叫做4与b的等差中项。英中A=2 a,4,“成等差数列=即：2an+i=an+an+2(2an=an_m+anm)例：1.设勺是公差为正数的等差数列，若4+。2+他=15，a2a5=80,则an+ai2+al3=()A.120 B.105 C.90 D.75 2.设数列%是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()A.1 B.2 C.4 D.8
3、题型四、等差数列的性质：(1)在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项：(2)在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列中，对任意加，a=am+(n-m)d,=乞匚仏(加工八)：一 m(4)在等差数列-中，若m 9 n,p,q 已“且?n+M=p+q,则am+a=ap+aq；题型五、等差数列的前和的求和公式：$”=空弓2=呵+巴字d 如no 2 2 2 2(S=An2+Bn(A,B为常数)=“”是等差数列)递推公式：$厂色汕=空匕4 2 2 例：1如果等差数列an中,a3+a4+a5=29那么勺+吗=(A)14(B)21(C)28(D)35 2.设S”是等
4、差数列%的前n项和，已知。2=3,q=ll，则S?等于()A13 B35 C49 D63 3.已知“”数列是等差数列，6/10=10，其前10项的和S10=70,则其公差等于()2 112 A.-B.-C.-D.-3 3 3 3 4.在等差数列绻中，勺+=10,则你的值为()(A)5(B)6(C)8(D)10 5.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 6已知等差数列“”的前“项和为S”，若=21,则a2+a5+afi+au=7.设等差数列匕的前n项和为若色=5色则才=8.设等差数列%的
5、前n项和为S”,若Sg=72,则他+他+為二 9.设等差数列%的前n项和为几，若绳=眄=12,则a”=10.已知数列仏是等差数列，妒1,M+-+2：o=100.,则砧 S 11.设/为等差数列，为数列込的前刀项和，已知S=7,5；s=75.7；为数列丄的前项 n 和，求 J 12等差数列仏的前项和记为已知绚。=30,如=50求通项心；若S”二242,求 13 在等差数列勺中，(1)已知S严4&SI2=16&求和；(2)已知=10,5=5,求级和S叮(3)已知 a3+a15=40,求 题型六对于一个等差数列：s（1）若项数为偶数，设共有2项，则S偶一 3奇=/：=（2）若项数为奇数，设共有2一1
6、项，则S奇一 S偶=匕=如：=上_ S-1 题型七对与一个等差数列，SSgS,Sb仍成等差数列。例：1 等差数列&的前也项和为30,前2m项和为100,则它的前3”项和为（）A.130 B.170 C.210 2.个等差数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为 _ 3.已知等差数列心的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为 4.设S”为等差数列%的前n项和,54=14,510-S7=30,则S厂 S 1 s 5.设，是等差数列&的前刀项和，若孑=一，则严=人3 Sn K 3 D 1 c 1 n 1 A B C D 10 3 8 9 题型八.判断或证明一个数列是等差
7、数列的方法:定义法：（常数）（応 ）=是等差数列 中项法：=心+2 5 w M）=仏是等差数列 通项公式法：J=kn+b 伙上为常数）亠仏是等差数列 前项和公式法：=A/2+Bn（A,B为常数）=仏是等差数列 例：1已知数列满足色一=2，则数列为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列的通项为=2 +5，则数列”为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3已知一个数列%的前n项和sn=2n2+4f则数列陽为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列心
8、的前n项和Sn=2/r,则数列“”为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列心满足%2绻+|+a=0,则数列a为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.设9是数列/的前门项和，且鲁/,则UJ是（）A等比数列，但不是等差数列 B等差数列，但不是等比数列 C等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 7数列仏满足 6 二8,a4=2,且a”？_2+i+=0(n e)求数列仏的通项公式:题型九数列最值（1）a 0,dvO时，S”有最大值：qvO,d0时，S祥有最小值：D.260（2）S”
9、最值的求法：若已知S”，S“的最值可求二次函数Scur+bn的最值：可用二次函数最值的求法（neN+）：或者求出中的正、负分界项，即：an 0 an,则下列结论错误的是（）A.dVO B.“7=0 C.S9S5 D.S6与 S7均为 S“的最大值 2.等差数列%中，勺0,59=S12,则前 _ 项的和最大。3.已知数列仏的通项一、竺 5eN），则数列仏的前30项中最大项和最小项分別是 n-y/99 4.设等差数列仏的前川项和为S“，已知T2,几0,S13 0,公差dvO,若Slo=O,求数列前“项和的最大值.7.在等差数列知中，=25,5I7=S9,求S”的最大值.题型十利用曾=2)1 设数列
10、qr的前n项和S”=nJ则仓的值为()(A)15 (B)16(0 49(D)64 2.已知数列的前刃项和S”=n2-4n+l,则 3数列的前项和=n2+l.(1)试写出数列的前5项；(2)数列是等差数列吗？(3)你能写 出数列的通项公式吗?4.已知数列中，q=3,前和 S”=g(n+1)(。”+1)-1 求证：数列仏是等差数列 求数列仏的通项公式 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母g表示 SHO),即：+1:an=q(q0)o 一、递推关系与通项公式 递推关系：n
11、+i=aq 通项公式：an-ax qnl 推广：an-am-qn,n 1.等比数列&中，走=8,気=64,则公比q为()(A)2(B)3(C)4(D)8 2.在各项都为正数的等比数列%中，首项=3,前三项和为21,则 3+勺+。5=()A 33 B 72 C 84 D 189 3.在等比数列勺中，q=仙=2,则=4._ 在等比数列 中，如=12,g=迈，则坷9=5.在等比数列仏中，a2=-2,5=54,则=加 i(q=1)Sn=an为等比数列：(2)中项法：=厲2(工)=%为等比数列：（3）通项公式法：5=kq”伙4为常数）亠仏为等比数列：（4）前项和法：S”=k（l q”）为常数）=为等比数
12、列。S”=k-kq（k,q为常数）=%为等比数列。例：1.已知数列仗”的通项为an=T,则数列为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列满足d”=d”q+2 S”H），则数列为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列心）的前n项和s=2-2n+,则数列陽为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 S.（“=1）5.利用a=1 求通项.U-Sn.（n2）例：1.数列&的前m项和为且比二1,a”产丄S”，沪1,2,3,，求a”a,的值及数列&的 通项公式.2.已知数列勺的首项=5,前畀项和为S”，且S=StJ+n+5（neN4）,证明数列an+1是等比数列.