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1、学习必备 精品知识点 数列 一、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。例：等差数列12 nan，1nnaa 题型二、等差数列的通项公式：1(1)naand ；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d 为常数列，0d 为递减数列。例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A15 B 30 C 31 D 64 2.na是首项11a，公差3d 的等
2、差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差数列12,12nbnann，则na为 nb为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abA a，A，b成等差数列2abA 即：212nnnaaa （mnmnnaaa2）例：1设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa（）A120 B105 C90 D75 2.设数列na是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（）A1 B.2 C
3、.4 D.8 题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanm d，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq ，则mnpqaaaa；题型五、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn 例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127.aa
4、a 学习必备 精品知识点（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，则7S等于()A13 B35 C49 D 63 3.已知na数列是等差数列，1010a，其前 10 项的和7010S，则其公差d等于()3132BA C.31 D.32 4.在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（）（A）5 （B）6 （C）8 （D）10 5.若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 6.已知等差数列na的前n项和为nS
5、，若118521221aaaaS，则 7.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS 8.设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=9.设等差数列na的前 n 项和为ns,若6312as,则na 10已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.，则bn=11设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列nSn的前n项和，求Tn。12.等差数列na的前n项和记为nS，已知50302010aa，求通项na；若nS=242，求n 13.在等差数列na中，（1）已知812148,168,SSad求 和；（2）已知65881
6、0,5,aSaS 求 和；(3)已知3151740,aaS求 题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则S偶S奇nd；1nnSaSa奇偶；例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点（2）若项数为奇数，设共有21n项，则S奇S偶naa中；1SnSn奇偶。题型七.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.13
7、0 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为 。3已知等差数列na的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5设Sn是等差数列an的前n项和，若36SS13，则612SS A310 B13 C18 D19 题型八判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列 中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列 通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列 前n项和公式法：)
8、,(2为常数BABnAnSnna是等差数列 例：1.已知数列na满足21nnaa，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na的通项为52 nan，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列na的前 n 项和422 nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 4.已知一个数列na的前 n 项和22nsn，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列
9、na满足0212nnnaaa，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 7.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）求数列na的通项公式；题型九.数列最值（1）10a，0d 时，nS有最大值；10a，0d 时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常
10、可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点 可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。1.设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 2等差数列na中，12910SSa，则前 项的和最大。3已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前 30 项中最
11、大项和最小项分别是 4设等差数列na的前n项和为nS，已知 001213123SSa，求出公差d的范围，指出1221SSS，中哪一个值最大，并说明理由。5.已知na是等差数列，其中131a，公差8d 。（1）数列na从哪一项开始小于 0？（2）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值 6.已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前n项和的最大值 7.在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值 题型十.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 1.设数列na的前 n 项和2nSn，则8a的值为（）（A）15 (B)16 (C)49 （D）6
12、4 例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点 2已知数列na的前n项和，142nnSn则 3.数列na的前n项和21nSn（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列na的通项公式吗？4.已知数列na中，31a前n和1)1)(1(21nnanS 求证：数列na是等差数列 求数列na的通项公式 等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就
13、叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q。一、递推关系与通项公式 111q nn mnnnnmaaaaqaaq递推关系：通项公式：推广：1.等比数列an中，a28，a164，则公比 q 为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 2.在各项都为正数的等比数列na中，首项13a，前三项和为 21，则345aaa（）A 33 B 72 C 84 D 189 3.在等比数列na中,2,41 qa，则na 4.在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a 5.在等比数列na中，22a，545a，则8a=二、等比中项：若三个数cba,成等
14、比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.1.23和23的等比中项为()()1A ()1B ()1C ()2D 2.设na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则na的前n项和nS=（）例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点 A2744nn B2533nn C2324nn D2nn 三、等比数列的基本性质，1.（1）qpnmaaaaqpnm，则若),(
15、Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的常数列.1在等比数列na中,1a和10a是方程22510 xx 的两个根,则47aa()5()2A 2()2B 1()2C 1()2D 2.等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa 则（）A12 B10 C8 D2+3log 5 3.已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa（）A.(21)n
16、n B.2(1)n C.2n D.2(1)n 4.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=5.在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，求na 若nnnTaaaT求,lglglg21 四、等比数列的前 n 项和，)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 例：1设4710310()22222()nf nnN ，则()f n等于（）A2(81)7n B12(81)7n C32(81)7n D42(81)7n 2.已知等比数列na的首相51a，公比2q，则其前 n 项和nS 例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等
17、差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点 3.已知等比数列na的首相51a，公比21q，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项和nS 4设等比数列na的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值为 .5.设等比数列na的前 n 项和为nS，已,62a30631 aa，求na和nS 6设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；五.等比数列的前 n 项和的性质 若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS
18、23成等比数列.1 设等比数列 na的前 n 项和为nS，若 63SS=3，则 69SS=()A.2 B.73 C.83 D.3 2.一个等比数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为（）A83 B108 C75 D63 3.已知数列na是等比数列，且mmmSSS323010，则，4.等比数列的判定法（1）定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；（2）中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；（3）通项公式法：为常数）qkqkann,(na为等比数列；（4）前n项和法：为常数）（qkqkSnn,)1(na为等比数列。为常数）（qkkqkSnn,na为等比
19、数列。例：1.已知数列na的通项为nna2，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列na满足)0(221nnnnaaaa，则数列na为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列na的前 n 项和1n22ns，则数列na为（）例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差学习必备 精品知识点 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 2.已知数列na的首项15,a 前n项和为nS，且*15()nnSSnnN，证明数列1na 是等比数列 例等差数列题型二等差数列的通项公式说明等差数列通常可称为数列的数列或定义如果成等差数列那么叫做与的等差中项其中成等差数列例设它相邻二项的等差中项在等差数列中相隔等距离的项组成的数列是等差