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1、 根本不等式知识点 1、不等式的根本性质 对称性abba 传递性,ab bcac 可加性abacbc 同向可加性dbcadcba,异向可减性dbcadcba,可积性bcaccba0,bcaccba0,同向正数可乘性0,0abcdacbd 异向正数可除性0,0ababcdcd 平方法那么0(,1)nnababnNn 且 开方法那么0(,1)nnabab nNn 且 倒数法那么babababa110;110 2、几个重要不等式 222abab abR，,当且仅当ab时取号.变形公式：22.2abab 根本不等式 2abab abR，,当且仅当ab时取到等号.变形公式：2abab 2.2abab 用
2、根本不等式求最值时积定和最小，和定积最大，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等.三个正数的算术几何平均不等式33abcabc()abcR、当且仅当abc 时取到等号.222abcabbcca abR ，当且仅当abc 时取到等号.3333(0,0,0)abcabc abc 当且仅当abc 时取到等号.0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 0,2baabab 若则当仅当 a=b 时取等号 banbnamambab1，其中000)abmn，规律：小于 1 同加那么变大，大于 1 同加那么变小.220;axaxaxaxa 当时，或 22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab
3、3、几个著名不等式 平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号.即调和平均几何平均算术平均平方平均.变形公式：222;22ababab 222().2abab 幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan 二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR 二维形式的柯西不等式：22222()()()(,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：22222221231231 12 23 3()()().aaabbba ba ba b 一般形式的柯
4、西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb 21 12 2(.).nna ba ba b 向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，那么,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.排序不等式排序原理：设1212.,.nnaaa bbb 为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，那么12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c 1 122.nna ba ba b 反序和乱序和顺序和，当且仅当12.naaa 或12.nbbb 时，反序和等于顺序和.琴生不等式:特例:凸函数、凹函数 假设定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意
5、两点1212,(),x xxx有 12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或那么称 f(x)为凸或凹函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比拟法作差，作商法、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa 将分子或分母放大缩小，如211,(1)kk k 211,(1)kk k 2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式20(0)axbxc 或 2(0,40)abac 解
6、集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿奇穿偶切，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x “或”时同理 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0()(0)()f xf
7、xa af xa 2()0()(0)()f xf xa af xa 2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或 2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x 当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法 当1a 时,()0log()log()()
8、0()()aaf xf xg xg xf xg x 当01a 时,()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x 规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa 平方法：22()()()().f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x ()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x或 规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法：规律：找
9、零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法 解形如20axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题 不等式20axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a 时 0,0;bc 当0a 时00.a 不等式20axbxc 的解集是全体实数或恒成立的条件是：当0a 时0,0;bc 当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa 15、线性规划问题 常见的目标函数的类型：“截距型：;zAxBy“斜率型：yzx或;ybzxa“距离型：22zxy或22;zxy 22()()zxayb 或22()().zxayb 在求该“三型的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.