《中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第4章课后习题详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第4章课后习题详解.pdf（65页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高 等 数 学 一 第 4章 课 后 习 题 详 解 习 题 4-11.求 下 列 不 定 积 分：知 识 点：直 接 积 分 法 的 练 习 求 不 定 积 分 的 基 本 方 法。思 路 分 析：利 用 不 定 积 分 的 运 算 性 质 和 基 本 积 分 公 式，直 接 求 出 不 定 积 分!思 路:根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。*(3)J+X?dx思 路：根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。解：j(2v+x2 dx=T d x+=p+1 x3+C(4)|V
2、x(x-3)J x思 路:根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。3 1 _ 5 3解：J V x(x-3)J x=k 八 一 3 J/d x=-2一+C(5)f 3+3厂+J x2+l 尤 3工 4+312+1 思 路：观 察 到.-=3x2+后，根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 项，分 别 积 尤 2+1 X2+1分。解:，一 上晨 X2+1j 3/d x+=%3+arctan x+C(6)E K X2 X2+l-l,1思 路:注 意 到=-=1-7,根 据 不 定 枳 分 的 线 性 性 质，将 被
3、 积 函 数 分 项，分 别 积 分。1+X2 1+X2 1+X2解：f X、dx=dx-f 二 t/x=x-arctanx+C.Jl+x2 J Jl+x2注：容 易 看 出 两 题 的 解 题 思 路 是 致 的。般 地，如 果 被 积 函 数 为 个 有 理 的 假 分 式，通 常 先 将 其 分 解 为 一 个 整 式 加 上 或 减 去 一 个 真 分 式 的 形 式，再 分 项 积 分。思 路：分 项 积 分。3722M:-x2-l n l x l-x-2+-x-3+C.4 2 3(8)(-2 一 7=J 1+x2 仄 下 思 路：分 项 积 分。解：(-/2)dx=3 r-dx-2
4、.dx-3arctanx-2 arcsinx+C.J i+x2 Ji+x2 JV i 7(9)思 路：yjxylxy/x=?看 到 J/4 6=/0+=#,直 接 积 分。(10)解:x2(l+x2)d x思 路:裂 项 分 项 积 分。解：f-r-dx-f(，-二 心-d x-二 d x-arctanx+C.Jx2(l+x2)J x2 1+x2 Jx2 Jl+x2 x(H)解:2x i dxex-l d x=J0 坐*=k+l)Jx=+x+C(12)exdx思 路:初 中 数 学 中 有 同 底 数 基 的 乘 法：指 数 不 变，底 数 相 乘。显 然 3/=（父 鼠 解：r 3xexdx
5、=r C3exdx=(3 A+C.J J ln(3e)(13)JcOt2xJx思 路:应 用 三 角 恒 等 式“cot2 X=CSC2 K解：|cot2xJx=j(csc2=-cotx-x+C(14)广 3-5 与 J 3V思 路：被 积 函 数 2 3-53”2135(2=积 分 没 困 难。解：f2-3_52zx=f(2GS i x dx=2x-5+C.J 3、J 3 In2-ln3(15)fc os 2 Xa xJ 2思 路：若 被 积 函 数 为 弦 函 数 的 偶 次 方 时，一 般 地 先 降 幕，再 积 分。初 f 2%fl+COS X,1 1.万 解：cos a-ax=x+s
6、inx+C.J 2 J 2 2 2(16)|-dxJ 1 4-cos 2x思 路:应 用 弦 函 数 的 升 降 塞 公 式，先 升 幕 再 积 分。解：-5-dx=dx=sec2 xdx=tanx+C.Jl+cos2x 2cos2 x 2 J 2,、C cos2x,(17)-d xJ cos x-sin x思 路：不 难，关 键 知 道“cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”解：jCS-dx=f(cos x+sin x)dx=sinx-cos x+C.J cos x-sinx/、广 cos2x,(18)-z-dxJ cos x-sin x思 路：同
7、 上 题 方 法，应 用“cos2x=cos2%-sin2x”，分 项 积 分。解:cos 2x.rcos2 x-sin2 X.r 1 c 1|csc2 xdx-jsec2 xdx=-cot x-tan x+C.田./1 x 11+x 1 _ x 1+x 2思 路:注 意 至!被 积 函 数 J-F J-=-/H/=/v i+-v vi-x V T T 7 VT7 717应 用 公 式(5)即 可。(20)1+cos2 X,-ax1+cos2x思 路:注 意 到 被 枳 函 数 1+COS2 X 14-COS2 X 1 2 1-=-；=sec*x+1+cos 2x 2 cos x 2 2则 积
8、 分 易 得。解:,1+COS X.1 r 2 1 1-ax sec xdx H1+cos 2x-2 J 2tan x 4-x2+C.2、设=arccosx+C,求/(x)。知 识 点：考 查 不 定 积 分(原 函 数)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：直 接 利 用 不 定 积 分 的 性 质 1：f J/(x)d b/(x)即 可。解：等 式 两 边 对 x 求 导 数 得：xf(x)V1-X-x 3、设/(x)的 导 函 数 为 sin x,求/(尤)的 原 函 数 全 体。知 识 点：仍 为 考 查 不 定 积 分(原 函 数)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分
9、 析：连 续 两 次 求 不 定 积 分 即 可。解：由 题 意 可 知，/(x)=JsinxtZr=-cosx+Cj所 以/(x)的 原 函 数 全 体 为：J()cosx+G d 京 一 sinx+Gx+Q。1 9 ex 4、证 明 函 数 一 和 都 是-的 原 函 数 2 chxshx知 识 点：考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：只 需 验 证 即 可。解：,-=e2x,而-(1/)=exshx=exchx=e2xchx-shx dx 2 dx dx 5、曲 线 通 过 点(e2,3),且 在 任 意 点 处 的 切 线 的 斜 率 都
10、 等 于 该 点 的 横 坐 标 的 倒 数，求 此 曲 线 的 方 程。知 识 点：属 于 第 12章 最 简 单 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 初 值 问 题，实 质 仍 为 考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：求 得 曲 线 方 程 的 般 式，然 后 将 点 的 坐 标 带 入 方 程 确 定 具 体 的 方 程 即 可。解：设 曲 线 方 程 为 y=/(x),由 题 意 可 知：-/(%)=-.A/(x)=lnlxl+C；dx x又 点 82,3)在 曲 线 上,适 合 方 程,有 3=ln(e2)+C,；.C=l,所 以
11、曲 线 的 方 程 为/(x)=In I x I+1.6、一 物 体 由 静 止 开 始 运 动，经 f秒 后 的 速 度 是 3产(加/s),问：(1)在 3秒 后 物 体 离 开 出 发 点 的 距 离 是 多 少？(2)物 体 走 完 360米 需 要 多 少 时 间？知 识 点：属 于 最 简 单 的 阶 线 性 微 分 方 程 的 初 值 问 题，实 质 仍 为 考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：求 得 物 体 的 位 移 方 程 的 般 式，然 后 将 条 件 带 入 方 程 即 可。解：设 物 体 的 位 移 方 程 为：y=/Q
12、),则 由 速 度 和 位 移 的 关 系 可 得：/(r)=3*n/)=/+。，dt又 因 为 物 体 是 由 静 止 开 始 运 动 的，./(0)=0,.C=0,.-./(f)=t3。(1)3秒 后 物 体 离 开 出 发 点 的 距 离 为：/(3)=33=27米;令 Z3=360=t-。360 秒。习 题 4-2 1、填 空 是 下 列 等 式 成 立。知 识 点：练 习 简 单 的 凑 微 分。思 路 分 析：根 据 微 分 运 算 凑 齐 系 数 即 可。解：dx=-d(7x-3y,(2)xdx-J(l-x2);(3)x3t/x=d(3x4-2);7 2 12(4)e2xdx=-
13、J(e2jt);(5)=-J(51nlx I);(6)=-J(3-51nlx I);2 x 5 x 5=2d()；(8)与=J(tan2x);(9)，-d(arctan3x).yt cos2 2x 2 l+9x2 32、求 下 列 不 定 积 分。知 识 点：(凑 微 分)第 换 元 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：审 题 看 看 是 否 需 要 凑 微 分。直 白 的 讲，凑 微 分 其 实 就 是 看 看 积 分 表 达 式 中，有 没 有 成 块 的 形 式 作 为 一 个 整 体 变 量，这 种 能 够 马 上 观 察 出 来 的 功 夫 来 自 对 微 积 分 基 本 公 式
14、 的 熟 练 掌 握。此 外 第 二 类 换 元 法 中 的 倒 代 换 法 对 特 定 的 题 目 也 非 常 有 效，这 在 课 外 例 题 中 专 门 介 绍！(1)/力 思 路:凑 微 分。解：je3,d t=fe3,d(3t)=e3+C(2)j(3-5x)dx思 路:凑 微 分。3 1 a 1解：J(3 5幻&=一 己 卜 3-5犬)d(3-5x)=-融(3 5x)4+c思 路:凑 微 分。解：dx=-|e/(3 2x)=，In I 3 2x I+C.3 2 3 2解 13-.,1 d(5-3x)=-(5-3x)与 d(5-3x)=-(5-3x)5+C.#5 3x 3 J 2(5)j
15、(sinax-)Jx思 路：凑 微 分。X 1-=sin axd(ax)-b ed()=cosax-be+Ca J 2 h a思 路:如 果 你 能 看 到 d(JF)=尸 dt,凑 出 d(VF)易 解。2，解:yftd(yt)=2 sin+C(7)jtan10 xsec2xdx思 路:凑 微 分。解：Jtan，xsedxdx=jtan10 xJ(tan x)=pj-tanH x+C.(8)dxx In x In In x思 路:连 续 三 次 应 用 公 式 凑 微 分 即 可。r dx解：-J x lnxln m xd(n x)_ rIn xlnlnx JJ(ln llnxl)一-=In
16、 I In In x I+CIn Inx（9）ftan Vl+x2 皿 J VT77思 路：本 题 关 键 是 能 够 看 到 一 7=是 什 么，是 什 么 呢？就 是 d j l+x?!这 有 一 定 难 度!7 i+x2解：ftan 71+x2:权 J V iT 7jtan J l+x d j l+2=-In I cos Vl+x2 I+C(10)r dxJ sin x cos x思 路:凑 微 分。解：方 法 一：倍 角 公 式 sin2x=2 sin x co sx。c dx r 2dx f e e,.-c-=.=esc 2xa 2x=In I esc 2x cot 2x I+CJ
17、sin xcos x J sin 2x J方 法 二：将 被 积 函 数 凑 出 tan x 的 函 数 和 tan x 的 导 数。dxsinxeosx C 0 S X 7 dx=-sec2 xdx-J tan x=In I tan x I+Csin x cos x J tanx J tanx方 法 三：三 角 公 式 sin?x+cos?x=1,然 后 凑 微 分。dxsin x cos x 2 9fsm-x+cos-x,=-dx=J sin x cos xsinx,-dx+cosxrcosx,rJc o sx-4-cosxd sin xsinx=-In Icosx I+ln I sinx
18、l+C=In I tanxl+C dx(1 1)-J/+edx思 路:凑 微 分：-ex+eexdx _ dex?2+l-1+小 l+G f解：，exdx p/+1-Jl+(/)2=arctan ex+C(12)jxC O S(J2)Jx思 路:凑 微 分。解：jxcos(x2)Jx=g Jcosx2%2-s in x2+C2(13)xdx思 路：由 xdx12-3f1 dx22 j2-3x21 J(2-3x2)6 J 2-31凑 微 分 易 解。解:xdx，2-31_ rJ(2-3x2)6 J 72-3x2J(2-3x2pJ(2-3x2)=-1V2-3x2+C(14)jcos2思 路:凑 微
19、 分。解：fcos2(Gf)sin(t)d t=cos2(t)sm(cot)dcot=-fcos2(a)t)d cos(。1)J coJ coJ=-cos(cot)+C,3a)(15)1 jp-(l-x4)=-1lnll-x4 I+C.思 路:经 过 两 步 凑 微 分 即 可。X9cosx=-+C.2 cos x解:-X=dx=f-1 d”=f-20 J10 J2 T 2。10 J亚 丁 1 sMiy(18)士 jV9-4x2思 路：分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解 J=1L 专 22x 1 1d-/-3 8J7 9 4 7rd4X2a2x 13-8 J，9I-I-4-X-1-ar
20、csin(-)+j9-4x2+C.2 3 4(19)思 路:裂 项 分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解：J2x2-l=J（缶+1）（缶-1）=2 J（缶 1-缶+产（20）xdx(4 5x)2思 路：分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解 鹏 厂 卜 占 J(4-5x)f 1 J(4-5x)-f!(4-5x)=In 14-5x1+!+C.25J4-5x 25J(4-5x)2 25 25 4-5x皿 店 需 思 路：分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。f.f(X-l+I)2dx 一 f(x-l)2(x-l)1J(x-1严 J(x-1)00 a00(x-1)3(x-1严)=f(57
21、+2 5T+-(x-l)J(x-1)98(x-l)(X-1)100(22)xdxx8-l思 路:裂 项 分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解:xdx _ r xdx _ rl 1x8-1-J(x4-l)(x4+l)-*2 x4-lx4+1)xdx=3 j(x4-1 X4+11 1 1H 一 占）一 占 口%匕 卜（X2-D 43+力 41 2I arctan x 4-C.4(23)cos3 xdx思 路:凑 微 分。cos xdx=J sin x o解：jcos3 xdx=jcos2 x-cosxJx=jcos2 xd sin x=j(l-sin2 x)d sinxsinx-sin3 x
22、+C3（24）卜 os2（初+0）df思 路：降 黑 后 分 项 凑 微 分。解：Jcos?(cot+(p)dt=11+cos 2(初+9)/_cos 2(m+(p)d2(cot+(p)2t H-sin 2(/+(p)+C2 4(25)jsin 2xcos 3xdx思 路:积 化 和 差 后 分 项 凑 微 分。解：Jsin2xcos3xJx(sin 5x-sin x)dx5xd5x-jsin xdx-cos5x+-cosx+C10 2(26)sin5xsin7xJx思 路:积 化 和 差 后 分 项 凑 微 分。解：Jsin5xsin7xJx=（cos 2x-cos 12x）dx=cos 2
23、xd 2x-jcos 12xd(12x)sin 2x-sin 12x+C.24(27)jtan3 x sec xcbc4思 路：凑 微 分 tan xsec xdx=d sec x 0解：jtan3 xcxdx j tan2 x-tanxsec xdx Jtan2x6?secx=j(sec2 x-l)Jsecxxd sec x-sec x=-sec3 x-sec x+C(28)思 路:凑 微 分/dx=d(-arccos x)。Vl-x2 rxarccos x i riarcco s.v解：f；dx=-10 d arccos x=+C.io,(29、)fI-a-x,/,(arcsinx)2Vl
24、-x2思 路:凑 微 分 一 7=dx=J(arcsin x)。dx _(d arcsin x _ 1(arcsin x)2Jl-x2 J(arcsin x)2 arcsin x,、f arctan 4,(30)I-p=-dxJ Jx(l+x)思 路:凑 微 分 裁 吟 公=鲁 抨=2arctan(arctan)。解 髭*乎=J2arctand(arctan4)=(arctan 5/x)2+C,、r In tan x,(31)I-dxJ cos x sin x思 路:被 积 函 数 中 间 变 量 为 tan x,故 须 在 微 分 中 凑 出 tan x,即 被 积 函 数 中 凑 出 se
25、c2 x,-I-n-t-an；x d,x=-In-t-a-n-x-ax,=In tan x sec-2 xax1=In tan x a,tan xcos x sin x cos xtan x tan x-tanx1 2In tan xd(In tan x)=J(In tan x)解:In tan x,r In tan x.rIn tan x,-dx=-dx=-d tan x=cos x sin x cos x tan x-J tanxjin tan xd(In tan x)=g(ln tanx)2+C/c、r 1+In x,(32)-dxJ(xlnx)2思 路：d(xnx)=(1+Inx)dx
26、解：喏 篝 小 匕 备 d(xlnx)=-*+C(33)I-Jl-ev解：方 法 一：思 路:将 被 积 函 数 的 分 子 分 母 同 时 除 以 短,则 凑 微 分 易 得。-f!=-d(e-x-1)=-In I x-11+C3l-ex 3-1 5-1 e-x-1方 法 二：思 路：分 项 后 凑 微 分=e-e-dx=fl/x+-dx=x-fJ _ d(-ex)h e*J l-ex J Jl-e l-ex=x-lnll-evl+C=x-ln(e k-v-ll)+C=x-(ln e，-I n l-I D+C=-lnk-A-ll+C方 法 三：思 路：将 被 积 函 数 的 分 子 分 母
27、同 时 乘 以 e*,裂 项 后 凑 微 分。r dx _ c e dxn-ex deex-ex)(T+J=lnex-J(l-eA)-ex-ex=x Inll e l+C=Inle-*ll+C/、r dx(34)-Jx(x6+4)解：方 法 一：思 路：分 项 后 凑 积 分。r dx _ 1 r 4dx _ 1 rx6+4-xhdx _ 1/1 x5JX(X6+4)-4 Jx，+4)4 x(f+4)4 心.+4)1 rJ(x6+424 J x6+4=-l n l l l-lnl6+4l+C4 24方 法 二：思 路:利 用 第 二 类 换 元 法 的 倒 代 换。令 x=-f 贝 U dx=
28、dt ot t.f x _ f，1 1 付(4*1 付 6+1)5 J TT；X(一 产)力 一 一 五 J中 一 一 五 t6i i 4=-ln(l+4r6)+C=-ln(l+)+C.(35)dxX8(l-x2)解：方 法 一:思 路：分 项 后 凑 积 分。r dx c-xs+xs J r(l-x2)(l+x2)(l+x4)J r dxF f E b=J 市 m 八 匕 rl+x2+x4+x6,f d xJ x8 J(l-x)(l+x)=J(71 71+71 1、/f 1 ed,x1 1 1 1 1.1-x7x7 5x5 3/x 2 1+x方 法 二：思 路：利 用 第 二 类 换 元 法
29、 的 倒 代 换。令 x=l,贝 ijdx=-dt ot tr dx。(2)=彳 x(-力)=-J士 什-j(/+/4+/+1+为 出 i-i i i、，=-j“6+tA+t暴 二 F 万 科 2+l)df J(p)dr=-J(f6+tA+t2+1)Jr-7!-l+C2 t+1 1 1 17-572j_3 x31-x1+xl+C3、求 下 列 不 定 积 分。知 识 点：（真 正 的 换 元，主 要 是 三 角 换 元）第 二 种 换 元 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：题 目 特 征 是-被 积 函 数 中 有 二 次 根 式，如 何 化 无 理 式 为 有 理 式？三 角 函 数
30、中，下 列 二 恒 等 式 起 到 了 重 要 的 作 用。sin2 x 4-cos2 x=1;sec2 x-tan2 x=1.为 保 证 替 换 函 数 的 单 调 性，通 常 将 交 的 范 围 加 以 限 制，以 确 保 函 数 单 调。不 妨 将 角 的 范 围 统 统 限 制 在 锐 角范 围 内，得 出 新 变 量 的 表 达 式，再 形 式 化 地 换 回 原 变 量 即 可。(1)dxl+yjl-X2思 路:令=5足 人 人|,先 进 行 三 角 换 元，分 项 后，再 用 三 角 函 数 的 升 降 事 公 式。兀 解：x=sinr,|r|,则 dx=cos/f。dx21+C
31、OS t J J 1dt+cos/dt2 cos2 2一 八+gs吟 仁 t.x 1 yjl x2=/-tan+C=arcsin x-/:+C.(或=arcsin x-+C)2 1+V 1-7 x(万 能 公 式 tan，=in 2 1+cost1 COS t _._.L 2、-,又 sin t=x HJ，cos t=yjl 一 厂)sinr（2）3 xTT思 路:令 1=3 sec1,1 G(0,)，2JI解：令 x=3sec兀，E(0,一),2三 角 换 元。贝 i j dx=3 sec t tan tdt。j-dx=13 ta M 3 sec/tan tdt=3 jtan2/=3 j(s
32、ec2z-l)rfrx 3 sec t(x=3secx时，cosx.坛 tanxX XG 9、-)3（3）dx+1成,解：令 x=tan，W,三 角 换 元。则 dx=sec2 tdt o（4）dxsec2 tdt3sec t=jJ sec/*.xcos tdt sin f+C=-+C1+x2+),I I 兀 思 路：令 工=a tan%，1,三 角 换 元。兀 解:令 x=a tan/JM,则 dx=a sec2 f力。f/一 ra sec2 tdta3 sec31=/工 J a sectcos tdt=4-5inr+Ca+J C(5)A T+1.j dxX V X4+1思 路：先 令=x
33、t 进 行 第 一 次 换 元；然 后 令=tan，进 行 第 二 次 换 元。X+1,I f X+1.2 A 2,口.dx=.ax，令=%得:x T T T i 2 J x2 7 7 7 7解：=d.x-I f W+1 d.u，令 A=tan 八 I，I 一 T C,则,d.u=sec 7 td.t，1 2 人,7 7 7 1 2 后 dx=-f W-4-1-2 uylu2 4-1d,u=1-f-t-a-n-r-4-1-sec 2 td1t=-1 f.t.a.n.r.+.1 sec tat,2 tan，seel 2 J tanzg J(cscf+secf)dr=g l#se c+tan+g
34、In|csc t-cot t+C=In Jw 2+12+u+-ln27 2+i I+C=-l n2V x4+1+x2+-ln2 u u(与 课 本 后 答 案 不 同)(6)-4-r dx思 路：三 角 换 元，关 键 配 方 要 正 确。解：,/5-4 x-x2=9-(x+2 2)令 x+Z u B s i n/J d c,则 dx=3cosf力。z.5-4 x-x2dx=J9cos2f力=9 J 1*彳，dt=9(；+；sin 2。+C9.x+2 x+2 r-2-arcsin-d-y J 5-4 x-x+C.2 3 21 4、求 一 个 函 数/(X)，满 足/(%)=-,且/(0)=1。
35、J l+X思 路:求 出-j l=的 不 定 积 分，由 条 件/(O)=1确 定 出 常 数 C 的 值 即 可。V 1+x令/a)=2 j T T 7+c,又/(o)=i,可 知 c=-i,f(x)=2 Jl+x 1 5、设/=ftann xdx,求 证：In=tann-1 x-1n 2,并 求 ftan2 xdx 思 路：由 口 标 式 子 可 以 看 出 应 将 被 积 函 数 tan x 5JTtan,-2xtan2x,进 而 写 成:tan0-2 x(sec2 x-1)=tan xsec2 x-tanM-2 x，分 项 积 分 即 可。证 明：In=an xdx=j(tan,-2
36、xsec2 x-tanH-2 x)dx=jtan,-2 xsec2 xdx-jtan,?2 xdxW m tan f=tanT x _ 心.n=5时,/5=jtan5 xdx1 tan 4 x-八=tan A x 1 tan 2 x+/T14 3 4 2=tan4 x-tan2 x+ftan xd=tanlx tan2 x-ln|cosx|+C.4 2 J 4 2 1 1习 题 4-31、求 下 列 不 定 积 分：知 识 点：基 本 的 分 部 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：严 格 按 照“反、对、爆、三、指 顺 序，越 靠 后 的 越 优 先 纳 入 到 微 分 号 下 凑 微
37、分 J 的 原 则 进 行 分 部 积 分 的 练 习。(1)arcsin xdx思 路:被 积 函 数 的 形 式 看 作 x arcsin X,按 照“反、对、帚、三、指”顺 序，索 函 数 x 优 先 纳 入 到 微 分 号 下，凑 微 分 后 仍 为 dx。解：arcsin xdx=xarcsinx-x,】dx-xarcsinx+J J 2=x arcsin x+y/l-x2+C.(2)jln(l+x1)dx思 路：同 上 题。解：jln(1+x2=x ln(1+x2=xln(l+x2=xl.n(Zl1+x2)-(*-2(-x-+-1-)-2d x=xl1n(八 l+x2)-r/-2
38、di x+2 f-d-x-J 1+x J Jl+x=%ln(l+x2)-2x+2 arctan x+C.(3)jarctanxdx思 路：同 上 题。行,f dx 1 frf(l+x)解：arctanxd=xaixtanx-x-7=xarctanx-；J J 1+x2 2 J 1+x21 2=x arctan x-ln(l+x)+C(4)e-2A sin 6/xJ 2思 路：严 格 按 照“反、对、塞、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：,e2x sin dx=sin d(-2 v)=-e2x sin+e-2v cos-JxJ 2 J 2 2 2 2 2J 2 2(5)jx2 arctan
39、 xdx思 路：严 格 按 照“反、对、暴、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：jx2 arctan xdx=jarctan(g)=；/arctan x 一 J；/1 3 1 ex3+x-x.1 3 1 fz x x,=-x arctanx-ax=-x arctanx(x-)ax3 3J l+x2 3 3 J 1+x2=-urctun x xdx H f-rdx=arctan x x2 4 f-rd(14-x2)3 3J 3 Jl+x2 3 6 6 Jl+x21 3 1 2 1 2=-x arctan x x+ln(l+x)+C.3 6 6(/6)、fx cosX JdxJ 2思 路：严
40、格 按 照“反、对、幕、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：fxcos=2 fxrfsin=2xsin-2 sinx=2xsin-4 sin/J 2 J 2 2 J 2 2 J 2 2x x=2xsin+4cos+C.2 2(7)tan2xdx思 路：严 格 按 照“反、对、鼎、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：jx tan2xJx jx(sec2 x-l)dx=j(xsec2 x-x)dx=jxsec2 xdx-Jxdx(tan x)-xdx=x tan x-jtanxdx-x2=xtanx+ln|cos x|x+C.（8）Jin2Mx思 路：严 格 按 照“反、对、事、三、指”顺
41、 序 凑 微 分 即 可。解：ln2xdx=xn2 x-Jx 2 In x-dx=xln2 x-2 jinxdx=xln2 x_2xlnx+2 x-dxJ xxln2 x-2xlnx+2=u:In2 x-2xlnx+2x+C.（9）jxln（x-l）Jx思 路：严 格 按 照“反、对、箱、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解:jxln(x-lXx=Jln(x-iw=ln(x-l)-g=；/-dx=-x2 ln(x-l)-J(x+)Jx思 路：严 格 按 照“反、对、暴、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解:2xd()=-In2 x+21nx-Jx=-In2 x+2X=-In2 x+2x1?
42、(In 尤+In x+2)+CxX7 72 x Inx-C日 1 1X X X XX X X(11)cos In xdx思 路：严 格 按 照“反、对、幕、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：:jcos In xdx=xcos lnx+jxsinlnx-rfx=x cos In x+jsinln 欣 x=xcoslnx+xsinlnx-f x c o s=xcslnx+xsinlnx-cosInxdJ x Jr xjcos In xdx=(cos In x+sin In x)+C.(12)思 路：详 见 第(10)小 题 解 答 中 间，解 答 略。(13)xn In xdx(工 一 1)
43、思 路：严 格 按 照“反、对、鼎、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：xn Inxdx=flnxJ=xw+1 Inx-dxJ J+1+1 x=-xn+l Inx-xndx=-xn+1flnx+C.+l J+l+1 l(+1),(14)x2exdx思 路：严 格 按 照“反、对、基、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：x2exdx=-x2ex+ex2xdx=-x2ex-2xex+2 exdx=f 2 g T-2 x e-x-2X+c=-e-x(x2+2x+2)+2(15)x3(nx)2dx思 路：严 格 按 照“反、对、暴、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：jx3(ln x)2d
44、x=janx)%,/)=；/(nx)2 jx4-21nx-Jx=；x4(lnx)2-;|x3 nxdx=x4(nx)2 jlnxJx4=-x4(lnx)2-x4 lnx+-x4 rfx=-x4(lnx)2-x4 lnx4-xidx4 8 8 J x 4 8 8 J=x4(lnx)2 x4 lnx+x4+C=-x4(21n2 x-lnx+)+C.4 8 32 8 4(16)j10 ln Xdx思 路：将 积 分 表 达 式 x、dx写 成 In In xd(ln x),将 In%看 作 一 个 整 体 变 量 积 分 即 可。解：rln n x _ Rnlnxd(lnx)=Inxlnlnx-fl
45、nx-dx=nxlnnx-fJxJ x J J In x x J xIn xln In x In x+C=In x(ln In x 1)+C.(17)jxsinxcosx公 思 路：严 格 按 照“反、对、暴、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：j x s i n x c o s(一;cos2x)=-%cos2x+：jcos2xdx-x cos 2x+-cos 2xd 2x=-x cos 2x+-sin 2x+C.4 8 J 4 8(18)x2 cos2 dxJ 2X+cos X思 路：先 将 cos?一 降 塞 得-,然 后 分 项 积 分；第 二 个 积 分 严 格 按 照“反、对、甯
46、、三、指”顺 2 2序 凑 微 分 即 可。解：jx2 cos2 dx-j(x2+x2 cos x)dx-1.x2Jx+Jx2 cos xdx2 2 2 2 2=x3+x2Jsinx=-x3+-x2 sinx-lxsinxdx6 2 J 6 2 2 J=x3+x2 sinx+fxdcosx=丁+sinx+xcosx-fcosxdr6 2 J 6 2 J=x3+x2 sin x 4-x cos x-sin x+C6 2(19)j(x2-l)sin2xdx思 路：分 项 后 对 第 个 积 分 分 部 积 分。解：f(x2-l)sin2xJx=fx2 sin 2xdx-sin 2xdx-x2d(-
47、cos 2x)+cos 2x=x2 cos 2x+f2x cos 2xdx+cos 2x=x2 cos 2x+xd sin 2x2 2 J 2 2 2 J1 c 1 2 c 1 c+cos 2x=x cos 2x+xsin 2x sin 2xdx+cos 2x2 2 2 2 J 2=-x2 cos 2x+xsin 2x+cos 2x+cos 2x+C2 2 4 2=x cos2x+xsin 2x+cos2x+C=(xsin2x)cos 2x+sin2x+C.2 2 4 2 2 2(20)思 路：首 先 换 元，后 分 部 积 分。解：令 f=则 x=e d x=3rdt=3 et2dt=3 j
48、 t2der=3t2e-3 2tedt=3t2e-3 2td e=3t2e-6 e t+6 ed 3 t2e-6 e t+6e+C=3旧 产 6e表#7+6e孤+C=3再 诉 一 2&+2)+C(21)arcsinx)2dx思 路：严 格 按 照“反、对、事、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：!(arcsin x)2dx=x(arcsin x)2-j x-寸：%=x(arcsin x)2+j：csin：d(_ x 2)_ x(a r c sjn xy+2 jarcsinx J(V l-x2)=x(arcsinx)2+25/l-x2 arcsinx-2 J J-、dxyjl-=x(arcs
49、inx)2+2yh-x1 arcsinx-2 d=x(arcsinx)2+2 y jl-x2 arcsinx-2 x+C.(22)sin2 xdx思 路：严 格 按 照“反、对、箱、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：方 法 一：/sin2 xdx=|s in2 xdex=ex sin2 x-j ev2 sin x co sxdx=ex sin2 x-/sin 2xdx*:sin Ixdx=jsin 2xdex=ex sin 2x-je 2 cos 2xdx=ex sin 2 x-2 jcos 2xdex=ex sin 2x-2e cos 2 x-4 Je sin 2xd x*.C,e*(
50、sin 2 x-2 cos2九)一/.J e sin 2xdx=-+Cex sin2 xdx=(5sin?x-sin 2x+2 cos 2尤)+C方 法 二：e r si.n2 xd,x=fI e r 1 C0s 2x a,x=1 re x a.x 1 re.cos2_ xa,x=-1 e v 1 r e rcos2xdxJ J 2 2 J 2 J 2 2Jex cos 2xdx=cos 2xdex=ex cos 2x+lex 2 sin 2xdx=ex cos 2x+2|sin 2xdex=ex cos 2x+2ex sin 2 x-4 j ex cos 2xd x.Jr d x cos 2