《中国人民大学出版社第四版高等数学一第8章课后习题详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国人民大学出版社第四版高等数学一第8章课后习题详解.pdf（71页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 8章课后习题详解 多元函数微分学习 题8-1 1.设=求/(1,马。x+y X2y解：/(1,马=-X p+(Z)2 x yX2.已知函数/(,匕卬)=+w +试求/(x +y,x-y,孙)。解：/(x +y,x -y,)=(x +y)xy+(xy)2x 3.设z=1+y+/(冗一y),且当 y =0时，z =x2,求/(x)。解：将 y =0代入原式得：x2=x+O-i-f(x-O),故 f(x)=x2-x4.求下列函数的定义域：(1)z=ln(y2-2x +l)解：要使表达式有意义，必须/-2 x+l 0所求定义域为。=(羽y)ly 22x +l 0 (2)z =yjx-y y解：要使
2、表达式有意义，必须了 一 梃20,D =(x,y)xy yz u =ar cco s .7 77解：要使表达式有意义，必须 一14 /4 17 7。=(x,y,z)I -y/x +y2 z -2 01-x2-y2 0ln(l-x2-y2)0 =lnl 解:D =(x,y)IO x2+y2 1,/0 x 0 /.=(x,y)Ix2+y2 1,0 x 05.求下列极限:ln(x +e)(1)1 1 0 1-7=-Xf 1yf 0f+y 2知识点：二重极限。思 路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。惚 i；mln(x +ev)In 2解：lim-/=-=.X T1 丫2 2|y-0
3、V X 十)2 J xy+4 (2)h m -“书 孙知识点：二重极限。思路：应用有理化方法去根号。解.=h m _h =lim_=_ _二孙(2+Jx y +4)/2+Jx y +4 4*(3)lim(x2+y2)e(I+y)X f+o oy-+co解:原式=limX-4-COJT+CO(x +-2xylim(Xf+8y T+c o(x+y)2e eyr八.y,/h m -=0,lim =0X T+s O X.V-H /y +o o(x+y)2 =x+.u2-=lim _r-+o oy-+o o *=lim=0.w +o o e”lim(Y+y 2 =0X T 8y o c孙 (4)lim,
4、-D /2,.2y-0 X+y解：方法 一：（应用二重极限定义，-5语言）0 取3=2当0 yjx2+y2 0y-0方 法 二：（夹逼定理）00y-0XJ x、y2方 法 三：（极坐标代换）-I y l0令 x=rco s。，y=rsin。，则 当(x,y)f (0,0)时，r 70(0 0 x2+y2 flim r cos Osin。=0rl0 (5)limA-0vfOyjx2+y2-s in yjx2+y2G +yX2+/孙M+9孙0知 识 点：二重极限。思 路：先作变量替换，然后对未定型9应用洛必达法则及等价无穷小量替换。0解：令 J.2 +y2=,则（冗,。0）时，（）+,原式二lim
5、-o+u-sin M洛必达w3limfO.1 一 CO S U3/1 2U 1lim v =一fo 3u 6,、.l-c o s(x2+y2)(6)hm-，(x2+y2)ex y解：limy-0l-c o s(x2+V).1-cosC r+y-)lim-弓-弓-*巧(X +y2)-o、J lim e -limx-00 x-0yfOI-c o s，+y2)U2+y2)一1 2x2+y2=u C O S=lim COS M=lim-2=0“-0+U TO U6.证明下列极限不存在知 识 点：二重极限。思 路：若（x,y）沿不同曲线趋于（,%）时，极限值不同，则二重极限不存在。（1）h m -（o,
6、o）x-y证：取y=kx 则x+y （+攵）x +女lim-=lim-=易见极限会随上值的变化而变化，故原式极限不存在。（“）f（o,o）x-y;比（1 _ k）x -k(2)hm(l+x y)yx-0y-0证：方 法 一：1 xy I x ylim(l+孙)再=lim(l+孙 产 而=lim(l+盯 产 再x fO A-0 x-0y-0 y 0 -0现 考 虑lim二（x+丁）o若(x,y)沿/轴趋于(0,0),则 上 式=lim =0,从而 lim(l+x y)t+，=e=1x-o 9 x A-Oy=0 y fOXx-若(x,y)沿曲线 y =一 一趋于(0,0),则lim=limx=1,
7、i上F x-1i从而 lim(l+xy)x+y=eA-0y-0故原式极限不存在。方 法 二：1 1若取=一,“=一,则n n1 1 6 0lim(l+xy)x+y=lim(l+)2=lim(1+=e =lx-0 T8 几 2 n-o o /y 0 L -若取=一一,yn=；，则n +1lim(l+x y)x+=limX-0”TOOy-0故原式极限不存在。J xy+1-1 (3)h m-1 Y+VMJx y +1-1 x y解：h m -=h m-.-x +y j 4(x+y)(J盯+1+1)若(x,y)沿x轴趋于(0,0),则 上 式=h m =0 s o 2 rv=0X若(x,y)沿曲线y
8、=一趋于(0,0),则上式=lim-立 一x-l 10I X J L2(X+-)x-l X-12故原式极限不存在。注：若（x,y）沿曲线 y =-x 趋于（0,0）,则 lim 0 +），）（P o 盯0 nlim r-=0X f 0-xy=-x-J xy+1 1从而-T x +yy f 0 J-lim-1-=o o og(x+y)(y+i +i)7.研究下列函数的连续性 (1)/(x,y)=y2+2xy2-2x解：当/-2%=0时函数无定义，故函数的间断点集为（x,y）l）a=2x (2)/(x,y)=xyln(x2+y2)解：函数间断点为（0,0）,由O WlA y ln x 2+y,）K
9、|g（x 2+），2）n 犬+火）|u=x2+y2 ln 洛必达 一又 lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limw lnw =lim=lim=0X TO”TO“TO 1 “TO 1y 0-2u u故由夹逼定理limx ln(x2+y2)=0 ,故(0,0)为可去间断点。x-0)TO一 r，x A 0,y任 悬 8.设/（x,y）=,4 ，讨论/（x,y）在（0,0）处是否连续？y ex+10 ,x =0,y任 意知 识 点：二元函数连续思 路：若lim f（x,y）=f（xQ,yQ）,则函数z =/3），）在（入0，打）连续。讨论（x（）,y 0）处二重极限y y（）的存在性，若（x,y
10、）沿不同曲线趋于（小,%）时，极限值不同，则二重极限不存在。解：若（x,y）沿x轴趋于（0,0）,则lim 与-x-0.-0 y gX2+r0 nh m =0X TO 1y=0若（x,y）沿y =e 轴趋于（0,0），则limA-0y-0Iy e*1 1 1 ；-=In n-=_,4 2。，1 +1 2y ex+1 -7J y-e*故lim于（x,y）不存在，从而函数/（x,y）在（0,0）处是不连续。x-0）TO 8.2偏导数内容概要定义性质dz_ /（入。+八%）。）一/（工。，）。）几何意义：z =/（x,y）的偏导数dxX=Xo&T Ax也记为。（X。，）。）表示空间曲线/df（1 0
11、，V o）r f Z 、j（x（），%）/（工0,%），c /（%（），为）OX*z =/（x，y）在点（X o，y o，Z o）偏同理可定义偏导数dz=l i m/（玉），孔+）-/（x。，）处的切线T、关于x轴的斜率办Ay-0 A v导x-V o.v=yo偏导函数的求法：（1）多元函数对某自数Z y（/，7 0）/（/，为）,f y（/，%）变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶若函数 z =/（x,y）的偏导数 fx（x,y）,fy（x,y）如果z =f（X,y）的二阶混合偏导数偏在区域D内偏导数也存
12、在，称它们为二阶偏导数。二算-父2 -导数阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。-一J 在区域D内连续，则在dxdy dydx1）内这两个偏导数相等。课后习题全解习 题 8-2I.求下列函数的偏导数:(1)z =x3y+3x2y2-xy知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量X (y)求导时将另一自变量y(x)看为常量，按一元函数求导法则求导。解：=3 x2y +6 x y2-y3dx=x3+6 x2y-3 x y25 y*(2)z2 2x +K孙2 2x +y x y努：z =-=一+,xy y x&1 y d z 1 x故二-:二-dx y x2 dx x y2 (3)xy x2+y2解:)
13、23(x2+y2yd z _ 2&2 +Jdy x1+y2一孙3(x2+y2y注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。*(4)z =Jln(盯)：解:d z 1 n,、-；1=-(ln(x y)-ydx 2 xy2 x j ln(x y)女 1 ,、旧1=-(ln(iy)2 x =oy 2 xy12 y j ln(孙)z -s in(x y)+c o s2(x y)；d z解：dxc o s(x y)y +2 c o s(x y)(_ s in(x y)yy c o s(x -)-s in(2 x y)=c o s(x y)x +2 c o s(x y)(-s in(x y)xd
14、 y=x c o s(x y)-s in(2 孙)z =(1 +x y)v；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x(y)求导时将另 自变量y(x)看为常量，按-元函数求导法则求导。在本题中对口变量x 求偏导时，函数为x 的爆函数：对自变量y 求偏导时，函数为y 的繁指函数。解：方法一=y(l+xyY(1 +x y)；=y(l+x y),，_|y =y2(l+“产ox=(*.)=()；=)(ln(1 +刈)+y dy +xy=(l+?)y ln(l+x )+1 +盯0 7方法二：(求 时也可利用下边第5节的隐函数求导法则)在方程两边同时取自然对数得ln z =y ln(l+x y)方程两边同
15、时对自变量y求偏导数，注意z为x,y的函数1&,八 、*-=ln(l+x y)+y-z dy 1 +孙告=(l+x y)v ln(l+x y)+dy|_ 1 +孙,x (7)z =In t a n 一；y初&1 2 x x x 2 2x解：一=-s e c-e s c s e c -=e s c ；dx t a n y yy y y y yydz 1 2%/X、x x x 2x=-s e c (7)=7c s c s e c=7 c s e 一办 t a n y y y y y y yy (8)U=(一);y知 识 点：多元函数偏导数思 路：函数对自变量x (y或z)求导时将另两自变量y,z
16、(x,z或x,y)看为常量,法则求导。元函数求导解：”=2二 尸.(-);=z(-r-=-c-r1；ox y y y y y y=z(V-A=z(V-(-4)=-(-);：oy y y y y y y*2.设/(x,y)=x +(y-l)a rc s in J ，求/v(x,l).解：法 一：/(x,l)=x +(l-l)a rc s in V x =x,(x,l)=l；法 二：(x,y)=i +(y D/+y 2 w 0-(x,D=1y(x2+y)s in .3.设 f(x,y)-0A .1Ay s in-l A y l .17右 升-:=lim s in-不存在。Ay a-。I Ay I当
17、(x,y)w(0,0)时,/；(x,y)=2 x s in-?=1x1Xyjx2+y2+/-7厂+y2 x s in 下二-卢?c o s 予二旧+V J，+y 2)3 旧+2yx1 ,2、1 Jx-+y-/v(x,y)=s in ,+(x +y)c o s ,七一片J r +y yjx-+y x +ys in -r=-产+：)c o syx2+y2 J(/+y 2)3 旧+/(2?_ x +y 4.曲 线=-4 一 在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少？y4知 识 点：多元函数偏导数的几何意义。z=/(x,y)思 路：z=/(x,y)的偏导数0(),%)表示空间曲线 在点a。
18、，%*。)处的切线，关V =V c于x轴的斜率，k=tan a 0枷 dz _2x _ x dz&4 2 a x7 1cc=4d2z d2z5.求下列函数的一，一 不dx2 dy2 (1)z =x2yey；解：=2xyey;=x2ey+x1yeydx dy-=(2xyey)xr=2yey；-=(2xyey)f=2xey+2xyey=2x(1+y)eydx dxy=(x2ey+x2yeyY =x2ey+x2ey+x2yey=x2(2+y)eyy (2)z=arctan；dx l+(t)2 X2/+y2，Qy l+g)2 x 丁+丁.52Z _ a -y.-I-2xydx2 dx x2+y2(x2
19、+y2)2,d2z a,-y、-(X?+y2)+y.2y y2-x2dxdy dy x2+y2(x2+y2)2(x2+y2)2.S2z d x=-2xy dy2 dy JC+y-(x2+y2)2*(3)z-yx(V In y)=/(In y)2；=；(xy_1)=x(x-l)/-2Sy dyf f(y l ny)=j yi l ny+y=尸(1 +1)oxoy oy y 6.设/(x,y,Z)=盯2+”2+2,求心(0,0,1),4/1,0,2),4(0,-1,0)及 乙(2,0,1).解：，=寸+2，.,.九=2。几=2 x,又 fy=2xy+z2,:.fy z=2z.fz=2yz +x2,
20、:.fa=2x-,=2所以/.(0,0,1)=2,4(1，0,2)=2,(0,-1,0)=0,(2,0,1)=0V 2 37 7 7.设 Z=+(P(X y),其中夕()可导，证明 J，+y2=%),二。3x dx dy证：旨=+(肛)y，M=尹+3)x,ox 3 r oy 3 xy2 2左边=X2(-+8(盯)y)+y2=彳 y2+%2),夕，(孙).3x 3z2 y.2 9 7 r z右边=孙(-F(p(xy)x)=y +x y(p(xy)所以左边=右边，题目得证。3 x 3注：本题中对抽象函数夕(孙)应用了一元复合函数求导法则。与38.设 z =x I n(孙)，求-及-odx dy d
21、xdy&i解：=l n(x)0 4-x-y=l n(xy)+l,dx xyd2z 1 1 d r y=,z =0 ；dx2 盯 x dx dyd2z 1 1 兆 i_.x=_ ,_ _dxdy xy y，dxdy2 y2 8.3全微分及其应用内容概要定义如果函数z =/(x,y)在点(x,y)的全增量Az =f(x+Ar,y+Ay)-/(x,y)可表示为 Az =AAx+BAy+。(夕)，其中 A,8 与 Ax,Ay 无关，p =(Ax)2 4-(Ay)2 则称函全微分及其应用数在点(x,y)可微，全微分dz =A Ar+BAy。性质(1)若函数z =fC x,y)在(v y)可 微,则z =
22、/(x,y)在(x,y)连续(2)若函数 z =/(x,y)在(x,y)可微，则 l i m 2=0；从而若 l i m 2 0,则p-0 p 0 T o p函数z=/(x,y)在(x,y)不可微。(3)若函数z =/(元丁)在(工,丁)可微,则=/(x,y)在(x,y)偏导数存在，且,&.&,a z =+a ydx dy.(4)若函数Z =(x,y)在(x,y)的某邻域存在偏导数且二,在(x,y)连续，则函数在dx dydz dz(x,y)可微，且dz =-dx+dydx dy若函数z =/(x,y)在(x,y)的某邻域内偏导数小，在(x,y)连续，且l AdJAyl都比较小时，有全增量近似
23、公式 z d 2=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay函数值近似公式/(x+Ar,y+Ay)=f x,y)+fx(x,y)Ar+/v(x,y)Ay课后习题全解习 题8-31.求下列函数的全微分：(1)z 3x y H；y知识点：全微分。思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式d z=dx+dy.dx dy解：*6犯+乙答3人3dx y dy y1 0 x所以 dz =(6盯 +)dx+(3x2 7)y y (2)z =s i n(xco s y)；&解：=co s(x co s y)c os y,=co s(x co s y)(-x s i n y)dx dy所以 dz =co s(xco s
24、 y)co s ydx-x s i n y co s(x co s y)dy (3)u =xyz；解：一 =yz xyz,一 =xyznx-z =z xyz I nx,一 =xyz nx-y=yxyz I nxdx dy dz所以 du =yz xyzdx+z xyz I n xdy+yxyz I n xdz 2.求函数z =l n(2+/+V)在1=2,y=1时的全微分。解生=2茂 =17；,：72 +/+丁2 ；：;一 于dz 2ydy yZ?2+x2+y2_ 2x=2-)y=/4 2所以 dz =dx+dy 3.设 f(x,y,z)=求4(1)zy y y zy z y y y z y/
25、-=();I n%),(-y)=一-7 (-):I n 4)y y z z y y故 人(1,1,1)=1,(1,1,1)=1,工(1,1,1)=0 从而 dz =dx-dy*4.求函数z =上 在x=2,y=1,Ac=0.1,Ay=-0.2时的全增量M和全微分dz。x解：Az =+N-上,dz =一_AyX4-Ax X X X将 x=2,y=1,Ax=0.1,Ay=0.2 代入得：全增量 A=1 +(0-2)-=-0.119,全微分dz =4-0 +L-(0.2)=0.1252+0.1 2 22 2 5.计算)(1.0 2)3+(1.9 7)3 的近似值知 识 点：全微分思 路：应用全微分近
26、似计算公式/(x+Ax,+)；)h f(x,y)+A+fyy y解：设/(x,y)=G+J ,则要计算的近似值就是该函数在x=1.0 2,y=1.9 7时的函数值的近似值。取 x=1,y=2,AY=0.0 2,Ay=-0.0 33x2 3y2又/(羽 )=i 3 r fy(y)=I 3 3+y 2 4+y 3_ _ 32 3 2应用公式 J(尤 +Av.+(),+A),)3 w J十 寸 +.X Ar+/2打 十 /2yx3+y3所以 J(1.0 2)3+(1.9 7)3 QJ P+23+_=0 02 +-,(-0.0 3)2 V P+23 2Vl3+23=2.9 5 6.计算(1.0 0 7
27、严8的近似值知识点：全微分思路：应用全微分近似计算公式/(x+Ax,y+Ay)f (x,y)+fx(x,y)Ar+fy(x,y)Ay解：设/(x,y)=x 1则要计算的近似值就是该函数在x=1.0 0 7,y=2.9 8时的函数值的近似值。取 x=1,y=3,Ax=0.0 0 7,Ay=0.0 2又 fx(x,y)=yxy,fy(x,y)=xynx 所以 f(1,3)=1,力(1,3)=3,fy(1,3)=0,所 以(1.0 0 7)2-9 8=(1+O.OO7)3-0 0 2 1+3-(0.0 0 7)+0 -(-0.0 2)=1.0 217.已知边长为x=6加 与y=8 z的矩形，如果边x
28、增加2c？，而边y减少5 cz,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？知识点：全微分dz dz思路：应用全微分近似计算公式Az J z =Ax +Aydx dy解：由题意知矩形的对角线为z =yx2+y2d z d z则有 A zdz=A r d-Ay ,dx dy其 中 =,=i j)=，x =6,y =8,Ax =0.02,Ay =0.05/7777后77A R所以 Az a d z =(0.02)+一 (-0.05)=-0.02810 10即矩形的对角线近似减少2.8c m。8.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5机，宽4加，高3加，厚20c加，求所需材料的近似值与精确值。解：设容器的
29、长宽高分别为苍y,z，则长方体体积为丫=盯,从而所需材料的精确值为A V由题意可知，x =5,y =4,z =3,Ax =-0.4,Ay =-0.4,M -0.2故 精 确 值AV =5x 4x 3-4.6x 3.6x 2.8=13.632(m2)近似值 AV -dV=-(y z Ax +x z Ay+x y Az)=14.8(他)V9.有欧姆定律，电流i,电压v及电阻R有关系/?=7。若测得v=iiov,测量的最大绝对误差为2V,测 得r 2 0 A,测量的最大绝对误差为0.5 A o问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？解：d R-d V+d I -d V-d IdV di
30、I I2其中V =110,/=20,g=2,心=0$,百，&分别为测量电压和电流的绝对误差；1V 1 IV I故 l H饪l d R国 一d V I+l-dl一 反I I2 171 1 I2 2x 2+可 x 0.5=0.2375 0.2420 202nV 110又 R=-I 20dR5.5,故 2+y 2)的 复 合 函 数，故 要 用 商 式 求 导 法 则()=二,再 按 复 合 函V V数 求 导 法 则 求 导。证：令M =X?y 2,则&=一().2x =_ 2 x y f (u)瓦 一 尸 一一尸(u)&=_ /()+2)二/()加 一 产质 7y而1女,1四 1 -2砧/1 /
31、(“)+2万，(“)-2 2/()+()+2x y 2/()x f i x y dy x fu)y/2()xyfu)1 _ _ y _ z#()yf(x2-y2)y2f(x2-y2)y2 2 2 8.设 M =/(x +y +z,x 2+y +z)，其中 f 有二阶连续偏导数，求”H-H-dx-dy-dz解：令s =x+y +z,f =x?+y?+z),则函数可看为u=/(s/),s =x+y+z,t =x2+y2+z2复合而成的函数，由求导法则有:嗅嚓?居导翡+株+24du df ds df dt、dz ds dz dt 及函数工 仍为fss,t),s=x +y +z=X?+),+z?复合而
32、成的复合函数，依然以s/为中间变量以x,y,z为自变量，且由一有二阶连续偏导数，得独二型包签包+/包，+2.(/0+境.当dx2 dx ds dx dt dx 1 ds dx dt dx=f；+2xf；+2f；+2x(f；+2xf；)=九 +4犹：+4也+2/；又由函数对n变量的对称性可得：普=f：+4比：+4/；+2，鲁=九 +4 1 +4z2r+2f；dy dz二 =+普+=3 s”+4(x +y +z)fs l+4(x2+y2+z2)f +6 f dx dy dz分2 9.设z=/(2x-y,y s i nx),其中/具有连续二阶偏导数，求 dxdy解：令u =2x-y,v =y s i
33、 nx,则函数为 =/(),=21一 =y s i nx复合而成，按复合函数求导法有：&df du df dv ,-=-+-=yu+yc o3xfv,dx du ox dv dx由/(#)为/的 函数，所以：,仍 为 以 为 中 间 变 量，以 为 自 变 量 的 函 数，故匹=8 +y c s引)4(或包+或+/&S-x(空电+奠0)dxdy dy du dy dv dy du dy dv dy2(-以 +/:s i n x)+/；c os x +y c os x(-汇 +f v s i n x)一2 +(2s i n x-y c osx)f v+y c os x s i n xf：+/c
34、os x (f 具 连 续 二 阶 偏 导 数=)（与课后答案不同。）10.求下列函数的空,-,空（其中f具有二阶连续偏导数）dx dxdy dy （1）z =f（xy,y）解：令 =x y,则函数为“=/（，y）,=处复合而成的函数，其中变量y既是中间变量乂是自变量,按复合函数求导法有：包=更包+笠.0 =戒，包=红包+更=忒+/；（其中更是函数对中间变量dx du dx dy dy du dy dy dyy的偏导数，求解时将中间变量看作常量）又由/（，y）为，y的函数，所以/：,工；仍 为 以 为 中 间 变 量，以尤,y为自变量的函数，故获一 M 一 乂 而 不孑zdxdy警=y(萼,g
35、+*)+f：=xyf：+yf；+f；dy du dy dydy2 dy du dy dy du dy dy=X-：+%+C+虱=x f+2 C+f；y(2)z=f(-,x2y)X解：令u=,v =x2y,则函数为M=/(/),=,v=x?y复合而成，按多元复合函数求导法:X X包=要包+更包，包=更包+笠0/，+/ox du ox ov ox x dy du dy dv dy x由为,u的函数，所以/：,工：仍 为 以 为 中 间 变 量，以x,y为自变量的函数，故祟寸:2”）二 当,亭M誓第+2次dx dx x du dx ov dx x du dx dv dx=T（f u -T +f v-
36、2孙）+之 ；+2孙（.r+、,-2孙）+2yf；X X X X=4 f：,殍然+胃 Z：+4x2r Z：+2yf；（f 具连续二阶偏导数 f：v=f：u）XXX西 d（-f；+2xyf：）_y,d d f：t d v i df；8 u df；dvdxdy dy x1 du dy dv dy x1 du dy dv dy=T（f t，+/,：；,J）-TZ/+2孙（,+f.-x2）+2xf：XX X X=E f：u+yf：-4 f：+2x3C+2xf：（f 具连续二阶偏导数 f：r=f：u）XX与书后答案不同匹=立2（/包+组）+岛/包+%.如）dy2 dy x du dy dv dy du
37、dy dv dy（工 ,+/：/）+/（2+/：/）X X X=4 f：+2(v)；三=x(p(y)+。(丫)+)0 (v):ox oy=9 W)+(pf(v)+)(u)=2(v)+x，)+y。”)3 2=夕(V)+X(pv)+“(v)+y (y)oxoyK =x(pv)+(l)v)+“(v)+y(/)v)=x(pv)+2“(v)+)W)Sy故d2u 2 3，+d2udx2 dxdy dy2得证。8.5隐函数微分法内容概要隐函数微分分类法则一个方程情形办 F若二元方程尸(x,y)=O确定元隐函数y =/(x),W J =一一-dx F若三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数z =f x,y
38、),则包包_ _ 3dx F j dy F,方程组情形F(x,y,w,v)=0若方程组 确定二元函数u =u(x,y),v =v(x,y)G(x,y,w,v)=0du则一=dxF,F、,GXGVdv _F“F,GUGXdu _F,工GyGvdvFFyG.GyF“F.Gu Gvdx叱G“Gv,力工工Gu Gv6工人G,.G课后习题全解习题8-5 i.已知I n,%+y =a rc ta n ,求 上。x dx知 识 点：隐函数求导。思 路：设左端函数 为/(x,y),先求出工.,与，解：设 F(x,y)=nyjx2+y2-a rc ta n ,X口 /、1 2 x 1 )工(X,y)=c 2 2
39、 -(2 x +y _ l +g)2 *Xd、_1 2 y 1 1尸)，(工，丁)一 与7 2 ,一2 x +y 1 +P)2 XX所 以 dy=一F一=y2+xdx Fv y-x注：本题也可通过一元函数隐函数求导法则求解c 2.设 x +2 y +z 2A/xyz=0,求,dx dy解：方 法 一；(应用隐函数存在定理公式,=dx设 F(x,y,z)=x+2y+z-2y/xyz .代 入 立=.dx F、一 f3 2 2 x +y2 2x+y一乙包=_ FSy FzF,-1 _屈_ ，KF -1 _j_：故里_包 Z二 F1方 法 二：(在方程两边对自变量求偏导,方程两边同时对自变量X求偏导
40、，得=，PZ =1 _ _/，型 yjxyz 7 7 Fy_ 7 7 _ 五Z -x y dy F.x y xyz -xyy xyz注意变量z为x,y的函数）方 程 两 边 同 时 对 自 变 量y求 偏 导，得：dzxy2 +告 一（其+萼）=0,整 理 可 得（1 m）号=半=oy yjxyz yjxyz yjxyz oy xyzX.77 7 Q7 0 7 3.设 函 数z =f（x,y）由 方 程 尸（x +,y+）=0所 确 定，证 明 x+y L=z-xy y x dx dy证：方法一：（应 用 隐 函 数 存 在 定 理 公 式）设 G(x,y,z)=F(x +,令 u=x +,v
41、=y +y x y x则G,=小+小学）=工一尹:G,E.令小=哥+尸:G:Fu-+Fv+-Fy x y x产 一 X2GX _ x2yF,-zyF dz _ G；双 工 +孙2 K，&xG:x F i+y F；dy yG:近 +yF；3 z ,dz-x2yFj+zyF+xzF,-xy2F&dy xF：+yF一 Z(俎 +yF；)-xy(xFii+yF；)_-；-；-z 一盯x Fu+)冗方法二：方 程 两 边 同 时 关 于x,y求 偏 导，注意Z是X,y的 函 数。77令 u=x+-,v =y+-,方 程 两 边 同 时 关 于x求 偏 导，得：y%r，,.1 及、,z Z 1 公、C工（
42、7豕）+型 一3+最 余,故dz-x2yFu+zyFx-d x xF；+yF：d z xz F xv F又由变量苍y的对称性同样可得：y =-办 xF：+yF；dz dz-xx一+y一dx dy故2出 +0 6+位 耳,-x/F；俎 +出 z（W +用）-X），（俎+阳）俎 +yF：Z 一盯dz dz方 法 三：（利用全微分公式d z =d x +,dy及全微分形式的不变性）dx dy方程两边同时取微分得 dF（x+-,y+-）=d（Q）y x7 7故”/(x +)+K d(y +W)=Oy%/1 ydz-zdy.xdz-zdx、小Fudx-=)+E，d(y +-彳)=0 整理得y X在+&)
43、dz=(Fu+4)dx+(-Fv+马心y x x ydz=一-y工+户 工壮*一 到 汇+士 工x-Fu+xyFv xyFu+y-Fvdy由 全 微 分 公 式 可 知 包=三 生 区;dx x1Fli+xyFv3 z =f之 工+应 与 办Sy xyFu+y2Fv故dz dzx-F y dx dy一/鸿；+z)，q +x z -x y 2?xF“+yFvN（xF：+阳）一q（*+）户；）xF”+阳z -x y7分7 a74.设f+y +z =W()，其中/可导，求-,-y dx dy解：方 法 一：设 F(x,y,z)=x2+y2+z2-yf(u 其中 u=y7 7则 F；=2x,F；=2y
44、-(/()+yf u).(-4)=2 y -/(M)+y yF-=2z-yf u)-=2 z -f u)y田&F、2x故 =-=-;&Fz 2z-f()y包=_ 4O y F.2 y-/(-)+-/*(-)2/-w (与 +炉 Y)y y yyy2”*)2 k炉 中方 法 二：方程两边同时关于x,y求偏导，注意z是x,y的函数。方程两边同时对白变量x求偏导得：a?7 i a 72 x +2 z yf 一)-整理得dx y y dxdz2x9X方程两边同时对自变量y求偏导得:如喷=畤+吟）手）+翳）-八鸿=氏）2y y故 包5 y2 y2/-#(-)+(-)2”-吗)yy2 1号5.设（,u）具
45、连续偏导数，证明由方程中（c x-a z,c y反）=0所确定的隐函数z =f（x,y）满 足 包+。包=,dx dy证：在方程中（次一2（一/?2）=0两边关于不求偏导得：中(c-a 当+J (-b 与=0ox dx&_ c“小 a“+%；同样地，方程两边关于y求偏导得:Y）+“冷=。dzcR力 a“+帅；a生+疼=的+e=c（g+帅、得证。&dy 应+帅：a“+帅：a“+帅：会2 会26.设 z，2 x z +y =0,求7,dx2 dy解：方法一：(用隐函数求偏导公式)设 夕(x,y,z)=z 3 -2 x z +y，贝iJ F=-2z,F=1,F/=3 z2-lx故丝一里:，dx F：
46、3Z2-2X&F：dy F；3Z2-2X所以芸=（瓷（求导时注意此式中Z仍为X,y的函数）2 当(3/-2x)-2z(6 z 8-2)-2(3 z2+2 x彦 +4 z0 X fi x _O x(3/-2 x)2 -(3Z2-2X)20 2 z-2(3Z2+2X)+4Z3Z?_2X _ T 6x z(3-2 x)2 (3Z2-2X)3（求导时注意此式中z仍为x,y的函数）1 A 及l o z (3Z2-2X)2-6z(3Z2-2X)3方 法 二：（直接法）方程两边同时关于x求偏导得：3 z2-2 z-2 x =0 （1）整理得dx dx方 程（1）两边再关于x求偏导得：&_ 2 zdx 3 z
47、2-2x6z()2+3Z2 4-2-2-2X 4 =0dx dx2 dx dx dx224 包一6?隹)2，zS z =8%=T 6x z加-3/_ 2 x -(3Z2-2X)3同样的方程两边同时对y求偏导得:3 z2-2x+1 =0 (2)整理得dy dydz _-1dy 3 z2-2x方 程(2)两边再关于x求偏导得:6Z()2+3ZSy故-=-=-dx2 3Z2-2X(3Z2-2X)332 7.设 z5-X Z4 4-y z3=1 ,求-od x Qy(o.o)解：设 F(x,y,z)=z5-xz+y z3-1,则有：F=-z4,F y=g=5-4靖 +3户2&_ F；_ z4.F _-
48、23dx F；5 z -4尤+3 y z?dy F；5 z4-4x z3+3 y z2M 二 /ydxdy 5 z4-4 xz3+3 y z2 34z3 (5 z4-4螃 +3 y z 2)_/(2 0以 一 名?红 +3Z2+6 yz )；力 dy dy 8(5 z4-4x z3+3 y z2)2(-4 xz4+6 yz5)红3 z，(-4 xz6+6 yz5)4一，1-3 z6(5 z4-4x z3+3 y z2)(5 z4-4x z3+3 y z2)2-15Z+12XZ9-9!(5 z4-W+3yz2)3d1 z又 x =0,y =0 时 z =1，故-dxdyx +y +z =0 dx
49、 dy 8.设 v，求-,-x2+y2+z2=1 dz,dz解：方法一：由题意知，方程组确定隐函数组x =x(z),y =y(z),在方程组两边同时对Z求导得dx dy、c+1=0dz dz2 x%2 心+2z=0dz dzdx dy,+=-ldz dz整理得2 喘+2)务-2z一1 11 1 、八 4 dx-2z 2y z-y=2(y x)o 0 时一=-=-2x 2y.d z2(y-x)y-x1 一1dy _ 2x-2z _ _ x-zd z 2(y-x)y-x方 法 二：(利用微分形式不变性)由题意知，方程组确定隐函数组x=x(z),y=y(z)，在方程组两边同时求微分得dx+dy+rf
50、z=0(1)2xdx+2ydy+2zdz=0(2)将 方 程 组 中 看 为 未 知 量，(l)xy-(2)从中消去dy得，dx=-dzy-x即 虫=0dz y-x同理可得dy _ x-zdz y-x 9.设 vx+y+z+z2=0 dz dy,求-，-x+y2+z+z3=1 dx dx解：由题意知，方程组确定隐函数组z=z(x),y=y(x),在方程组两边同时对x求导得1+生dz+一+2z:=0dxdxdxl+2y包+丝+3Z2dzdxdxdx1 l+2z当2y l+3z2立+(l+2z)虫=-1整 理 得 dx dx2y-+(l+3z2)=-1 dx dx*0时-1 l+2zdy _-1