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1、高等数学一第4章课后习题详解习 题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。*(3)J +X?dx思路：根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：j(2v+x2 dx=Tdx+=p +1x3+C(4)|V x(x-3)J x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。31 _ 5 3解：J V x(x-3)J x =k八一3 J/dx=-2一+C(5)f 3+3厂+J x2+l 尤3工4+312+1 思路：观
2、 察 到 .-=3x2+后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积尤2 +1 X2+1分。解:，一上晨X2+1j3/d x +=%3+arctan x+C (6)E K X2 X2+l-l,1思 路:注意到=-=1-7,根据不定枳分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。1 +X2 1 +X2 1 +X2解：f X、dx=dx-f二t/x=x-arctanx+C.Jl+x2 J Jl+x2注：容易看出 两 题 的解题思路是致的。般地，如果被积函数为 个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。思 路：分项积分。3722M:-x2-ln lx l-x-2
3、+-x-3+C.4 2 3(8)(-2 一 7=J 1 +x2 仄下思 路：分项积分。解：(-/2)dx=3 r-dx-2 .dx-3arctanx-2 arcsinx+C.J i+x2 Ji+x2 JV i 7(9)思 路：yjxylxy/x=?看到J/4 6 =/0+=#,直接积分。(10)解:x2(l+x2)dx思 路:裂项分项积分。解：f-r-dx-f(，-二心-d x-二d x-arctanx+C.Jx2(l+x2)J x2 1 +x2 Jx2 Jl+x2 x(H)解:2x id xex-l d x =J0 坐*=k+l)Jx=+x+C(1 2)exd x思路:初中数学中有同底数基的
4、乘法：指数不变，底数相乘。显然3 /=（父 鼠解：r 3xexd x=r C3exd x=(3 A+C.J J l n(3e)(1 3)Jc Ot2x Jx思路:应用三角恒等式“c o t2 X=C SC 2 K解：|c o t2x Jx =j(c s c2=-c o t x-x +C (1 4)广3-5与J 3V思路：被积函数2 3-53”2135(2=积分没困难。解：f2-3 _52 z x=f(2GS i x d x=2 x-5+C.J 3、J 3 In 2-l n 3 (1 5)fc o s 2 XaxJ 2思路：若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幕，再积分。初 f 2%fl +
5、C OS X,1 1 .万解：c o s a -a x=x +s i n x +C.J 2 J 2 2 2 (1 6)|-d xJ 1 4-c o s 2 x思路:应用弦函数的升降塞公式，先升幕再积分。解：-5-d x=d x=s e c2 xd x=t an x +C.Jl+c o s 2x 2c o s 2 x 2 J 2,、C c o s2 x,(1 7)-d xJ c o s x -s i n x思路：不难，关键知道“c o s 2x =c o s 2x-s i n 2x =(c o s x +s i n x)(c o s x-s i n x)”解：j CS-d x=f(c o s x
6、+s i n x)d x=s i n x-c o s x +C.J c o s x-s i n x /、广 c o s 2x ,(1 8)-z-d xJ c o s x-s i n x思路：同上题方法，应 用“c o s 2x =c o s 2%-s i n 2x”，分项积分。解:c o s 2 x.r c o s2 x-s i n2 X.r 1 c 1|c s c2 xd x-j s e c2 xd x=-c o t x-t an x +C.田./1 x 1 1 +x 1 _ x 1 +x 2思路:注 意 至!被积函数 J-F J-=-/H/=/vi+-v vi-x V TT7 VT7 71
7、7应用公式(5)即可。(20)1 +c o s2 X,-a x1 +c o s2 x思路:注意到被枳函数1 +C OS2 X 1 4-C OS2 X 1 2 1-=-；=s e c*x +1 +c o s 2 x 2 c o s x 2 2则积分易得。解:,1 +C OS X.1 r 2 1 1-a x s e c xd x H1 +c o s 2 x-2 J 2t an x 4-x2+C.2、设=ar c c o s x +C ,求/(x)。知识点：考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：f J/(x)d b/(x)即可。解：等式两边对x求导数得：xf(x
8、)V 1-X-x 3、设/(x)的导函数为s i n x ,求/(尤)的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，/(x)=Js i n x t Z r =-c o s x +C j所以/(x)的原函数全体为：J()c o s x +G d京一s i n x +G x +Q。1 9ex 4、证明函数一和都是-的原函数2 c h xs h x知识点：考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：,-=e2 x,而-(1/)=exs h x=exc h x=e2 xc h x-s h x d x 2 d
9、x d x5、曲线通过点(e 2,3),且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为y =/(x),由题意可知：-/(%)=-.A/(x)=l n l x l+C；d x x又点8 2,3)在曲线上,适合方程,有3 =l n(e 2)+C,；.C=l,所以曲线的方程为/(x)=In I x I +1.6、一物体由静止开始运动，经f秒后的速度是3产(加/s),问：(1)在3秒后物体离开
10、出发点的距离是多少？(2)物体走完3 6 0米需要多少时间？知识点：属于最简单的阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：y =/Q),则由速度和位移的关系可得：/(r)=3*n/)=/+。，dt又因为物体是由静止开始运动的，./(0)=0,.C=0,.-./(f)=t3。(1)3秒后物体离开出发点的距离为：/(3)=33=2 7米;令 Z3=3 6 0 =t-。3 6 0 秒。习题4-2 1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：
11、dx =-d(7x-3y,(2)xd x-J(l-x2);(3)x3t/x =d(3x4-2);7 2 12(4)e2 xd x=-J(e2 j t);(5)=-J(5 1n l x I);(6)=-J(3-5 1n l x I);2 x 5 x 5=2 d()；(8)与=J(t a n 2 x);(9)，-d(a r c t a n 3 x).y t c o s2 2 x 2 l +9x2 32、求下列不定积分。知识点：(凑 微 分)第 换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来
12、自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！(1)/力思路:凑微分。解：j e3,d t=f e3,d(3t)=e3 +C(2)j(3-5 x)dx思路:凑微分。3 1 a 1解：J(3 5幻&=一己卜3-5犬)d(3-5 x)=-融(3 5x)4+c思路:凑微分。解：d x=-|e/(3 2 x)=，In I 3 2 x I +C.3 2 3 2解13-.,1 d(5-3 x)=-(5-3 x)与d(5-3 x)=-(5-3 x)5+C.#5 3 x 3 J 2(5)j(sin a x-)Jx思路：凑微分。X 1-=s i n a
13、 xd(a x)-b e d()=c o s a x-b e +Ca J 2 h a思路:如果你能看到d(J F)=尸d t,凑出d(VF)易解。2，解:y f td (y t)=2 s in +C (7)jta n1 0 xs e c2xd x思路:凑微分。解：J ta n，xs e d xd x=jta n1 0 xJ(ta n x)=p j-ta nH x+C.(8)d xx I n x I n I n x思路:连续三次应用公式凑微分即可。r dx解：-J xlnxln m xd(nx)_ rInxlnlnx JJ(ln llnxl)一 -=In I In In x I+CIn Inx
14、（9）ftan Vl+x2 皿J VT77思路：本题关键是能够看到一7 =是什么，是什么呢？就是d jl+x?!这有一定难度!7 i+x2解：ftan 71+x2:权J ViT7jtan Jl+x d jl+2=-In I cos Vl+x2 I +C (10)r dxJ sin x cos x思路:凑微分。解：方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx。c dx r 2dx fe e ,.-c -=.=esc 2xa 2x=In I esc 2x cot 2x I +CJ sin xcos x J sin 2x J方法二：将被积函数凑出tan x的函数和tan x的导数。dxsinxeo
15、sxC0S X 7 dx=-sec2 xdx-J tan x=In I tan x I+Csin x cos x J tanx J tanx方法三：三角公式sin?x+cos?x=1,然后凑微分。dxsin x cos x 2 9fsm-x+cos-x,=-dx=J sin x cos xsinx,-dx+cosxrcosx,rJcosx-4-cosxdsinxsinx=-In Icosx I +ln I sinxl+C=In I tanxl+C dx(1 1)-J/+edx思路:凑微分：-ex+eexdx _ dex?2+l-1 +小l+G f解：，exdx p/+1-Jl+(/)2=arc
16、tan ex+C (12)jxCOS(J2)Jx思路:凑微分。解：jxcos(x2)Jx=g Jcosx2%2-sin x2+C2 (13)xdx思路：由xd x1 2-3 f1 d x22 j2-3 x21 J(2-3 x2)6 J 2-3 1凑微分易解。解:xd x，2-3 1_ r J(2-3 x2)6 J 7 2-3 x2J(2-3 x2p J(2-3 x2)=-1 V2-3 x2+C(14)jc os2思路:凑微分。解：fc os2(G f)s i n(t)d t=c os2(t)s m(c o t)d c o t=-fc os2(a)t)d c os(。1)Jc oJ c oJ=-
17、c os (c o t)+C,3a)(15)1 j p-(l-x4)=-1 lnll-x4 I+C.思路:经过两步凑微分即可。X9c os x=-+C.2 c os x解:-X=d x=f-1 d”=f-2 0 J 1 0 J 2 T 2。1 0 J亚 丁1 sMiy (18)士jV9-4 x2思路：分项后分别凑微分即可。解J=1L专22 x 11d-/-3 8J7 9 4 7r d 4 X2a2 x 13 -8 J，9I-I-4-X-1-a r c s in(-)+j9-4 x2 +C.2 3 4 (19)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：J 2 x2-l=J（缶+1）（缶-1）=2 J（
18、缶1 -缶 +产（20）xd x(4 5 x)2思路：分项后分别凑微分即可。解 鹏厂卜占J(4-5 x)f1 J(4-5 x)-f!(4-5 x)=I n 1 4-5 x1+!+C.2 5J4-5 x 2 5J(4-5 x)2 2 5 2 5 4-5 x皿店需思路：分项后分别凑微分即可。f.f(X-l +I)2 d x 一 f(x-l)2 (x-l)1J(x-1严 J (x-1)0 0 a0 0(x-1)3 (x-1严)=f(5 7 +2 5 T +-(x-l)J (x-1)9 8 (x-l)(X-1)1 0 0 (2 2)xd xx8-l思路:裂项分项后分别凑微分即可。解:xd x _ r
19、xd x _ r l 1x8-1 -J(x4-l)(x4+l)-*2 x4-lx4+1)xd x=3 j(x4-1 X4+1111H 一 占）一 占口%匕 卜（X2-D 4 3 +力412I a r c ta n x 4-C.4 (2 3)c os3 xd x思路:凑微分。c os xd x=J s in x o解：jc os3 xd x=jc os2 x-c os xJ x=jc os2 xd s in x=j(l-s in2 x)d s inxs inx-s in3 x+C3（2 4）卜os 2（初+0）d f思路：降黑后分项凑微分。解：J c os?(c o t+(p)d t=11 +c
20、 os 2(初+9)/_c os 2(m +(p)d 2(c o t+(p)2t H-s in 2(/+(p)+C2 4 (2 5)js in 2 xc os 3xd x思路:积化和差后分项凑微分。解：J s in2 xc os 3 xJ x(s in 5 x-s in x)d x5 x d 5 x-js in xd x-c os 5 x+-c os x+C1 02 (2 6)s in5 xs in7 xJ x思路:积化和差后分项凑微分。解：J s in5 xs in7 xJ x=（c os 2 x-c os 12 x）d x=c os 2 xd 2 x-jc os 12 xd(12 x)s
21、in 2 x-s in 1 2 x+C.2 4 (2 7)jta n3 x s e c xc b c4思路：凑微分 ta n xs e c xd x=d s e c x 0解：jta n3 x c xd xj ta n2 x-ta nxs e c xd xJ ta n2x6?s e c x=j(s e c2 x-l)J s e c xxd s e c x-s e c x=-s e c3 x-s e c x+C (2 8)思路:凑微分/d x=d(-a r c c os x)。Vl-x2 rxarccos x i riarccos.v解：f；dx=-1 0 d a r c c os x=+C.i
22、o ,(2 9、)fI-a-x,/,(a r c s inx)2Vl-x2思路:凑微分一7=d x=J(a r c s in x)。d x _(d a r c s in x _ 1(a r c s in x)2 Jl-x2 J(a r c s in x)2 a r c s in x,、f a r c ta n 4 ,(3 0)I-p=-d xJ J x(l+x)思 路:凑 微 分 裁 吟 公=鲁抨=2 a r c ta n(a r c ta n)。解 髭*乎=J 2 a r c ta n d(a r c ta n4)=(a r c ta n 5/x)2+C,、r I n ta n x,(3 1
23、)I-d xJ c os x s in x思路:被积函数中间变量为ta n x,故须在微分中凑出ta n x,即被积函数中凑出s e c2 x,-I-n-t-a n；x d,x =-I n-t-a-n-x-a x,=I n ta n x s e c-2 xa x1 =I n ta n x a,ta n xc os x s in x c os xta n x ta n x-ta nx12I n ta n xd(I n ta n x)=J(I n ta n x)解:I n ta n x,r I n ta n x.r I n ta n x,-d x=-d x=-d ta n x=c os x s i
24、n x c os x ta n x-J ta nxjin ta n xd(I n ta n x)=g(ln ta nx)2 +C/c、r 1 +I n x,(3 2)-d xJ(xlnx)2思路：d(x n x)=(1 +I nx)d x解：喏篝小匕备d(xlnx)=-*+C (3 3)I-Jl-ev解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以短,则凑微分易得。-f!=-d(e-x-1)=-I n I x-1 1+C3l-ex 3-1 5-1 e-x-1方法二：思路：分项后凑微分=e-e-d x=fl/x+-d x=x-fJ _d(-ex)h e*J l-ex J Jl-e l-ex=x-l
25、nll-evl+C =x-ln(e k-v-ll)+C=x-(ln e，-I n l -I D +C =-l n k-A-ll+C方法三：思路：将被积函数的分子分母同时乘以e*,裂项后凑微分。r d x _ c e d xn-ex d e ex -ex)(T +J=lnex-J(l-eA)-ex -ex=x I nll e l+C =I nle-*ll+C/、r d x (3 4)-Jx(x6+4)解：方法一：思路：分项后凑积分。r d x _ 1 r 4 d x _ 1 r x6+4 -xhd x _ 1 /1 x5JX(X6+4)-4 J x，+4)4x(f+4)4 心.+4)1 r J(
26、x6+42 4 J x6+4=-l n l l l-lnl6+4 l+C4 2 4方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。令 x=-f 贝 U d x=d t ot t.f x _ f，1 1 付(4*1 付 6+1)5 JTT；X(一产)力一 一五 J中 一 一 五t6i i 4=-ln(l+4 r6)+C =-ln(l+)+C.(35)d xX8(l-x2)解：方法一:思路：分项后凑积分。r d x c-xs+xs J r(l-x2)(l+x2)(l+x4)J r d xFf Eb=J市 m 八 匕r l+x2+x4+x6,f d xJ x8 J(l-x)(l+x)=J(71 71 +71
27、 1、/f 1 ed,x1 1 1 1 1.1-x7 x7 5 x5 3/x 2 1 +x方法二：思路：利用第二类换元法的倒代换。令 x=l,贝ijd x=-d t ot tr d x。(2)=彳x(-力)=-J士什-j(/+/4 +/+1+为出i-i i i、，=-j“6 +tA+t暴二F万科2+l)d f J(p)d r =-J(f6 +tA+t2+1)J r -7!-l+C2 t+1 1 1 17-572j_3 x31 -x1 +xl+C3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角
28、函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。s in2 x 4-c os2 x=1;s e c2 x-ta n2 x=1.为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。(1)d xl +y j l-X2思路:令=5足人人|,先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降事公式。兀解：x=sin r,|r|,则 d x=c o s/f。d x21 +C OS t J J 1d t+c o s/d t2 c o s2 2一八+gs吟仁t .x 1 y j l x2=/-t an +C =arc sin x-/
29、:+C.(或=arc sin x-+C)2 1 +V 1-7 x(万 能 公 式t an，=in 2 1 +c o st1 C OS t _._.L 2、-,又 sin t=x H J，c o s t =y j l 一厂)sin r （2）3 xT T思路:令1=3 se c1,1 G(0,)，2JI解：令x=3 se c兀，E(0,一),2三角换元。贝i j d x=3 se c t t an td t。j -d x=13 taM 3 se c/t an td t=3 jt an2/=3 j(se c2z-l)rfrx 3 se c t(x=3 se c x时，c o sx.坛t an xX
30、 XG 9、-)3 （3）d x+1成 ,解：令x=t an，W ,三角换元。则 d x=se c2 td t o （4）d xse c2 td t3se c t=jJ se c/*.xc o s td t sin f +C =-+C1 +x2+),I I 兀思路：令工=a tan%，1 ,三角换元。兀解:令 x=a tan/JM ,则 dx=a sec2 f力。f/一 ra sec2 tdta3 sec31=/工J a sectcos tdt=4-5inr+Ca+J C (5)A T +1 .j dxXV X4+1思路：先令=x t进行第一次换元；然后令 =tan ，进行第二次换元。X +1
31、,I f X+1 .2 A 2,口.dx=.ax，令 =%得:xT T T i 2 J x2 7 7 7 7解：=d.x-I f W +1 d.u，令A =tan 八I，I J T t an,-2xt an2x,进而写成:t an0-2 x(se c2 x-1)=t an xse c2 x-t anM-2 x，分项积分即可。证 明：In=an xd x=j(t an,-2 xse c2 x-t anH-2 x)d x=jt an,-2 xse c2 xd x-jt an,?2 xd xW m t an f=t an T x _ 心.n =5时,/5=jt an5 xd x1 t an 4 x-
32、八=t an A x 1 t an 2 x+/T14 3 4 2=t an4 x-t an2 x+ft an xd=t an lx t an2 x-ln|c o sx|+C.4 2 J 4 2 1 1习 题4-31、求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、爆、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分J的原则进行分部积分的练习。(1)arc sin xd x思路:被积函数的形式看作x arc sin X,按照“反、对、帚、三、指”顺序，索函数x优先纳入到微分号下，凑微分后仍为d x。解：arc sin xd x=xarc sinx-x,】d x-xarc
33、 sinx+J J 2=x arc sin x+y/l-x2+C.(2)jln(l+x1)d x思路：同上题。解：jln(1 +x2=x ln(1 +x2=xln(l+x2=xl.n(Zl1 +x2)-(*-2(-x-+-1-)-2d x=xl1n(八l +x2)-r/-2 di x+2 f -d-x-J 1 +x J J l+x=%ln(l+x2)-2x+2 arc t an x+C.(3)jarc t anxd x思路：同上题。行 ,f d x 1 frf(l+x)解：arc t anxd=xaixt an x-x-7=xarc t an x -；J J 1 +x2 2 J 1 +x21
34、2=x arc t an x-ln(l+x)+C(4)e-2A sin 6/xJ 2思路：严格按照“反、对、塞、三、指”顺序凑微分即可。解：,e 2 x sin d x=sin d (-2 v)=-e 2 x sin +e-2v c o s-J xJ 2 J 2 2 2 2 2J 2 2 (5)jx2 arc t an xd x思路：严格按照“反、对、暴、三、指”顺序凑微分即可。解：jx2 arc t an xd x=jarc t an (g)=；/arc t an x 一 J；/1 3 1 e x3+x-x .1 3 1 fz x x,=-x arc t an x -a x=-x arc t
35、 an x (x-)a x3 3J l +x2 3 3 J 1 +x2=-u rc t u n x xd x H f-r d x=arc t an x x2 4 f-r d(14-x2)3 3J 3 Jl +x2 3 6 6 Jl +x21 3 1 2 1 2=-x arc t an x x+ln(l+x)+C.3 6 6 (/6)、fx c o sX Jd xJ 2思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。解：fxc o s=2 fxrfsin =2xsin -2 sin x=2xsin -4 sin/J 2 J 2 2 J 2 2 J 2 2x x=2xsin +4 c o s+
36、C.2 2 (7)ta n2xd x思路：严格按照“反、对、鼎、三、指”顺序凑微分即可。解：jx t an2xJ xjx(se c2 x-l)d x=j(xse c2 x-x)d x=jxse c2 xd x-J xd x(t an x)-xd x=x t an x-jt anxd x-x2=xt an x+ln|c o s x|x+C.（8）J in 2M x思路：严格按照“反、对、事、三、指”顺序凑微分即可。解：ln2xd x=x n2 x-J x 2 I n x -d x=xln2 x-2 jinxd x=xln2 x_2xln x+2 x-d xJ xxln2 x-2xln x+2=u
37、:I n2 x-2xln x+2x+C.（9）jxln（x-l）J x思路：严格按照“反、对、箱、三、指”顺序凑微分即可。解:jxln(x-lXx=J ln(x-iw=ln(x-l)-g=；/-d x=-x2 ln(x-l)-J(x+)J x思路：严格按照“反、对、暴、三、指”顺序凑微分即可。解:2xd()=-I n2 x+21n x-J x=-I n2 x+2X=-I n2 x+2x1?(I n 尤 +I n x+2)+CxX7 72 x I n x-C日11X XXXXXX (11)c o s I n xd x思路：严格按照“反、对、幕、三、指”顺序凑微分即可。解：:jc o s I n
38、xd x=xc o s ln x+jxsin ln x-rfx=x c o s I n x+jsin ln 欣x=xc o sln x+xsin ln x-fxc o s=xc sln x+xsin ln x-c o sI nxdJ x Jrxjc o s I n xd x=(c o s I n x+sin I n x)+C.(12)思路：详见第(10)小题解答中间，解答略。(13)xn In xd x(工一1)思路：严格按照“反、对、鼎、三、指”顺序凑微分即可。解：xn Inxd x=f l nx J =xw+1 Inx-d xJ J+1+1 x=-xn+l Inx-xnd x=-xn+1f
39、 l nx +C.+l J +l +1 l (+1),(14)x2e xd x思路：严格按照“反、对、基、三、指”顺序凑微分即可。解：x2e xd x=-x2e x+e x2 xd x=-x2e x-2 xe x+2 e xd x=f 2 g T -2 x e-x-2 X +c =-e-x(x2+2x +2)+2(15)x3(n x)2d x思路：严格按照“反、对、暴、三、指”顺序凑微分即可。解：j x3(l n x)2d x=j a n x)%,/)=；/(nx)2 j x4-21nx-Jx=；x 4(l nx)2-;|x3 n xd x=x4(n x)2 j l nx Jx4=-x4(l
40、nx)2-x4 l nx +-x4 r f x =-x4(l nx)2-x4 l nx 4-xi d x4 8 8 J x 4 8 8 J=x4(l nx)2 x4 l nx +x4+C=-x4(21n2 x-l nx +)+C.4 8 32 8 4 (16)j1 0 ln Xdx思路：将积分表达式 x、d x写成In In xd(ln x),将In%看作一个整体变量积分即可。解：rln n x_ R nl nx d(l nx)=Inx l nl nx-f l nx-d x=n xln n x-f JxJ x J J In xx J xIn x l n In x In x +C=In x(l
41、n In x 1)+C.(17)j x s i nx c o s x公思路：严格按照“反、对、暴、三、指”顺序凑微分即可。解：jxsinxcos(一;c o s 2x)=-%c o s 2 x +：j c o s2 xd x-x c o s 2 x+-c o s 2 xd 2 x=-x c o s 2x +-s i n 2 x+C.4 8 J 4 8 (18)x2 c o s2 d xJ 2X +c o s X思路：先将c o s?一 降塞得-,然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、甯、三、指”顺2 2序凑微分即可。解：j x2 c o s2 d x-j(x2+x2 c o s x)d x
42、-1.x2Jx +Jx2 c o s xd x2 2 2 2 2=x3+x2Js i nx =-x3+-x2 s i nx-lxs i n xd x6 2 J 6 2 2 J=x3+x2 s i nx+f x d c o s x =丁 +s i nx +x c o s x-f c o s x d r6 2 J 6 2 J=x3+x2 s i n x 4-x c o s x -s i n x +C6 2 (19)j(x2-l)s i n 2 xd x思路：分项后对第个积分分部积分。解：f(x2-l)s i n2x Jx =f x2 s i n 2 xd x-s i n 2 xd x-x2d(-c
43、 o s 2x)+c o s 2 x=x2 c o s 2x +f2 x c o s 2 xd x+c o s 2 x=x2 c o s 2x +xd s i n 2 x2 2 J 2 2 2 J1 c 1 2 c 1 c+c o s 2 x=x c o s 2x +x s i n 2 x s i n 2 xd x+c o s 2 x2 2 2 2 J 2=-x2 c o s 2x +x s i n 2x +c o s 2x +c o s 2x +C2 2 4 2=x c o s 2x +x s i n 2x +c o s 2x +C=(x s i n2x )c o s 2x +s i n2x
44、 +C.2 2 4 2 2 2 (20)思路：首先换元，后分部积分。解：令f =则x =edx=3rdt=3 et2dt=3 jt2der=3t2e-3 2tedt=3t2e-3 2td e=3t2e-6 e t+6 ed 3 t2e-6et+6e+C=3旧 产 6e表#7+6e孤+C=3再 诉 一 2&+2)+C (21)arcsinx)2dx思路：严格按照“反、对、事、三、指”顺序凑微分即可。解：!(arcsin x)2dx=x(arcsin x)2-jx-寸 ：%=x(arcsin x)2+j：c s i n：d(_x2)_ x(a r c sjn xy +2 jarcsinxJ(V l
45、-x2)=x(arcsinx)2+25/l-x2 arcsinx-2 JJ-、dxyjl-=x(arcsinx)2+2yh-x1 arcsinx-2 d =x(arcsinx)2+2 yjl-x2 arcsinx-2 x +C.(22)sin2 xdx思路：严格按照“反、对、箱、三、指”顺序凑微分即可。解：方法一：/sin2 xdx=|sin2 xdex=ex sin2 x-jev2sinxcosxdx=ex sin2 x-/sin 2xdx*:sin Ixdx=jsin 2xdex=ex sin 2x-je 2 cos 2xdx=ex sin 2 x-2 jcos 2xdex=ex sin
46、2x-2e cos 2 x-4 Je sin 2xd x*.C ,e*(sin2x-2cos2九)一/.J e sin 2xdx=-+Cex sin2 xdx=(5sin?x-sin 2x+2cos 2尤)+C方法二：e r si.n2 xd,x =fI e r 1 C0s2x a,x =1 re x a.x1 re .cos2_ xa,x =-1 e v 1 r e rcos2xdxJ J 2 2 J 2 J 2 2Jex cos 2xdx=cos 2xdex=ex cos 2x+lex 2sin 2xdx=ex cos 2x+2|sin 2xdex=ex cos 2x+2ex sin 2
47、x-4 jex cos 2xd x.Jr d x cos 2八xd，x =-e(-c-o-s-2-x-+-2-s-i-n-2-x-)-+C/.ex sin2 xdx=-ex sin2 x-ex cos2x+CJ 2 5 10(23)l n(l +x)d x解:l n(l +x)-d x思路：严格按照“反、对、暴、三、指”顺序凑微分即可。d x令f =则=咎 I1f丁 二 町 力 一 町 士/t=4r-4ar c t anr-C=4 y x-4 ar c t an y/x-C所以原积分n(l+_ 2c in(i +1)_+4 ar c t an y x+C y/x (24)J-d x思路：严格按
48、照“反、对、鼎、三、指”顺序凑微分即可。解：,项：/)3=j n(l +e M(，)=/(1 +)+=l n(1 +e)+J 7 d=-e-J.i n(l +ev)-J-d(l +e-A)=-e-l n(l +ex)-l n(l +e-x)+C.注：该题中f一d x的其他计算方法可参照习题4-2,2(33)oJl+ex、r i 1 +X .(25)I x In d xJ 1-x思路：严格按照“反、对、索、三、指”顺序凑微分即可。解：f x h i dx =J(x2)=x2 In 1+X 12 1-X 1-X +1+XJ 1-x J l-x 2 21-x 21 +x (1-X)2d x1 1 +
49、x r x2=-x In-72 l-x J l-x21 21 1 +九 1 f=x In-+x 2 l-x 2 J-d x=-x2 In2 1 1-1-l-x 1+xl +x-+l-x)d=x2 In+x -5 1-l n(l -x)+l n(l +x)1x1 *1 +X 1,1 +X 厂 1 z 9 八 l +x 万=-x In-l-x In-4-C=(%-l)l n-+x +C2 l-x 2 l-x 2 l-x注：该题也可以化为 卜 仙 广 土 氏=Jxl n(l +x)-n(l-x)Mx再利用分部积分法计算。x l n=j x l n(l +x)-l n(l -x)d x=j l n(l
50、 +x)-l n(l -x)dx2 f 1+x e x2 r 1 1 n,x21 1 +x r x2,In-+-d x=In-d x2 1-x J 2 1+x 1-x 2 1-x Jl-x2反 4+2 1-x1-x2 2-xl +x1-1-1+x 1-xd xX2 t 1+X 1 f 1+x -=In-F x In-+C2 1-x2 1-x(26)r d xJs i n2x c o s xE c Ad X思路：将被积表达式-s i n2x c o s xd x写成-2 s i n x c o s xs ec2 xd x d t an x-=-，然后分部积分即可。2s i nx 2s i nx解