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1、目录穿插滚动练（一）.1穿插滚动练（二）.10穿插滚动练（三）.22穿插滚动练（四）.31穿插滚动练（五）.41穿插滚动练（六）.52穿插滚动练(一)1.(2013山东)已知集合/=0,1,2,则集合y d/中元素的个数是()A.1 B.3 C.5 D.9答 案 C解析 x-y e -2,-1,0,1,2.2.已知集合4=xy=lg(xf),B=x|x2c x 0,若/aB,则实数c 的取值范围是()A.(0,1 B.1,+8)C.(0,1)D.(1,+8)答 案 B解析 方 法-A=xy=lg(x-x2)=x|x-x20=(0,1),B=x|x2-cx0=(0,c),0 i cx因为/U 8
2、,画出数轴，如图所示，得 c l.应选B.方法二 因为 4=x =lg(x-f)=任k-/0 =(0,1),取 c =1,则 5=(0,1),所以NU8成立，故可排除C、D;取 c =2,则 8=(0,2),所以ZW 8成立，故可排除A,选 B.3.命 题“若a=?贝 卜。sa=T”的逆命题是()兀A.若a=,则c osaW B.若a W?贝 iJc osaW(I兀C.若c o s a=g,则1TTD.若c o s a#,则a#答 案 C解析 命 题“若 a=?则 c os a=g 的逆命题是“若 c os a=g,则 a=；”.4.(2013 湖南改编)设函数/(x)=lnx,g(x)=f4
3、X+4,则方程X x)-g(x)=0的实根个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答 案 C解析 由.Ax)-g(x)=0,得fix)=g(x).在同一坐标系内作出函数y=J(x)与y=g(x)的图象，由图知bc B.bacC.acb D.cab答 案C1 log,0.3 lo 10解析 a=510 f c 3-4,Z =510 8 4 3 6,c=-=5 3y,5_10又 log23.4l,log43.61,故 ha,b log3-y,因此bca.6.设O vavb,则下列不等式中正确的是()B.ayahhC.alahbJ D.yaha-答案解析0ayaa=a,又，方 区芸，所以ay五 0的
4、解集是 x|0 xv2；A啦)是极小值，.火会)是极大值；次x)没有最小值，也没有最大值.A.B.C.D.答 案D解析/(x)=(2A-x2)eT=(2x-x2)ev+ex(2-2x)=er(2-x2),令/(x)=0,贝 ijx=4.可 得 当 或 广-也 时，/(x)0,当-小x0,据极值概念可得是正确的，结合图象可知函数有最大值.8.如图所示是函数段)的 导 函 数/(x)的图象，则下列判断中正确的是(1=加）!/函数段)在区间(一 3,0)上是减函数B.函数段)在区间(一3,2)上是减函数C.函数/(x)在区间(0,2)上是减函数D.函数段)在区间(一3,2)上是单调函数答 案 A解析
5、 当x e(-3,0)时，/(x)0,则/(x)在(-3,0)上是减函数.其他判断均不正确.9.设函数段)在R上可导，其导函数为洪(x),且函数y=(lx)T(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成 立 的 是()A.函数段)有极大值/(2)和极小值4 1)B.函数危)有极大值A 2)和极小值/(I)C.函数段)有极大值4 2)和极小值八一2)D.函数危)有极大值八-2)和极小值4 2)答 案 D解 析 利用极值的存在条件判定.当 x 0,得/(x)0;当-2 x l 时，7 =(1-x)f(x)0,得/(x)0;当 l a 0,得/(x)0;当 x 2 时，j；=(l -x f(x)0,工危
6、)在(-8,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数，函数人x)有极大值人-2)和极小值火2).10.设函数夕=/仁)在R上有意义，对于给定的正数”，定义函数/x)=,则M,j(x)M称函数面)为危)的“挛生函数”.若给定函数危)=2 一，M=,贝以0)的值为()A.2 B.1 C.y/2 D.一也答 案 B解析 由题意，当人x)=2-dl,即x W-1或时，/w(x)=2-x2.当-1*1 时，欣)=1.伙)=1.11.(2 0 14 课标全国I )设函数/(x)=则使得危户2 成立的x的取值范围是答 案(一 8,8 解析 当 时，x-K
7、O,ei e=l W 2,.当x l 时满足 x)W 2.当工 2 1 时，/W 2,X23=8,1X8.综上可知X(-8,8 .V-1,x l,1 _12.(2 0 13 湖南)已知a,h,c 2 R,a+2 b+3 c=6,则/+4山+%2 的最小值为.答 案 12解析(x+y+z)2=x2+y2+z2+2 x y +2 y z+2 zx 3(x2 +y2 +z2),a2+4 b2+9c+2 b+3 c)2=寺=12.+4/+9。2 的最小值为12.x+y 2 0,13.(2 0 13 浙江)设2=h+力其中实数x,y满足 x-2 y+4 2 0,、2 xy4 W 0.若z的最大值为12,
8、则实数%=.答 案 2解 析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当OW-kg时，直线歹=-f c r +z 经过点M(4,4)时z 最大，所以社+4=1 2,解得女=2(舍去)；当一2；时，直线歹=-米+z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2,不合题意；当-4 0,得 心-1.12所以a -5 时，4)在q,+8)上存在单调递增区间.1 5.设危)是定义在R 上的偶函数，对任意xGR,都有A x 2)=加+2),且当xe-2,0 时，治)=(夕 T,若在区间(-2,6 内关于弼方程危)-1 0&/+2)=0(心 1)恰有3 个不同的实数根,贝 I。的取值范围是.答 案即,2)解
9、析 由 l)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程外)-1 0 以(元+2)=0(。1)在区间(-2,6 内恰有3个不同的实数根，必 需 且 只 需 霹：所 以 普;解 得 加 91 6.设全集是实数集R,4=X|2%2-7X+3W 0,B=x|x2+a 0 .(I)当。=-4 时，求/C l8和Z U 8；(2)若(R/)C 8=8,求实数”的取值范围.解(1)：/=x|；Wx W3 ,当 a =-4 时，8=x|-2JC2,.,.A D B=x|x 2 ,Z U 8=x|-2 x W3 .(2)R/=x|x 3 ,当(CR/)C 8 =8 时,8 1R4,即/A 8 =。.当8=0
10、,即。0时，满足BUCR/;当 BH,即 q 0 时，B=x ,要 使 蛇(近，需 小 工 玲解得综上可得，实数”的取值范围是-；,+8).f x2x6 0,1 7.设命题p：实数x 满足*2 4 亦+3/0.(1)若。=1,且p 八q 为 真,求实数x 的取值范围；(2)p 是东弟夕的充分不必要条件，求实数。的取值范围.解 由 X2-4 ax+3 2 0,得(x -3 a)(x -a)0,所以 a x 3 a.当。=1 时，1 4 0,x 2,即 2 x W3.所以夕为真时实数x的取值范围是2 x W3.1*3,若P 八夕为真，则-r 2 x q且 p.设 Z=x|x W 或 x 2 3 a
11、 ,8=x|x W2 或 x 3 ,则/B.所以 0 3,即 lv W2.所以实数。的取值范围是(1,2 .1 8.(2 0 1 3 福建)已知函数4 x)=x-a lnx(aeR).(1)当a=2 时，求曲线y=y(x)在点4(1,火1)处的切线方程；(2)求函数/(x)的极值.解 函数y(x)的定义域为(0,+8),f(X)=1 -(1)当 a=2 时，y(x)=x-2 1 n x,2/(x)=l-*0)，因而/(1)=1,/(1)=-L所以曲线y=y a)在点/(i,y(i)处的切线方程为y -I =-(x -1),?P x+y -2 =0.a x-a ,由/(x)=1-厂 w-,x 0
12、 知：当aW O时，/(x)0,函数仆)为(0,+8)上的增函数，函数兀v)无极值;当a 0 时，由，(x)=0,解得x =a又当 x G(0,0 时，/(x)O,从而函数./(x)在 x =a处取得极小值，且极小值为y(a)=a-a ln a,无极大值.综上，当aW O时，函数,危)无极值；当。0 时，函数y(x)在 x =a处取得极小值。-o ln a,无极大值.1 9.若x,y满足约束条件“xy，-1，、2xyW2,(1)求目标函数z=1 x-y+g的最值;若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值，求。的取值范围.解(1)作出可行域如图，可求得N(3,4),B(0,l),C(
13、l,0).平移初始直线5-y =0，过4(3,4)时，z取最小值-2,过C(l,0)时，z取最大值1.；.z的最大值为1,最小值为-2.直线or+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知-1 -衿，解得-42.故所求。的取值范围为(-4,2).2 0.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的费用和保管费的总费用/(x)；(2)
14、能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.解(1)设题中比例系数为上 若每批购入x台，则共需分差批，每批价值为20 x元.a A由题意得於)=q4+Z?20 x,由 x=4 时，y=52 得攵=144*=+4x(0 x36,xN ).144*(2)由(1)知/(工)=二一+4%(0436,x N ),.人。)2 2 y X 4；=48(元).144当且仅当k=4 即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.21.(2014广东)已知函数/)=$3+/+办+ig e R).(1)求函数危)的单调区间；(2)当。0 时，即 a 0,解得 x-1 +y
15、/1 -a；令 f W 0,解得-_y/1_-1 +yjl-a;所以加)的单调递增区间为(-8,-1 -1 -。)和(-1 +1 -5+8)；/(%)的单调递减区间为(-1 -a,-1 +y/l-a).综上所述：当时，火x)在R上单调递增；当q v l时，加)的单调递增区间为(-8,-1工)和(-1 +工，+8),於)的单调递减区间为(-1-J T工，-i+五工).(2)当 a0 时，%i=-1 -y/1-a 0.当-i+y r u e i时，即Q W-3时，人 工)在。1)上单调递减，不满足题意；当-i+j T Uv i时，即-3。0时，心)在(0,-1上单调递减，在(-1 +-a,1)上单
16、调递增，所以7(x)min=穴_ I+yj _ a)，由题意知T +y/l 所以。77(x)max=max伏0)，/(I);/(0)=1,/(l)=6f+y7 4a.当 +时，即-时，7U)max=/(l)1 ,7令/伤)勺(。)，解得一五，4 4 7 5又因为-?W a 0,所以-5 W 4 V-正 且QW-不7 4b.当 Q+铲 时，即 时，/x)max=/0).1 25 4令内)次1),解得一五25 5 5 7 1 1综上所述，当4 6 -正0 -4或-4 -五时，存 在x()G(0,2)U(2 使 得 0 时，c os 0=坐；当 /c os 0=-g.4又。0,兀,所以 sin”,.
17、4从而|aX加=2X5X=8.3.（2014天津）设a,b R,则“A b”是 aaa bbff 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答 案 C解 析 当6Vo时，显然有a baa bb；当人=0 时，显然有a b bb当b0时，有同 向，所以Q6OQ|M昨昨综上可知0。0 4 同 帅|,故选C.(牙，x244.已知函数危)=j 2，,则/(2+log23)的值为()式 x+1),x4A-24 B-12 C-6 D3答 案A解析 因为 2+log234,所以负2+1 唯 3)=(1)3 =lx(1)3 =lxl =5.设函数/（x）f co s（2x+
18、e）+sin（2x+“|p|(x)=2sin(2x+g+9)其图象关于直线x=0 对称,71 71八 0)=2,.+8=E +5，攵 Z.,兀-r 一 兀 .兀(p=k7l+%乂,(p=.MX)2c os 2 x.；.歹=）的最小正周期为兀，且在（0，习上为减函数.6.在ABC中，E、尸分别为/2、NC的中点.P 为EF上任一点,实数x,y满 足PA +x PB+1=0.设 （?,/XPB C,/XPC A,RIB的面积分别为S,S,S2,S3,记?=*,Vk J J=A2,y=A3,则22%取最大值时，2x+v的值为（）3 3A.1 B.1 C.2 D.2答 案 Dc 1 1解析 由题意知盛
19、=&=；,即S|=；S.所以 S2+S3=S-S=g s,两边同除以S,得 胃 义=/即怒+2 3 =；，Q N 乙所以3 =&+2 3 2 2 y/3,所以沏丸忘表,当且仅当&=义3=此时点尸位于E 尸的中点，延长工尸交8C 于。，则。为B C 的中点,由 居+x 丽+夕元”0,得 x 丽 +屈=-PA=A P,A P=PD =；（两+PC）=辆+我,1 1 3所以X=,y =y所以2 x+y =选 D.7 .设函数/(x)=3，g(x)ax2+bx(a,b&R,a W O).若y=/(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点4(x i，y),B(X2,y2),则下列判断正确的
20、是()A.当Q 0时，Xi+x 2 0B .当。0,为+y 2 V oC.当。0时，X+x20时，X+x 2 0,乃+乃0答 案 B解析 由题意知函数.危)=；，g(x)=ax +bx(a,6R,。#0)的图象有且仅有两个公共点A(x i，乃)，6(X2，%)，等价于方程：=G?+6 x(,bR,QWO)有两个不同的根修,必，即方程 3?+b d-1 =0 有两个不同非零实根和 孙因而可设冰3 +bx 2 -1=a(x -x i)2(x -工 2)，即 ax3+b?-1 =a(x -2 x x +x fx -+2 x x 2 x -必需)，.b=a(2 x -x i)X：+2XI%2 =0，-
21、=-1,+2 工 2 =，公2 0，当 6 f0 时，x20,.*.X +X2 =_ X2 0,X|0.当a 0时，M 0,Xo,.1 1 修+八乃+”=丁 丁 刀”8 .如图所示，A,B,C 是圆。上的三点，线段C O 的延长线与线段 的延长线交于圆。外的点。，若 沆 =加 为+。8,则m+的 取 值 范 围 是()A.(0,1)B.(1,+8)C.(-8,-1)D.(-1,0)答 案 D解 析 依题意，由点。是圆。外一点,可设质)=人质(乃1),则 5 b =协 +XB A=2 04+(1 -X)OB.又 C,0,。三点共线，令历=而/1),则 花=OA-OB k ,1),;1 -;所以?
22、=一，=-.2 1 2 1故加+=-e(-1,0).故选 D.9 .(2 01 4 山东)已知x,y 满足约束条件当目标函数Z=QX+勿(苏 0,6 0)在该约束条件下取到最小值2时，J+b?的最小值为()A.5 B.4 C.4 D.2答 案 B解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示.x -y-1 =0,x=2,由I 八解得 2 x-y-3=0,L y=1，所以z=o r+在 4(2,1)处取得最小值，故 2 a+b =2小,d +川=J +(2 巾-2 a)2=(y 5 a-4)2+42 4.方法二 画出满足约束条件的可行域知，x-y 1 W0,、2 x-y 3 2 0,邓当目标函
23、数过直线x-y-l=0 与2 x-y-3 =0的交点(2,1)时取得最小值,所以有2。+b =2事.又因为d +/是原点(0,0)到点3人)的距离的平方，故当寸人+，为原点到直线2a+6-2小=0 的距离时最小，所以必+，的最小值是=2,所以。2+/的最小值是4.故选B.10.(2014福建)若函数y=logX a。，且。灯)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答 案 B解析 由题意得y=lo g R a 0,且 aW l)的图象过(3,1)点，可解得。=3.选项A 中，y=3x=(1)v,显然图象错误；选项B 中，y=x 3,由早函数图象可知正确；选项c中，y=(-x)3=-x3,显然
24、与所画图象不符；选 项 D 中，y=Iog3(-x)的图象与y=logjx的图象关于y 轴对称.显然不符合.故选B.11.己知N,B,C三点的坐标分别是(3,0),8(0,3),C(c os a,sina),a e 刍 为 若 就 比=f,则2si：黑 i：2a的值为-o答 案-I解析 由4C=(c o sa-3,sin a),BC=(c os a,sin a-3),得ACBC=(c os a-3)c os a+sin a(sin a-3)=-1,.sina+c osa=j,/.2sin ac os a=一.sin a1 +1 +tan a c os a-)=-)2sina+sin 2 a 2
25、sin-a+2sin tzc os a=-1-=92sin acos a 5,x+y 2N0,12.（2014安徽）不等式组上+2y-4W 0,表示的平面区域的面积为、x+3y220答 案 4解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,x+3y-2=0,由 得 4(8,-2).x+2厂 4=0,由+卜-2=0 得 8(0,2).又卬|=2,Sm!=|x 2 X 2 +1x2X 2=4.13.（2014辽宁）对于c 0,当非零实数a,6满足4/-2/+/=0且使|2a+/|最大时，+彳2+：4的最小值为-答 案 一 1解 析 由 题 意 知，c=4 a2-2 ab+b2=(2 a+b)2-6
26、ab,.(2 a+b)2=c+6 a b.若|2a+6|最 大,则 物 0.当 a 0,b 0 时，2,2。+6 2(2 a+6)2=c +6 ab=c +3 X2 a，bWc+3(一广，(2 a+Wc +/2 夕 +f t)2,(2 +6)2 4的|2夕+6反 2代，当且仅当人=2夕，即(2 时取等号.力=正1 2 4 2 2 4此 时 不 尸/+赤+7 当 a0,b 0 时，(2 a+b)2=c+6 ab=c +3(-2a),(-b)1 2a-b 2W c +3(2 )，(2 a+b)2 W 4 c,|2 a+b|W 2 五,即-2 a-6 W 2&.o=_ 也当且仅当6 =2,即，“2
27、时取等号.、b=一,此 电+介 5-1-/+%1=4一扪-1,当班,即c=4时等号成立.综上可知，当 c=4,7=-1,b=-2 时，(1 +1 +)min=-1.21 4.设函数/)=/+�).当时，方程危)=4 0 的 实 根 个 数 为.答 案 3解析 令 g(x)=/(x)-负4)，即 g(x)=+=(?-整理得：g(x)=(x-a)(ax2+a x-2).显然 g(a)=0,令 h(x)=ax +ax -2.,/?(0)=-2 0,；.(x)在区间(-8,o)和(0,，各有一个零点.因此，g(x)有三个零点，即方程负x)=X 0 有三个实数解.1 5.(2 0 1 4 安徽)若直
28、线/与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线/在点尸(刈，泗)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P 处“切过”曲线C.下 列 命 题 正 确 的 是(写出所有正确命题的编号).直线/：y=0 在点尸(0,0)处“切过”曲线C：y=X3；直线/：=-1 在点户(一 1,0)处“切过”曲线C：y=(x+l)3；直线/：y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=sinx；直线/：y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=tanx；直线/：y=xT在点尸(1,0)处“切过”曲线C：y=nx.答 案 解 析 中由y =f 得/=3 P又当x =0时，切线斜
29、率为0,故函数y =d 在点(0,0)处的切线方程为y =0.结合图象知正确.中由 y =(x+1)3 得 y =3(x+I)2.又当x=-1 时，切线斜率为0,故函数y =(x+1)3 在点(-1,0)处的切线方程为y =0,故不正确.中由y =sinx 得=cos x.又当x =0时，切线斜率为1,故函数y =sinx 在点(0,0)处的切线方程为y =x.结合图象知正确.中得V=消 又当x =0时，切线斜率为1,故函数y =tan x在点(0,0)处的切线方程为y =x.结合图象知正确.中由y =l nx 得=1.又当x =1 时，切线斜率为1,故函数y =I n x在点(1,0)处的切
30、线方程为y =x,结合图象可知不正确.1 6.(2 0 1 4 山东)已知向量=(7,cos 2 x),ft=(sin2 x,n),函数且y=/(x)的图象过点后，小)和点(，2).(1)求冽,的值；(2)将y=/(x)的图象向左平移夕(0 夕 兀)个单位后得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解 由题意知y(x)=a =msin 2 x +“cos 2 x.因为y=7(x)的图象过点(去，虫)和(专，-2),/=msin.+ncos 不一 .4 兀 4 7 t-2 =w sin+“cos 于即w：-2 =-2
31、w解得，m 二 小,n=I,(2)由(1)知 fix)=小 sin 2 x+cos 2 x=2 sin(2 x +6.由题意知 g(x)=J(x+9)=2 sin(2 x +2(p+3.设y =g(x)的图象上符合题意的最高点为(肛2),由题意知*+1 =1,所以而)=0,即到点(0,3)的距离为1 的最高点为(0,2).J T将其代入y =蛉)得 sin(2 p +)=1,T T因为 0 9 兀，所以8 =%，兀因此 g(x)=2 sin(2 x +1)=2 cos 2 x.由2 4 兀-兀左WZ得7 1所以函数=g(x)的单调递增区间为 E-去 E ,kZ.1 7.已知向量a=(c os
32、cox,si n c ox),h=(cos cox,小 c os1 ITc ox),其中0 6=1,S&A B C=y f求。的值.解(i y(x)力-弓=c os2 x +/si n cox cos cox1 +c os 2 cox y 3 .1=-2-+2 si n 2 s x -2当时，si n(詈+=1,即 等+/=E+$AGZ.3 o 20 co 2,/.=1.；/(x)=si n(2 x +。令 一，+号 +2 E,k GZ,2.6 2k it -与 WXW ATT+左 Z,J oj r j r函数x)的单调递增区间为 h r-亨 E+J,k S(2 般)=si n(1+骷 h在
33、4 3 C 中，0 4 兀，TA+摄 :兀，O O O,兀 兀*1亍兀3-A由 SA ABC=；6 c si n/=小，b=1,得 c =4.由余弦定理得/=4?+12-2X 4X 1XCOS：=1 3,故 a=y V3.1 8 .若函数y=/(x)在x=x o处取得极大值或极小值，则称x o为函数y=/(x)的极值点.已知a,6 是实数，1 和一 1 是 函 数/)=丁+以 2+加的两个极值点.(1)求a和b 的值;(2)设函数g(x)的导函数g (x)=/(x)+2,求g(x)的极值点.解(1)由题设得/(x)=3 x2+l ax +b,所以=3 +2 a+6 =0(-1)=3-2 +6
34、=0解之得 7 =0,b=-3.由知人x)=f-3 x.因为於)+2=(X-1)2(X+2),所以 g (x)=0 的根为 Xt=x2=1,%3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是1 或-2.当 x -2 时，g (x)0,故-2 是 g(x)的极值点.当-2 l 时，g (x)0,故 1 不是g(x)的极值点.所以g(x)的极值点为-2.1 9 .已知函数危)=1 0&(4 +1)+丘伏GR)是偶函数.(1)求人的值；(2)设g(x)=log4(t r2”一,若函数/(x)与g(x)的图象有且只有,个公共点，求实数。的取值范围.解(1)由函数寅X)是偶函数可知，寅 x)=A-x),所以
35、log4(4X+1)+fc c =Iog4(4 v+1)-fc c,4A+1、i所以log4 尸+j=-2 k x,即x =-2 k x对一切x R恒成立，所以=(2)函数加)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4,+1)-5=l o g 4(a 0-有且1 4只有一个实根，即方程2、+*=2-有且只有一个实根.令 7 =2 0,则方程(夕-1)F -at -1 =0有且只有一个正根.3当a=1 时，则/=-不 不合题意；当QW I时，J =0,解得或-3.31若。=不 则，=-2,不合题意；若。=-3,则 =；-1若方程有一个正根与一个负根，即一 7 0,a-1解得综上所述，
36、实数。的取值范围是-3 U(1,+8).2 0.某厂生产某产品的年固定成本为2 5 0万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x).当年产量不足8 0 千件时，C(x)=1f+1 0 x(万元)；当年产量不小于8 0 千件时，C(x)=5 1 x+1 ：0 14 5 0(万元)，每件商品售价为0.0 5 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润万元)关于年产量M 千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解(1)由题意可得(x)=0.0 5 X 1 0 0 0 x -(|x2+1 0 x +2 5 0),(X x 8 0,1 0
37、0 0 0 、0.0 5 X 1 OOOx -(5 1 x +-1 4 5 0 +2 5 0),x 8 0,即 L(x)1 ,-%2+4 0%-2 5 0,0 x 8 0,1 0 0 0 0 、1 2 0 0-(x +),x 2 8 0.(2)当 0 x 0 成立.解(1)由题意，得 g(x)=ln x +j x 0,Y 1所以 g (x)=,且 x 0,令 g (x)=0,得 x=L当 x 6(0,l)时，g(x)0.故(1,+8)是 g(X)的单调增区间，因此，x=1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点.所以最小值为g(l)=1.(2)由(1)知-ln x +x,设 h
38、(x)=g(x)-=2 1 n x -x +p(x-I)2则 h(x)=-2-,且 x 0.当 x=l 时，/?(l)=0,即 g(x)=g(9；当 x G(0,l)U(l,+8)时，h(x)(l)=O,即 g(x)g(g)，当 x 1 时，A(x)/?(1)=O,即 g(x)0 成立 Qg（a）-1.则 In。:一 1%即 In a l,所以Oqve.故实数。的取值范围是（0,e）.穿插滚动练（三）1.已知集合/=x|log2X l,5=x|Oxc,其中c X).若ZU 8=8,则c 的取值范围是()A.(0,1 B.1,+8)C.(0,2 D.2,+8)答 案 D解析 A=x|0 x2,由
39、Z U8=8,得 4 MB.所以c 2,故选D.若为a）=a,则实数a的值为（）A.1 B.-1C.一2或一 1 D.1 或-2答 案 B解析 当 2 0 时，y（7）=；X q-1 =a,a=-2,不合题意，舍去；当ax（2外。引一2,2）的最大值等于（“”和“一”仍为通常的乘法和减法）（）A.-1 B.1 C.2 D.12答 案 cx-2(x -2,1),解 析,A)=2u/1 x=2 时有最大值，x-2(x(1 2J),所以函数最大值是2.5.若角a的终边上有一点P(4,a),月.sin orc os a=4，则。的值为()A.4小 B.44C.-4 小 或 一 招 D.小答 案 C解析
40、 依题意可知角a 的终边在第三象限，点 P(-4,a)在其终边上且sin a-c os a=乎，得J+i6=号，即小/+16 +16小=0,解得。=-4 4 或故选C.6.已知等差数列 为 的前项和为S”%=5,昆=1 5,则数歹 的前 00项和为()1 a-U100 99 99 101AToT B而 cloo D W0答 案 A解析 设等差数列。的 首 项 为 公 差 为 H+4d=5,Va5=5,S5=15,：.5X(5-1)5m+Ld=15,.M i.；%=0 +(_ 1 )=.-1-1-=1 -1-c i/”+1 n(n+1)n +1 数 列 晨 的前100项和为1+呆 呆 +志$寻畏
41、7.颂 x)是一个三次函数，/(x)为其导函数，如图所示的是y=x/(x)的图象的一部分，贝 依x)的极大值与极小值分别是()FA.八1)与次一 1)B 人1)与犬1)C.4-2)与42)D.义2)与A2)答 案 C解析 由图象知/(2)=/(-2)=0.*/x2 时，y=x-f(x)0,.,.f(x)0,.力=危)在(2,+8)上单调递增;同理，段)在(-8,-2)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，.,沙=火0 的极大值为犬-2),极小值为/(2),故选C.8.设函数/a)(xGR)满足人一动=加)，於+2)=於)，则y=Xx)的图象可能是()4yAB斗yCD答 案 B解析 由 于 火-
42、刈=/)，所以函数=段)是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A、C 错误；由 于+2)=)，所 以 7=2 是函数y=/(x)的一个周期，D 错误.所以选B.9.若 0,6 0,且函数上)=4/一加一2bx+2在x=l处有极值，则 的 最大值等于()A.2 B.3 C.6 D.9答 案 D解 析/(x)=12x?-2ox-2b,7(x)在 x=1 处有极值，:，(1)=12-2。-26=0，.a+/?=6.又 a0,b0,J.a+h2yah,：.2y)W6,:,a b W 9,当且仅当a=b=3 时等号成立，/的最大值为9.x一歹 20,2x+yW2,1 0.若不等式组 表示的平面区域是一个三角
43、形，则。的 取 值 范 围 是()4A.。与 B.0 aWl4、4C.IWaWg D.Ov W l或答 案 D解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图.此时可行域为ZO 8及其内部，2 2交点B为q,?),4故当x +y 过点8时，4所以。2?时可行域仍为力。&当 x +y =Q 恰过4 点时，t z=1 +0=1,且当0 W l时可行域也为三角形.4故 0QW1 或11.已知集合4 =x|2Y8,x eR,B=x x m+,%e R ,若成立的一个充分不必要的条件是，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是.答 案(2,+8)解析 A=x 2v 8,x eR =x -l x 3,即，%
44、2.12 .数列1,I，I，I，I，I，的前100项的和等于.答 案 詈解析 S i o o=1 X 1 +2 X；+3 X：+4 X；+13 X 七+9义士=詈.13 .命 题T x W R,2 x 2 3办+9 0”为假命题，则实数a的 取 值 范 围 是.答 案一2 巾,2 2 解析,(3 x&R,2.P -3公+9 l时，X 0 1，因此 X W(-8,-1)U(1,+8).15 .设S“是数列%的前项和，若 金(“6 N)是非零常数，则称数列%为“和等比数列”.若 数 列 2%是首项为2,公比为4的等比数列，则数列%(填“是”或“不是”)“和等比数列”.答 案 是解 析 由题意2&=
45、221,即 6”=2-1,从而 S 2 =4 2,S=n2,m =4(常数).16 .已知 N 8 C 为锐角三角形，向量I=(3C O S2 1,s i n/),“=(1,s i n/),H.m n.(1)求Z 的大小；(2)当奥=p/n,A C=q n(p 0,q 0),且满足p+=6 时，求居 0,q 0,.,.好,也W。2y fp y fqW3,/.0 0.求危)的单调区间；(2)求所有的实数夕，使e l W；(x)W e 2对工 1,e 恒成立.注：e 为自然对数的底数.解(1)因为y(x)=/n x-f +”，其中 x o,2所以/(x)=-2 x+a(x a)(2x +a)x由于
46、。0,所以y(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+8).(2)由题意得人l)=a-l 2 e-1,即a2e.由(1)知外)在口,e 内单调递增，要使 e-l W y(x)W e 2对 xG i,e 恒成立.只要儿1 7(1)=Q一-1 2fe -1,，解得1 8.已知数列 小,其前项和为S“，点(，S”)在以尸(0,本为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列 儿 满足6“=2%.(1)求数列 4,九 的通项公式;(2)设金=的也，求数列 c“的前 项和T,.解(1)因为以尸(0,3为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为小y，又点(小 S.)在抛物线上，所以S,=2.当 心 2 时，S-i=(
47、w-l)2,两式相减，得 S-S“-1 =%=2 _-)2=2 -1当=1时，7|=S|=1,满足上式.所以数列%的通项公式为a=2n-l(n G N*).故 Z)=2a=22-1(/7 G N，).(2)由(1)知 c,=(2-1)22 一|,所以 T=1-21+3-23+5-25+(2-1)-22 ,则 4 T=1 -23+3-25+5-27+(2n -1)-22*1,-，得-3 7；=+2-23+2-25+2-22-1-(2n-1)-22+4 *-1 0 ，=-(2M-I)-22B 4 4 -1 0 -(4/7 -2)-4(1 0-1 2)4 -1 0=3 ，统,1 0 +(1 2-1
48、0)4”.所以北=-F-(e N ).7 C 1 21 9.(20 1 3 广东)设数列 a 的前项和为S，已知0 =1,亨/一 一 ，N .(1)求。2的值;(2)求数列 4 的通项公式;1 1 1 7(3)证明：对一切正整数，有；7+丁 1-1 7(1)解 2s l =4 2 一 ，又 S =1 ,所以。2=4.1 7(2)解当 时，2S =3+1 -一 2-2 s1=5-1)。“-/-1)3-(-1)2-|(-1)，两式相减得 2 an=-1)。一；(3 2-3 勿 +1)-(2 -1)一 j整理得(+1)斯=nan-n(n+1),即 篙-,i，娉斗八故数列愕是 首 项 为:=1,公差为
49、1 的等差数列，所 以,=+(_ 1)X 1 =,所以 0?=/,所以数列 的 的通项公式为4=/,N*.,Z T E 1 1 1 I ,1 1 1 1.1 1 1 1v 证明 一a +a2 +ay +a=1 +：+”+方+T1 +7 +TT7 T+T-7+；-7 7n4 3 4 n 4 2X 3 3 X 4 n(n-1)5 117 1 7 4-=1).所 以%=2 T+(-D .则 S,=|(22+23+24+.+2n+1)+(-l)+(-l)2+(-I)3+.+(-1)_ 1;当时，g a)w o,所以g(x)在 o,i 上单调递减，因此g(x)在 0,1 上的最小值是g(1)=e -2
50、-6;1 e当时，令 g (x)=0 得 x=l n(2 7)W(0,l),所以函数g(x)在区间 0,l n(2a)上单调递减，在区间(l n(2a),1 上单调递增.于是，g(x)在 0,1 上的最小值是g(l n(2a)=2 a-2 an(2 a)-b.综上所述，当时，g(x)在 0,1 上的最小值是g(0)=1 -6；1 Q当2 vz 5时，g(x)在 0 上的最小值是g(l n(2a)=2。-2 an(2 a)-b;当a 时，g(x)在 0,1 上的最小值是g =e -2 -6.设xo为段)在区间(0,1)内的一个零点，则由 0,g(l)=e-2 a-b 0.由0,g(l)=e-2