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1、第三节正定二次型第1 页，本讲稿共20 页前面配方法的过程告诉我们，二次型可以通过坐标变换化成标准形。其中D 是对角矩阵，主对角线上各元为d1,d2,dn,n 个实数进一步进行合同变换，可以将二次型化成如下形式：该式称为二次型的规范形。r 是矩阵A 的秩，即二次型的秩。注意：规范型中“+”号的个数与标准型中di0 的个数相同。同样，规范型中“-”号的个数与标准型中di0 的个数相同。定义：二次型的规范形中正项的个数称为二次型的正惯性系数，负项的个数称为二次型的负惯性系数一、惯性定理第2 页，本讲稿共20 页证明：因为r 就是二次型矩阵A 的秩，所以r 是确定的。现在我们来证明正惯性系数p 也是
2、唯一的。假设二次型可以化成两个规范形(1)第3 页，本讲稿共20 页(2)由(1)(2)我们有：如果我们证明p=q，那么二次型的正惯性系数是唯一的。(4)第4 页，本讲稿共20 页反证法，假设q 不等于p，不妨假设pq如果找到不全为零的y1,y2,yn，使(4)式不成立，那么假设不成立 问题：y1,y2,yn取怎样的实数时，(4)式左端大于0，同时相应的z1,z2,zn使(4)式右端小于等于0？(4)方程组的未知量个数为n，方程的个数为n-p+qq 造成的。同样，pq 亦会产生类似的矛盾。由此得到p=q.惯性定理成立。第5 页，本讲稿共20 页 一个实二次型，既可以通过拉格朗日配方法化为标准形
3、，也可以通过初等变换法化为标准形。显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 进而将标准形化为规范形，其规范形是唯一的。项数为二次型的秩；其中系数为+1的项的项数为正惯性系数；其中系数为-1的项的项数为负惯性系数。第6 页，本讲稿共20 页第7 页，本讲稿共20 页为三元二次型，则它为正定二次型为二元二次型，则它为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如第8 页，本讲稿共20 页证明充分性故三、正(负)定二次型的判别第9 页，本讲稿共20 页必要性（反证法）故第10 页，本讲稿共20 页推论1.实二次型正定的充要条件是其正惯性系数为n推论2.实二次型正
4、定的充要条件是其矩阵与n 阶单位矩阵合同推论4.正定矩阵的行列式大于零证明：设A 为正定矩阵，则CTAC=E,两端求行列式得：推论3.对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：A 的特征值 全为正第11 页，本讲稿共20 页这个定理称为霍尔维茨定理定理2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即第12 页，本讲稿共20 页正定矩阵具有以下一些简单性质第13 页，本讲稿共20 页例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第14 页，本讲稿共20 页例2 判别二次型是否正定.解二
5、次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，第15 页，本讲稿共20 页例3 判别二次型的正定性.解第16 页，本讲稿共20 页二次型正定性的判断方法一般的二次型的判断都可以利用它的标准型或者规范形完成。设二次型的标准型为：如果di(0,所以上述二次型半正定。特别地，当二次型的秩小于n第17 页，本讲稿共20 页2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系3.类似地，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法第18 页，本讲稿共20 页思考题第19 页，本讲稿共20 页思考题解答第20 页，本讲稿共20 页