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1、1一、正定二次型正定矩阵定义由定义，可得以下结论：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：代入二次型，得 2 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。3定理推论 实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。正定矩阵。这是因为：4解例1 判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为,)1 4)(2(2+-=l l l5全为正，因此二次型正定。6定理设矩阵A 正定，则（1）A 的主对角元全为正；证明7上述定理是A 正定的必要条件，但不是充分条件。定理8解例2 判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为：因此 A
2、是正定的，即二次型 f 正定。9解例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？f 的矩阵为 顺序主子式为：解得10 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵C，使1 1证 因为于是122、其它有定二次型定义如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。13 显然，A 是负定（半负定）的当且仅当-A 是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：（2）A 负定的充分必要条件是A 的特征值全负；（3）A 半负定的充分必要条件是A 的特征值非正；（4）A 负定的充分必要条件是A 的奇数阶
3、顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；（1）A半正定的充分必要条件是A 的特征值非负；（5）若A 负定，则A 的对角元全为负。注意:1.最后一条只是必要条件。2.A 的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。14例如，设矩阵 显然A 的顺序主子式但对角元有正有负，显然A是不定的。15例5 判定下列二次型是否是有定二次型。解（1）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是负定的。16例5 判定下列二次型是否是有定二次型。解（2）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是不定的。17练习：P222 习题五18END19选用例题1、解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。20证 必要性 充分性:将上述过程逆推,即可得证.