《数学物理方程第三章幂级数展开精品文稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程第三章幂级数展开精品文稿.ppt（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学物理方程第三章幂级数展开2023/2/4阜师院数科院第1页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院第三章第三章 幂级数展开幂级数展开复数项级数；复数项级数；变项级数（函数级数）；变项级数（函数级数）；幂级数；幂级数；幂级数对复变函数研究的应用：幂级数对复变函数研究的应用：泰勒级数；泰勒级数；洛朗级数，函数的奇异性研究。洛朗级数，函数的奇异性研究。第2页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.1 复数项级数复数项级数级数是无穷项的和1.级数的收敛和柯西判据复无穷级数每一项为收敛如果极限存在并有限收敛：第3页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院充要条件是其实部与虚部都收敛柯
2、西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小的正整数 ，必存在一 N 使得 nN 时有式中 p 为任意正整数。第4页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院2.绝对收敛收敛。两个绝对收敛的和，积，仍绝对收敛。3.复变项级数的每一项都是复变函数。实际上，对于 z 的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。则原级数 收敛。第5页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院复变项级数有一个定义域 B。它的收敛的概念应当是相对于这个定义域而言的。收敛复变项级数在其定义域 B 中每一点都收敛，则称在 B 中收敛。它满足柯西判据：复数项级数收敛的充要条件是，对于一小正整数 ，必存在一 N(z)使得
3、nN(z)时有第6页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院一致收敛当 N 与 z 无关时。即对 B 中所有点 给定 ，就有一个统一的 N 使判据得到满足。一致收敛的级数的每一项若为连续函数，级数也将是连续函数。在一条曲线上可以逐项积分。绝对一致收敛在区域 B 中，复数项级数的各项满足 而数项级数收敛。即在各点都绝对收敛第7页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院给定 收敛，但与 z 的位置有关。第8页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.2 幂级数幂级数幂函数的复变项级数幂函数的复变项级数对于各复常数级数叫以 为中心的幂级数。1.定义(3.2.1)z0第9页，本讲稿共41
4、页2023/2/4阜师院数科院2.收敛的达朗贝尔判据研究(3.2.1)的 模的如下级数满足则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。(3.2.1)(3.2.2)第10页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院则实幂级数(3.2.2)收敛，且复幂级数(3.2.1)绝对收敛。3.收敛圆记有第11页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院收敛圆收敛圆R 叫收敛半径，以 为圆心，R 为半径的圆叫幂级数的最简单的收敛区域。保证幂级数在圆内的点上绝对收敛，而在圆外可能发散。圆外仍有区域是收敛的。根值判别法(3.2.2)收敛，(3.2.1)绝对收敛。(3.2.2)发散，(3.2
5、.1)发散。故当 ，(3.2.1)绝对收敛。当 ，(3.2.1)可能发散。第12页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院故例(1)解：收敛半径:收敛圆内部为其实，对于第13页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(2)但对于显然级数发散。解：收敛圆实际上对于4.幂级数的积分表示利用柯西公式在一个比收敛圆 C 内稍小的圆 C 中幂级数绝对一致收敛，故可沿这个圆逐项积分。第14页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院记 C上点为 ，而C内任一点为 z，则圆上的幂级数为利用柯西公式得而有界，第15页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院又乘以幂级数在收敛圆内可任意逐项求导。还
6、可以逐项积分。第16页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开具有无限阶导数的实函数可以展开为泰勒级数。复变函数中的解析函数具有无限阶导数，故应可展开为泰勒级数。定理设 在以 为圆心的圆 内解析，则对圆内任意点 ，可展开为其中证明：又第17页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院#关键在确定 ，但这不是唯一的方法例(1)解：#能直接求导就求导第18页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(2)解：#第19页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(3)是多值函数，各分支在支点 相连。但 不是支点，在其 的邻域各分支相互独立。因此，我们可以只讨
7、论展开的主值。解：第20页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院主值#(4)解：定义显然第21页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院第22页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院是主值，此时有即二项式定理。#方法与实函数同，但应注意主值。最普通的办法，仍是逐级求导。第23页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(5)极点在第24页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院不同的幂级数 在不同的区域与函数 相同。这里存在什么样的关系？设在小圆在大圆。问题在于第25页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.4 解析延拓解析延拓例如和等式两边在收敛圆内是相同的，但
8、在收敛圆外等式不一定成立。注意，等式的左边仅在收敛圆内有意义，但等式的右边除 t=1（前一个）或 ,在整个复平面上解析。因此，问：已知 ，求 在 之外的 F(t)。这个答案是已知的第26页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院 于是提出问题：已知 f(z)在 b 中解析，是否存在 F(z)在 B 中解析 ，且在 b 中 F(z)=f(z)。这个过程叫解析延拓。解析延拓的方法在 b 中取点 ，又取 的一个邻域，j将 f(z)展开为泰勒级数。如果这个级数的收敛圆的一部分超出区域 b 进入区域 B 则此函数的解析区域得以扩大。逐步使用这种方法，可以逐渐将函数解析延拓。可以证明，无论采用何种方法
9、，函数 f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采 用某些最方便的方法来进行解析延拓。第27页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院在点 z0收敛、绝对收敛。在定义域，收敛、一致收敛、绝对一致收敛级数幂级数第28页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院泰勒级数解析函数解析延拓是否可以将一个解析函数的解析区域扩大？在收敛圆内可逐项积分可作为被积函数，被积函数不一定是解析函数。第29页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.5 洛朗展开洛朗展开(1)泰勒展开必须在函数的解析区域才可进行。在函数的奇点的邻域，是否存在相应的展开？(2)泰勒级数的解析区域为一收敛圆，收敛圆不可包含奇点
10、，但若研究一个级数，它以圆环作收敛区域，则奇点可以取作圆心，它在收敛环之外。这种级数为洛朗级数泰勒级数是只具有正幂项的幂级数，奇点易出现在负幂项，故考虑有负幂的级数1.收敛环第30页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院设其收敛半径为 ，则其在圆 外部收敛。故此级数在 收敛。这个区域叫收敛环。其中正幂部分 的收敛半径为 。负幂部分写作第31页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院2.定理设 f(z)在环形区域 的内部单值解析，则在环内任一点 z，f(z)可以展开为幂级数其中证：沿第32页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院沿两个积分回路的方向相反，由柯西定理，沿 的积分可变
11、为沿 的积分（差一个负号）如下#此为洛朗展开在奇点附近的展开第33页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.例(1)在 的邻域展开 。f(z)无定义。但在挖去原点的环域（整个复平面）中又此级数又可以看作 f(z)的到整个复平面的解析延拓。利用泰勒展开第34页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(2)在环域 中将 展开。还是利用泰勒展开f(z)的奇点不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在 的邻域将 展开。(z-1)的幂级数在第35页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(4)利用取得无限多负幂第36页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院(5)习题 14z 的幂级数A
12、.B.第37页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点f(z)除在 的 小邻域外处处可导。在挖去的 小邻域 外解析。其正幂叫解析部分，负幂叫主要部分。叫留数C.第38页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院可去奇点 幂级数无负幂项时的极点幂级数仅含有限 m 个负幂项时的M 为极点的阶，一阶极点称单极点本性奇点含无穷多负幂项时的例(1)中 为可去奇点例(3)中出现一阶极点。留数为例(4)中出现本性奇点。留数为第39页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院例(5)中情况 A 中无奇点，情况 B 中出现本性奇点，留数为 情况 C 中出现本性奇点，留数为小结：复变函数存在两种基本的幂级数展开，在解析点附近邻域的泰勒展开和在奇点附近的洛朗展开。泰勒展开只有正幂项，而洛朗展开含有负幂项。根据负幂项可以判断孤立奇点的种类。第40页，本讲稿共41页2023/2/4阜师院数科院阶段总结柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零。洛朗展开？留数定理第41页，本讲稿共41页