第三章幂级数展开精选文档.ppt

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1、第三章幂级数展开1本讲稿第一页，共八十页原级数成为这样复级数 归结为两个实级数 ，实级数的一些性质可移用于复级数。二、收敛性问题 1、收敛定义：部分和 于 有确定的极限，便称级数收敛；极限不存在或 ，便称级数发散。本讲稿第二页，共八十页2、柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对于任给的小正数，必有 N 存在，使得 n N 时，式中 p 为任意正整数。3、绝对收敛级数若 收敛，则 绝对收敛。a.绝对收敛级数改变先后次序，和不变；b.两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积。为-N语言叙述的极限定义！本讲稿第三页，共八十页本讲稿第四页，共八十页三、函数项级数1、概念与收敛判据 设 是

2、 z 平面上某区域 B中的单值解析函数。如果函数项 在 B 中（或某曲线 l 上）所有点上都收敛，则说级数在B中（或某曲线 l 上）收敛。本讲稿第五页，共八十页柯西收敛判据（级数收敛的充分必要条件）：对B内每点 z，任给小正数 0,必有 N(,z)存在，使得当 n N(,z)时，式中 p 为任意正整数。N一般随 z 不同而不同，但如果对任给小正数 0,存在与 z 无关的N(),使得 n N()时，上式成立，便说 在 B 内一致收敛。为-N语言叙述的极限定义！本讲稿第六页，共八十页2、一致收敛级数的性质记级数和为（1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项 都是 B 内的连续函数，则级数的和 也

3、是 B 内的连续函数。（2）逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数，如果级数的每一项 都是 l 上的连续函数，则级数的和 也是 l 上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项求积分。本讲稿第七页，共八十页（3）逐项求导数（外氏Weierstrass 定理）设级数 在 中一致收敛，在 中单值解析，则级数的和 也是 中的单值解析函数，的各阶导数可由 逐项求导数得到，即：且最后的级数 在 内的任意一个区域中一致收敛。本讲稿第八页，共八十页3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法，或优级数判别法，或M判别法 若对于某区域 B(或曲线 l)上所有各点 z,函数项级数 各项的模 （是与 z 无关

4、的正数)，而正的常数项级数 收敛，则 在区域 B(或曲线 l )上绝对且一致收敛。本讲稿第九页，共八十页3.2 幂级数幂级数一、定义 其中 为复常数。这样的级数叫作以z0为中心的幂级数。二、幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）本讲稿第十页，共八十页按比值判别法（达朗贝尔判别法）若则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。引入记号则即：若 ，则（3.2.1)绝对收敛。本讲稿第十一页，共八十页另一方面，若 则 级数发散即：收敛 发散R：收敛半径CR:收敛圆收敛发散RCRz0本讲稿第十二页，共八十页2、根式判别法：若 （3.2.2）收敛，（3.2.1）绝 对收敛 级数发散(收敛半径的

5、另一公式)R：收敛半径收敛半径CR:收敛圆收敛圆收敛发散RCRz0本讲稿第十三页，共八十页3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛 作 在 有 对 应用比值判别法 有 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！R：收敛半径收敛半径CR:收敛圆收敛圆收敛发散RCRz0CR1R1本讲稿第十四页，共八十页三、例题例1 求 的收敛圆。t 为复数 若则解：本讲稿第十五页，共八十页例 2 求 的收敛圆。z 为复数.解：R：收敛半径收敛半径CR:收敛圆收敛圆收敛发散RCRz0CR1R1本讲稿第十六页，共八十页四、幂级数所代表的函数的解析性质1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭

6、区域中一致收敛，据外氏定理，这级数的和 w(z)是收敛圆内的一个解析函数2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导本讲稿第十七页，共八十页4、幂级数的回路积分表示本讲稿第十八页，共八十页3.3 解析函数的泰勒（Taylor）级数展开：定理：设 f(z)在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则 对圆内的任意 z 点,f(z)可展为幂级数，其中展开系数为 为圆CR 内包含 z 且与CR 同心的圆。本讲稿第十九页，共八十页 It was in 1715 that Taylor published(with no consideration of convergence)his w

7、ell-known expansion theorem.In 1717,Taylor applied his series to the solution of numerical equations.Recognition of the full importance of Taylors series awaited until 1755,when Euler applied them in his differential calculus,and still later,when Lagrange used the series with a remainder as the foun

8、dation of his theory of functions.Taylor was educated at St.Johns College of Cambridge University and early showed great promise in mathematics.He was admitted to the Royal Society and became its secretary,only to resign at the age of thirty-four so that he might denote his time to writing.Brook Tay

9、lor(Englishman,1685-1731)本讲稿第二十页，共八十页证明:作展开由柯西公式（3.3.1）其中本讲稿第二十一页，共八十页将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分即是以是以 z0 为中心的泰勒级为中心的泰勒级数，展开是唯一的。数，展开是唯一的。（3.3.3）本讲稿第二十二页，共八十页例1、求 ez 在 邻域的 Taylor 展开。解：因为故收敛半径 本讲稿第二十三页，共八十页例2、求 ez 在 z0=1 邻域的 Taylor 展开。解：因为故收敛半径本讲稿第二十四页，共八十页例3、求 和 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。解：故本讲稿第二十五页，共八十页收敛半径类似收

10、敛半径本讲稿第二十六页，共八十页例4、求 1/(1-z)2 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。解：因为 而 所以本讲稿第二十七页，共八十页收敛半径 ，级数在|z|1时收敛！一般而言,收敛半径为展开中心至最近奇点之距离。此例收敛半径 R=1。事实上，该函数的奇点为 z=1,等于 z=0 与 z=1 两点间的距离。本讲稿第二十八页，共八十页二、多值函数的 Taylor 展开 多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。例5、在 展开 本讲稿第二十九页，共八十页收敛半径 R=1。n=0的那一支为主值分支。1oyx本讲稿第三十页，共八十页例6、求 在 邻域的 Taylo

11、r 展开（m不是整数）。解：本讲稿第三十一页，共八十页从而从而m 不是整数!此为非整数二项式定理本讲稿第三十二页，共八十页收敛半径 R=1。式中n=0为主值分支。三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R,使 f(z)在以 z=0 为圆心，R为半径的圆外（包括 ）解析，作变换 有本讲稿第三十三页，共八十页3.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念本讲稿第三十四页，共八十页一、解析延拓的定义：设已知一个函数 f1(z)在区域 B1 中解析。如果在与 B1 有重叠部分b(可以是一条线)的另一区域 B2 内存在一个解析函数 f2(z),在 b 中 称 f2(z)为 f1(z)在 B2

12、中的解析延拓；反过来，f1(z)也是 f2(z)在 B1 中的解析延拓。B2B1bf1(z)f2(z)本讲稿第三十五页，共八十页 通常在两类问题中用到解析延拓:(1)已知在某区域中有定义的解析函数，例如用级数、积分或者其他表达式来表达的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围。ex,sin x,cos x ez,sin z,cos z(2)已知数学问题的解是某区域 B 内(除了个别奇点外)的解析函数。但求解的方法只能给出在B的某一子区域 B 内才有效的函数表达式，利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算出解在 B 的其他子区域中的表达式。本讲稿第三十六页，共八十页二、延拓方法：原则上讲，可

13、通过泰勒展开进行。例：xyi/2C1C2本讲稿第三十七页，共八十页 在上面的例子中，我们用函数的幂级数表达式作解析延拓照那样做下去，将得到有不同收敛圆的许多幂级数，这些幂级数的全体代表一个解析函数F(z)每一个幂级数 常称为 F(z)的一个元素，在它自己的收敛圆内代表 F(z)的泰勒展开。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略）本讲稿第三十八页，共八十页3.5 解析函数的洛朗（Laurent）展开一、双边幂级数正幂部分有收敛半径 引入新变量负幂部分成为有收敛半径，其在 内部收敛，即在 的外部收敛。若 级数本讲稿第三十九页，共八十页正幂部分收敛域负幂部分收敛域(白色)收敛环R2R1本讲稿第四

14、十页，共八十页在 内绝对且一致收敛。称为级数的收敛环。若级数发散。二、洛朗展开定理 设 f(z)在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点 z,f(z)可展为幂级数 其中 路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。本讲稿第四十一页，共八十页证：作z0R2R1CR1CR1CR2CR2zC证明请见本章ppt21页4 4线构成复联通区域线构成复联通区域本讲稿第四十二页，共八十页z0R2R1CR1CR1CR2CR2zC本讲稿第四十三页，共八十页代入积分 第二和式换求和指标后成为 换换向向改改号号本讲稿第四十四页，共八十页从而 其中C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。函

15、数在函数在R R1 1、R R2 2围成的围成的闭区域内解析，闭区域内解析，R R1 1 R R2 2间同向积分环路半间同向积分环路半径可以任意变化！径可以任意变化！本讲稿第四十五页，共八十页1、正幂部分、正幂部分称为 Laurent 级数的解析部分，在 圆内绝对且一致收敛；2、负幂部分、负幂部分 称为 Laurent 级数的主要部分，在 圆外绝对且一致收敛；Laurent 级数 展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的级数展开。本讲稿第四十六页，共八十页 关于关于 Laurent 级数展开的注意点：级数展开的注意点：1、尽管上式中含有(z-z0)的负幂次项，而这些项在z=z0 点是奇异的

16、，但z0点可以是，也可以不是函数 f(z)的奇点；2、尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展 开系数的积分公式形式一样，但 不论z0 是否 f(z)的奇点。若z0 为f(z)的奇点，则f(k)(z0)根本不存在；若z0 不是 f(z)的奇点，则 f(k)(z0)存在，但 ak 还是不等于 f(k)(z0)/k!区域上有 f(z)的奇点（z z0),本讲稿第四十七页，共八十页 因为 成立的条件 是在以C为边界的区域上 f(z)解析，而现在区域上有f(z)的奇点（若无奇点就无需考虑Laurent 展开了）3、如果只有环心 z0 是 f(z)的奇点，则内圆半径可以无限小，z 可以无限接近 z

17、0,这时称（3.5.3）为f(z)在它的孤立奇点 z0 邻域上的Laurent 展开式。可用以研究函数在其孤立奇点附近的性质。本讲稿第四十八页，共八十页Pierre Alphonse LaurentBorn:18 July 1813 in Paris,FranceDied:2 Sept 1854 in Paris,France Pierre Laurent was in the engineering corps and spent six years directing operations for the enlargement of the port of Le Havre.He sub

18、mitted a work for the Grand Prize of 1842,unfortunately after the final date for submission.Cauchy reported on his work,which gives the Laurent series for a complex function,saying that it should be approved but it was not.After Laurents death his widow arranged for two more of his memoirs to be pre

19、sented to the Academy.One was never published,the second appeared in 1863.本讲稿第四十九页，共八十页 例1、在 的邻域将(sin z)/z展开重新定义本讲稿第五十页，共八十页例2、在 的环域上将 展开解：z=0 并非 f(z)奇点 本讲稿第五十一页，共八十页 例3、在 的邻域将 展开解：其中于是本讲稿第五十二页，共八十页本讲稿第五十三页，共八十页 例4、在 的邻域将 展开解：本讲稿第五十四页，共八十页例5：在 求函数 的 Laurent 展开。解：利用指数函数的展开公式因此：本讲稿第五十五页，共八十页本讲稿第五十六页，共

20、八十页Jm(x):Bessel function本讲稿第五十七页，共八十页例 p60,3.4(12)ctan z 在z=0邻域的展开式？本讲稿第五十八页，共八十页本讲稿第五十九页，共八十页本讲稿第六十页，共八十页本讲稿第六十一页，共八十页Friedrich Wilhelm Besselb.Minden,Prussia(Germany),July 22,1784,d.Knigsberg,Prussia(Kaliningrad,Russia),May 17,1845Mathematicians and physicists often use Bessel functions,developed

21、by Bessel to analyze the motions of planets and stars.In 1838 Bessel was the first to measure the distance to a star 61 Cygni(天鹅座)using parallax(视差)and a special instrument he invented known as the heliometer(太阳尺).With the heliometer Bessel also discovered that Sirius（天狼星）has an unseen companion tha

22、t causes its position to shift slightly as the companion orbits the larger star.本讲稿第六十二页，共八十页3.6 孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质 一、孤立奇点的定义:若函数 f(z)在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z)的孤立奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0 为 f(z)的非孤立奇点。例1:z=0 是 函数 的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心，R1 的圆内，除z=0 外，无其他不可

23、导点。本讲稿第六十三页，共八十页例2:z=0 是函数 1/sin(1/z)的非孤立奇点，因为该函数的 奇点为 zn=1/n,n=0,1,2.,函数的实部只要 n 足够大，1/n 可以任意接近于 z=0,即在 z=0 的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。本讲稿第六十四页，共八十页二、孤立奇点的分类二、孤立奇点的分类:设z0 是单值函数 f(z)的孤立奇点，则在以 z0 为圆心的一个环状邻域 0|z-z0|内,可以展开成 Laurent 级数：正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分1、若展式不含负幂项：z0为f(z)的可去奇点2、若展式含有限个负幂项：z0 为 f(z)的极点3、若展式

24、含无限个负幂项：z0 为 f(z)的本性奇点三、函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点本讲稿第六十五页，共八十页 有 定义 则 为Taylor 展开。f(z)在奇点z0的去心邻域内的Laurent 级数无负幂项。2、极点如z0是 f(z)的极点本讲稿第六十六页，共八十页有 m：极点的阶，一阶极点称单极点f(z)在奇点z0的去心邻域内 f(z)=g(z)/(z-z0)m,g(z)解析，g(z0)0 3、本性奇点 有 与 的方式有关，或称无极限。与不存在极限的区别本讲稿第六十七页，共八十页例：z=0是函数 e1/z 的本性奇点，在 z 的环域内，它的 Laurent 级数为当 (1)z 沿正实轴0

25、时，1/z ,故 e1/z ；(2)z 沿负实轴0 时，1/z ,故 e1/z ；(3)z 沿虚轴，按z i/(2n)0 时，e1/z=e1/(i/2n)=e-i2n 1；本讲稿第六十八页，共八十页(4)z 按序列本讲稿第六十九页，共八十页由函数的图形,可以清楚看出:z 沿不同方向 0时,函数的形态。u(x,y)=Re(e1/z)本讲稿第七十页，共八十页v(x,y)=Im(e1/z)本讲稿第七十一页，共八十页四、无穷远点1、无穷远点为孤立奇点的定义 设无穷远点是函数 f(z)的奇点。以z=0为圆心，R为半径作一圆CR，只要R足够大,而在圆外除无穷远点外f(z)别无奇点，则无穷远点为 f(z)的

26、一个孤立奇点。此时 f(z)在无穷远点邻域内的洛朗展开也就是在 中的洛朗展开(如果 f(z)在有限区域中没有奇点，则这展开就等于在 中的泰勒展开)。本讲稿第七十二页，共八十页 负幂部分为解析部分，正幂部分为主要部分(1)如果洛朗展开不含正幂项，为 f(z)的可去奇点，(2)如果洛朗展开包含有限个正幂项，为 f(z)的极点,本讲稿第七十三页，共八十页2如果洛朗展开包含无限个正幂项，为f(z)的本性奇点。当 f(z)之值不定，而且对于任意复数 A，存在趋于 的数列 本讲稿第七十四页，共八十页以 为本性奇点，这些函数在无穷远点的邻域中的洛朗展开也就是在 中的泰勒展开。多项式 以 为 n 阶极点。截止

27、本讲稿第七十五页，共八十页五、有限阶支点作变换在 平面单叶圆环上展开无负幂项：解析型支点；有限个负幂项：极点型支点；无限个负幂项：本性奇点型支点；z的多值函数 的单值函数多值性需要用分数幂体现！本讲稿第七十六页，共八十页例：求 在 z0=0 的展开解：z0=0为一阶支点。作变换 在 平面(共有两页，分别对应 和 ）单叶圆环上展开多值性需要用分数幂体现！本讲稿第七十七页，共八十页例：设 ,z=0是否为 f(z)的本性奇点？本讲稿第七十八页，共八十页判定判定z z0 0性质？性质？本讲稿第七十九页，共八十页本章基本要求：本章基本要求：1.掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域内的解析函数展为泰勒级数的方法。2掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域内的解析函数展为洛朗级数的方法。3了解孤立奇点的分类。作业3.2.1,3(3)(4)(5),4(1)3.3.2,53.5.(1)(3)(10)(13)3.6.(2)本讲稿第八十页，共八十页