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1、1第一章第一章第一章第一章 行列式习题课行列式习题课行列式习题课行列式习题课 一、主要内容一、主要内容 二、典型例题二、典型例题2 2009,Henan Polytechnic University2第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式3 2009,Henan Polytechnic University3第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）个不同的元素的所有排列
2、的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 全排列逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数逆序数4 2009,Henan Polytechnic University4第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它
3、大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数计算排列逆序数的方法5 2009,Henan Polytechnic University5第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式
4、行列式行列式定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数对换6 2009,Henan Polytechnic University6第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行
5、列式行列式行列式n阶行列式的定义7 2009,Henan Polytechnic University7第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式8 2009,Henan Polytechnic University8第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式n阶行列式的性质9 2009,Henan Polytechnic University9第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式10 2009,Henan Polytec
6、hnic University10第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式行列式按行（列）展开11 2009,Henan Polytechnic University11第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质12 2009,Henan Polytechnic University12第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式克拉默法
7、则13 2009,Henan Polytechnic University13第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理定理定理14 2009,Henan Polytechnic University14第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式定理定理定理定理15 2009,Henan Polytechnic University15第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式一、
8、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、二、计算（证明）行列式计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则典型例题16 2009,Henan Polytechnic University16第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数解解例例一、计算排列的逆序数17 2009,Henan Polytechnic University17第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第
9、一章第一章 行列式行列式行列式行列式18 2009,Henan Polytechnic University18第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为19 2009,Henan Polytechnic University19第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算用行列式定义计算二、
10、计算（证明）行列式20 2009,Henan Polytechnic University20第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解21 2009,Henan Polytechnic University21第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式评注评注本例是从一般项入手，将行标按标准本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号，这是用定义计算行
11、列式的一般方法方法注意注意22 2009,Henan Polytechnic University22第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例设设23 2009,Henan Polytechnic University23第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式证明证明由行列式的定义有由行列式的定义有24 2009,Henan Polytechnic University24第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式评注
12、评注本题证明两个行列式相等，即证明两本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法式相等的常用方法25 2009,Henan Polytechnic University25第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范
13、德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。26 2009,Henan Polytechnic University26第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解27 2009,Henan Polytechnic University27第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知28 2009,He
14、nan Polytechnic University28第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式29 2009,Henan Polytechnic University29第一章
15、习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算计算30 2009,Henan Polytechnic University30第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解31 2009,Henan Polytechnic University31第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得32 2009,Henan Polytechnic Univ
16、ersity32第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式33 2009,Henan Polytechnic University33第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式评注评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零
17、的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的34 2009,Henan Polytechnic University34第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用降阶法计算用降阶法计算例例计算计算解解35 2009,Henan Polytechnic University35第一章习
18、题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式36 2009,Henan Polytechnic University36第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式37 2009,Henan Polytechnic University37第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式38 2009,Henan Polytechnic University38第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式
19、行列式行列式评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用39 2009,Henan Polytechnic University39第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一
20、章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式增加行和列增加行和列例例40 2009,Henan Polytechnic University40第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用递推法计算用递推法计算例例计算计算解解41 2009,Henan Polytechnic University41第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式42 2009,Henan Polytechnic University42第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章
21、第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式43 2009,Henan Polytechnic University43第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式由此递推，得由此递推，得如此继续下去，可得如此继续下去，可得44 2009,Henan Polytechnic University44第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式45 2009,Henan Polytechnic University45第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章
22、 行列式行列式行列式行列式评注评注46 2009,Henan Polytechnic University46第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用数学归纳法用数学归纳法例例证明证明47 2009,Henan Polytechnic University47第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法48 2009,Henan Polytechnic University48第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一
23、章第一章 行列式行列式行列式行列式49 2009,Henan Polytechnic University49第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式评注评注50 2009,Henan Polytechnic University50第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用
24、在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结51 2009,Henan Polytechnic University51第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方
25、程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解三、克拉默法则52 2009,Henan Polytechnic University52第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得53 2009,Henan Polytechnic University53第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得于是，所求的多
26、项式为于是，所求的多项式为54 2009,Henan Polytechnic University54第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例11有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三
27、种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解55 2009,Henan Polytechnic University55第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式56 2009,Henan Polytechnic University56第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例121257 2009,Henan Polytechnic University57第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解58 2009,Henan Polytechnic University58第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式59 2009,Henan Polytechnic University59第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章习题课第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式