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1、第一章第一章 行列式行列式1.1 二阶、三阶行列式1.2 n阶行列式1.3 行列式的性质1.4 行列式按行（列）展开1.5 克莱姆法则11.1二阶、三阶行列式历史点滴历史点滴:行列式来源于线性方程组的求解行列式来源于线性方程组的求解16831683年年,日本数学家日本数学家关孝和关孝和(Seki Takazu,1642-(Seki Takazu,1642-1768)1768)在其在其专著著 中提出了行列式的概念与算中提出了行列式的概念与算法法17501750年年,瑞士数学家瑞士数学家克拉默克拉默(G.Cramer,1704-1752)(G.Cramer,1704-1752)提出了线性方程组的行
2、列式解法提出了线性方程组的行列式解法 “克拉默法克拉默法则”17721772年年,法国数学家法国数学家范德蒙德范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735-1851)(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先将行列式理论首先将行列式理论系统化系统化,被誉为行列式理论的奠基人被誉为行列式理论的奠基人现行的行列式的记号是由英国数学家现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱凯莱(A.CayleyA.Cayley,1821-1895),1821-1895)于于18411841年引进的年引进的.2二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式即实线连接的元之积减去即实线连接的元之积减去虚线连
3、接的元之积虚线连接的元之积3 三阶行列式列标列标行标行标4三阶行列式的对角线法则注注注注 1.1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号乘积冠以负号乘积冠以负号乘积冠以负号 2.2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列对角线法则只适用于二阶与三阶行列对角线法则只适用于二阶与三阶行列对角线法则只适用于二阶与三阶行列 3.3.三阶行列式含三阶行列式含三阶行列式含三阶行列式含3!3!项项项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行每一项都是位
4、于不同行,不同不同不同不同列的三个元素的乘积列的三个元素的乘积列的三个元素的乘积列的三个元素的乘积,三项为正三项为正三项为正三项为正,三项为负三项为负三项为负三项为负.5例题与讲解例2：计算三阶行列式：n n 解：解：按按对角线法则，对角线法则，.61.2 n阶行列式排列：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。自然排列：n级排列123n 称为自然排列。2141314不是排列不是排列 n n级排列中每个数必须出现一次，级排列中每个数必须出现一次，n n个数中不能有重复数，不能有大于个数中不能有重复数，不能有大于n n的数的数543215级排列31424级排列7逆序与逆序
5、数：在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个排列中出现的逆序的总数，称为这个排列的逆序数，通常记为N(i1i2in)。排列的逆序数为偶数的称偶排列，排列的逆序数为奇数的称奇排列。.逆序数计算：从最左面的数开始算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如排列 32514 的逆序数为N（32514）=2+1+2+0+0=58对换：在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中，若仅将其中两个数ji、jk对调,其余不动，可得一个新的排列j1 j2 jk jijn,这样的变换称为一次对换。定理：一次对换改变排列的奇偶性。即则奇奇偶性不同偶性不同与若9对
6、换性质的证明思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。1.1.对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.当当ab时时,经对换后经对换后b的逆序数不变的逆序数不变,a的逆序数减少的逆序数减少1;2.2.设排列为设排列为,现在对换现在对换现在对换现在对换a a与与与与b b。次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换即总共经过即总共经过即总共经过即总共经过2m+12m+1次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换,每次都要改变奇偶性。每次都要改变奇偶性。每次都要改变奇偶性。每次都要改变奇偶性。所以所以所以所以,对换改变奇偶性对换改变奇偶性对换改变奇偶性对换改变奇偶性.1
7、0奇、偶排列个数相等定理2：在所有的n 级排列中（n1）,共有n!个n级排列，奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。证明:设在n!个n级排列中（n1）,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则 p+q=n!现对每一个奇排列施行一次对换，即偶排列偶排列奇排列奇排列由此由此得得p个偶排列个偶排列,而偶排列数共有而偶排列数共有q个个,故故p q;同理同理,对对q个偶排列各做一次对换个偶排列各做一次对换,可得可得q个奇排个奇排列列,故有故有q p;所以所以p=q。又因为又因为p+q=n!,!,故故 p=q=n!/2!/2。.11二阶、三阶行列式共性 有有有有n!(n=2n!(n=2、3)3)项。项。项。项
8、。为所有为所有为所有为所有不同行不同列的不同行不同列的不同行不同列的不同行不同列的n n个元素乘积个元素乘积个元素乘积个元素乘积的代数和。的代数和。的代数和。的代数和。每项每项每项每项符号取决于：当这一项中元的行标按自然符号取决于：当这一项中元的行标按自然符号取决于：当这一项中元的行标按自然符号取决于：当这一项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负列时为负列时为负列时为负,为偶排列时为正。为偶排列时为正。为偶排列时为正。为偶排列时为正。n 阶行列式的
9、定义12定义定义1.2 n阶行列式阶行列式是所有取自不同行是所有取自不同行,不同列的不同列的n n个数的乘积个数的乘积即即 n n阶行列式的一般项为阶行列式的一般项为其中其中构成一个构成一个n n级排列，当级排列，当的代数和的代数和.各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，对各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序排列后，对应的列标构成的排列为奇排列时为负应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。为偶排列时为正。取遍所有n级排列，则的行列式表示的代数和中所有的项。13行列式定义的等价表示形式行下标顺序排列行下标顺序排列行下标顺序排列行下标顺序排列列下标顺序排列列下标顺序排列
10、列下标顺序排列列下标顺序排列 据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊据行列式定义可分析出：按定义只适合计算一些特殊的行列式的行列式的行列式的行列式(如有较多零元素的行列式如有较多零元素的行列式如有较多零元素的行列式如有较多零元素的行列式),),而直接计算一般而直接计算一般而直接计算一般而直接计算一般的行列式时的行列式时的行列式时的行列式时,可能会较烦琐。可能会较烦琐。可能会较烦琐。可能会较烦琐。.16特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式左三角行列式右三角行列式.171.3 行列式的性质如
11、何有效地计算一般行列式？两条基本思路：经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。要达到上述目的,先对行列式基本性质进行研究。.19转置行列式转置行列式定义：把把D D中的行变为列，列变为行，中的行变为列，列变为行，可得一个新行列式可得一个新行列式称称为为D D的转置行列式的转置行列式对行列式对行列式.20行列式性质1性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。n n证明：证明：证明：证明：则设此时此时此时此时(根据行列式根据行列式根据行列式根据行列式等价定义等价定义等价定义等价定义)=D行列的
12、地位是行列的地位是行列的地位是行列的地位是相同的相同的相同的相同的.21行列式性质2性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即第t行第k行DD1.22行列式性质2的证明证：第k行第t行D1=第k行第t行D1的一般项为因此.23性质2的推论推论：行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即第第第第k k k k行行行行第第第第t t t t行行行行D=D=0=0n n因为将第因为将第k行与第行与第t行互换可得行互换可得 即即.24性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即证：左边=右边右边右边右边.25性质3的推论推论1：若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此
13、行列式的值为零。推论2：若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即第第第第k k k k行行行行第第第第t t t t行行行行=0=0.26性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。即=+左边左边左边左边=右边右边右边右边.27例1计算行列式解：解：=+.28性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即k+=n n由性质由性质由性质由性质3 3、4 4可证，可证，可证，可证，此性质是行列式中化零元素主要工具。此性质是行列式中化零元素主要工具。此性质是行列式中化零元素主要工具。此性质
14、是行列式中化零元素主要工具。.29性质回顾性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号外。性质4：若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和，则 此行列式等于两个行列式的和。性质5：把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。30例例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值31解解3233343536例例2 2 计算计算 阶行列式
15、阶行列式解解将将第第 都加到第一列得都加到第一列得3738例3各列减去第一列各列减去第一列各列减去第一列各列减去第一列解得解得解得解得:.39例4第一行乘第一行乘第一行乘第一行乘(-1)(-1)加到其余各行上加到其余各行上加到其余各行上加到其余各行上(-1)(-1)(-1)(-1)n n(-1)(-1)n n.40小结一、为了帮助同学们记忆行列式的性质,归纳如下：1.两个翻：全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。2.三个零：某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素相等;两行(列)对应位置的元素成比例。3.三个可：可提性;可加性;可分性。二、两种计算方法：1.定义法；（主要用于低阶行列
16、式、特殊行列式）。2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。.41在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如四、行列式按行（列）展开定义 4243引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如 先考虑第一行除 外其余均为零情形，再考虑一般行第第i 行所
17、有元素除行所有元素除 外都为零情形。外都为零情形。44定理定理 n n阶行列式等于它的任一行（列）的各阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即45例例1 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得46推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证47同理同理相同相同48关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质49例例25051例例3 计算行列式计算行列式解解52531.行列式按行（列）展
18、开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.2.如某一行（列）中非零元较少，则选取该行如某一行（列）中非零元较少，则选取该行（列）来展开。（列）来展开。三、小结54思考题思考题求求第一行各元素的代数余子式之和第一行各元素的代数余子式之和55解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成56例4 范得蒙(Vandermonde)行列式其中其中其中其中表示所有可能的表示所有可能的表示所有可能的表示所有可能的即即即即.乘积乘积57五、克莱姆法则引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组
19、,当系数行列式D0时,方程组有惟一解,n n个方程的个方程的个方程的个方程的n n元线性方程组一般形式为元线性方程组一般形式为元线性方程组一般形式为元线性方程组一般形式为58定理（Cramer 法则）上面定义的线性方程组，当的系数行列式（定义）不等于零，即则线性方程组则线性方程组则线性方程组则线性方程组(1)(1)(1)(1)有有有有唯一解唯一解唯一解唯一解,且且且且其中其中其中其中 是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式 中第中第中第中第 列的元素用方程列的元素用方程列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得
20、到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即阶行列式，即阶行列式，即.59例：用Cramer法则解线性方程组n n解解.62.63定理：若齐次线性方程组(定义)的系数行列式的系数行列式D 0,则它仅有零解。则它仅有零解。推论：若上述齐次线性方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。以后可以证明对“方程数与未知量个数相等”的齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0。.64例：讨论k取何值时,齐次方程组（1 1 1 1）仅有零解；）仅有零解；）仅有零解；）仅有零解；（2 2）有非零解；）有非零解；）有非零解；）有非零解；n n解：系数行列式解：系数行列式解：系数行列式解：系数行列式当当当当k0k0k0k0且且且且k9k9k9k9时，时，时，时，D0D0D0D0，此时方程组仅有零解；此时方程组仅有零解；此时方程组仅有零解；此时方程组仅有零解；当当当当k=0k=0k=0k=0或或或或k=9k=9k=9k=9时，时，时，时，D=0D=0D=0D=0，此时方程组有非零解。此时方程组有非零解。此时方程组有非零解。此时方程组有非零解。65