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1、线性代数第一章第1页，此课件共27页哦一、行列式的性质（一、行列式的性质（6个）个）把把行列式行列式D的各的各行行与相应与相应列列的元素对调所得的行列式的元素对调所得的行列式称为称为D的的转置行列式转置行列式.性质性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.第2页，此课件共27页哦证证 说明说明:(1)行列式中行列式中行行与与列列具有具有同等的地位同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,反之亦然反之亦然.第3页，此课件共27页哦性质性质性质性质2 2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),),行列式
2、变号行列式变号.第第i行行第第行行第4页，此课件共27页哦证证证证设行列式设行列式第5页，此课件共27页哦 推论推论推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此行列则此行列式的值为零式的值为零.例如例如证证证证互换相同的两行互换相同的两行,由性质由性质2,则则故故例如例如第6页，此课件共27页哦 性质性质性质性质3 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同一中所有的元素都乘以同一数数 k,等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子可以中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面提到
3、行列式符号的外面第7页，此课件共27页哦 性质性质4 4 行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则此行列则此行列式等于零式等于零.性质性质5 5 若若行列式的某一列行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和的元素都是两数之和,则则此行列式等于将该列（行）元素拆成对应列（行）的两个此行列式等于将该列（行）元素拆成对应列（行）的两个行列式之和行列式之和.第8页，此课件共27页哦 性质性质5 5表明表明:(1)当某一行当某一行(列列)的元素为两数之和时的元素为两数之和时,行列行列式关于该行式关于该行(列列)可分解为两个行列式之和可分解为两个行列式之和.(2)若若n阶行列式每
4、个元素都为两数之和阶行列式每个元素都为两数之和,则行列则行列式可分解成式可分解成 个行列式之和个行列式之和.例如二阶行列式例如二阶行列式第9页，此课件共27页哦 性质性质性质性质6 6 把把行列式的某一列行列式的某一列(行行)的各元素都乘以同一的各元素都乘以同一数然后加到另一数然后加到另一列列(行行)的对应元素的对应元素上去上去,行列式不变行列式不变.性质性质2、3、6 6行列式关于行行列式关于行行列式关于行行列式关于行(列列)的三种运算表示的记号的三种运算表示的记号的三种运算表示的记号的三种运算表示的记号:第10页，此课件共27页哦u 余子式及代数余子式余子式及代数余子式 问题问题:能否将高
5、阶行列式的计算转化为较低阶行列式能否将高阶行列式的计算转化为较低阶行列式的计算的计算？分析三阶行列式分析三阶行列式第11页，此课件共27页哦例例第12页，此课件共27页哦二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开展开 引理引理：一个一个n阶行列式阶行列式,如果其中如果其中第第 i 行所有元行所有元素素除第除第 j 列元素列元素 外都为零外都为零,则这个行列式等于则这个行列式等于 与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积,即即 证证第13页，此课件共27页哦第14页，此课件共27页哦 定理定理1.2：行列式等于它的任一行列式等于它的任一 行行(列列)的各元素的各元素与与其对应的代数余子式乘积之
6、和其对应的代数余子式乘积之和,即即 证证第15页，此课件共27页哦例例1.计算行列式计算行列式解解 方法：方法：利用行变换或列变换将行列式某行或列化为只利用行变换或列变换将行列式某行或列化为只有一个非零元素有一个非零元素,然后按该行或列展开然后按该行或列展开,用降阶法计算行用降阶法计算行列式列式.第16页，此课件共27页哦 推论推论：行列式某一行列式某一 行行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零.即即 证证第第 j 行行第第 i 行行第17页，此课件共27页哦综合定理综合定理1.2及其推论及其推论可得可得代数余子式
7、的性质代数余子式的性质第18页，此课件共27页哦例例例例1.1.计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式解解解解 方法：方法：利用行列式性质利用行列式性质利用行列式性质利用行列式性质2 2、3、6，即行或列的三种运算，即行或列的三种运算，即行或列的三种运算，即行或列的三种运算,将行列式化成将行列式化成上三角行列式上三角行列式,则行列式值就等于主对角则行列式值就等于主对角线元素的乘积线元素的乘积.三、行列式的计算三、行列式的计算第19页，此课件共27页哦例例例例2.2.计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式解解第20页，此课件共27页哦例例3.计算行列式计算行列式计算行列式计算行列式解解解解第21页，此课件共27页哦例例4.4.设设第22页，此课件共27页哦证证 第23页，此课件共27页哦例例3.3.计算行列式计算行列式D=第24页，此课件共27页哦例例例例5.5.计算计算2n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式解解第25页，此课件共27页哦例例6.证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式证证用数学归纳法证明用数学归纳法证明第26页，此课件共27页哦按第一列展开按第一列展开,提出公因子提出公因子第27页，此课件共27页哦