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1、123456（1）则方程组有则方程组有向量形式向量形式 线性方程组的向量表达式线性方程组的向量表达式 若记若记 线性方程组线性方程组 即为系数矩阵的第即为系数矩阵的第 列列 72.2 向量的线性关系向量的线性关系解解 设设则则所以所以 定义定义2.4 设有同维向量设有同维向量 ，如果存在，如果存在一组数一组数 ，使得，使得 成立，成立，则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示，或称向量，或称向量 是向量组是向量组 的的线性组合线性组合。例例2设设判断向量判断向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示？如果可以，求出线性表示？如果可以，求出表达式。表达式。小结：小结：可由向量组可由
2、向量组线性表示线性表示 线性方程组线性方程组 有解有解8 定义定义2.5显然：含有零向量的向量组是线性相关的。显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为因为设有向量组设有向量组 ，如果存在一组，如果存在一组不全为零的数不全为零的数 ，使得，使得 成立，则称成立，则称向量组向量组 线性相关线性相关，否则，称向量组，否则，称向量组 线性无关线性无关。即。即当且仅当当且仅当 全为零时全为零时，才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。9小结小结：齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解齐次线性方
3、程组齐次线性方程组只有零解只有零解线性相关线性相关向量组向量组（1）向量组向量组线性无关线性无关（2）(3)向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示线性方程组线性方程组 有解有解10向量组的线性相关性的几个性质定理向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关两个向量线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是对应分量成比例对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，部分相关，则整体
4、相关；整体无关，则部分无关。则部分无关。4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关低维相关。11推论推论2.1 任意任意m(mn)个个n维向量线性相关维向量线性相关.（注：注：由于没有由于没有m阶子式，故阶子式，故R(A)n时，m个n维向量线性相关。定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关,且任意r+1个行向量线性相关。28最大无关组的含义有两层：最大无关组的含义有两层：1无关性无关性;2.最大性
5、最大性.注注:1.线性无关向量组的最大无关组就是其本身线性无关向量组的最大无关组就是其本身;2.向量组与其最大无关组等价向量组与其最大无关组等价;3.同一个向量组的最大无关组不惟一同一个向量组的最大无关组不惟一,但它们之间是但它们之间是 等价的等价的.29定理2.10基础解系：通解定义2.11下面来看如何求齐次线性方程组的通解下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上书上P61)。30m个方程，n个未知数非齐次线性方程组非齐次线性方程组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵矩阵形式31记系数矩阵矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式记矩阵B为增广矩阵方程组方程组（4 4）有解的充分必要条件是它的增广矩
6、阵有解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等。的秩与系数矩阵的秩相等。(定理定理2.11)2.11)方程（4）无解的充分必要条件是：R(B)=R(A)+1321.设 R(A)=R(B)=n向量组线性无关，而向量组线性相关。可知b可由线性表示且表法唯一。即方程（4）有唯一解。2.设 R(A)=R(B)=rn向量组线性相关，方程有非零解。对任意的实数k方程（4）有无穷多解。3334性质性质5：若：若为为Ax=b的解，的解，方程组方程组Ax=0的解，则的解，则是对应齐次是对应齐次为为Ax=b的解。的解。由性质由性质4，5可知定理可知定理2.12：若若为为Ax=b的特解，的特解，方程组方程
7、组Ax=0的通解，则的通解，则是对应齐次是对应齐次为为Ax=b的通解。的通解。Ax=b的通解可写成：的通解可写成：Ax=0的通解的通解Ax=b的特解的特解3536命题命题1命题命题2命题命题3矩阵矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。37相似矩阵的性质相似矩阵的性质若若A和和B相似，则相似，则1.A和和B有相等的秩。有相等的秩。2.方阵方阵A和和B有相等的行列式有相等的行列式。(性质3.2)证明（证明（1）38推论如果如果n阶矩阵阶矩阵A的特征值的特征值互不相同互不相同则则A相似于对角矩阵相似于对角矩阵定理3.7n 阶阶 矩阵矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个是对于每一个 重特征值重特征值 ,对应着对应着 个线个线性无关的特征向量性无关的特征向量.39相似变换相似变换若若A有有n个线性无关的特征向量则个线性无关的特征向量则A相似于相似于对角阵对角阵40应用应用 :利用对角化计算矩阵的乘方利用对角化计算矩阵的乘方4142434.2.2 4.2.2 正交矩阵正交矩阵 如果如果方阵方阵A满足满足 ，则称则称A为正交矩阵为正交矩阵.正交矩阵的性质：44