《线性代数期末考试复习资料.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数期末考试复习资料.pptx（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1第1页/共44页2第2页/共44页3第3页/共44页4第4页/共44页5第5页/共44页6（1）则方程组有向量形式 线性方程组的向量表达式 若记 线性方程组 即为系数矩阵的第 列 第6页/共44页72.2 向量的线性关系解 设则所以 定义2.4 设有同维向量 ，如果存在一组数 ，使得 成立，则称向量 可由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合。例2设判断向量 能否由向量组 线性表示？如果可以，求出表达式。小结：可由向量组线性表示 线性方程组 有解第7页/共44页8 定义2.5显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为设有向量组 ，如果存在一组不全为零的数 ，使得 成立，则称向量组
2、线性相关，否则，称向量组 线性无关。即当且仅当 全为零时，才成立，则称向量组 线性无关。两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。第8页/共44页9小结：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解线性相关向量组（1）向量组线性无关（2）(3)向量 可由向量组 线性表示线性方程组 有解第9页/共44页10向量组的线性相关性的几个性质定理 1、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变 向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组
3、线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。第10页/共44页11推论2.1 任意m(mn)个n维向量线性相关.（注：由于没有m阶子式，故R(A)n时，m个n维向量线性相关。定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关,且任意r+1个行向量线性相关。第27页/共44页28最大无关组的含义有两层：1无关性;2.最大性.注:1.线性无关向量组的最大无关组就是其本身;2.向量组与其最大无关组等价;3.同一个向量组的最大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.第28页/共44页29定理2.10基础解系：通解定义2.11下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上P61)。第2
4、9页/共44页30m个方程，n个未知数非齐次线性方程组系数矩阵增广矩阵矩阵形式第30页/共44页31记系数矩阵矩阵形式的方程组可以写成等价的向量形式记矩阵B为增广矩阵方程组（4 4）有解的充分必要条件是它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等。(定理2.11)2.11)方程（4）无解的充分必要条件是：R(B)=R(A)+1第31页/共44页321.设 R(A)=R(B)=n向量组线性无关，而向量组线性相关。可知b可由线性表示且表法唯一。即方程（4）有唯一解。2.设 R(A)=R(B)=rn向量组线性相关，方程有非零解。对任意的实数k方程（4）有无穷多解。第32页/共44页33第33页/共44页34性
5、质性质5：若：若为为Ax=b的解，的解，方程组方程组Ax=0的解，则的解，则是对应齐次是对应齐次为为Ax=b的解。的解。由性质由性质4，5可知定理可知定理2.12：若若为为Ax=b的特解，的特解，方程组方程组Ax=0的通解，则的通解，则是对应齐次是对应齐次为为Ax=b的通解。的通解。Ax=b的通解可写成：的通解可写成：Ax=0的通解的通解Ax=b的特解的特解第34页/共44页35第35页/共44页36命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。第36页/共44页37相似矩阵的性质相似矩阵的性质若A和B相似，则1.A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)证明（1）第37页/共44页38推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.第38页/共44页39相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵第39页/共44页40应用 :利用对角化计算矩阵的乘方第40页/共44页41第41页/共44页42第42页/共44页434.2.2 4.2.2 正交矩阵正交矩阵 如果方阵A满足 ，则称A为正交矩阵.正交矩阵的性质：第43页/共44页44感谢您的观看！第44页/共44页