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1、大学线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上。每题2分，共10分1. 假设，那么_。2假设齐次线性方程组只有零解，那么应满足 。 3矩阵，满足，那么及分别是 阶矩阵。4矩阵的行向量组线性 。5阶方阵满足，那么 。二、判断正误正确的在括号内填“，错误的在括号内填“。每题2分，共10分1. 假设行列式中每个元素都大于零，那么。 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 3. 向量组中，如果及对应的分量成比例，那么向量组线性相关。 4. ，那么。 5. 假设为可逆矩阵的特征值，那么的特征值为。 ( )三、单项选择题 (每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每题2分，共
2、10分) 1. 设为阶矩阵，且，那么 。 42. 维向量组 3 s n线性无关的充要条件是 。 中任意两个向量都线性无关 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 中不含零向量3. 以下命题中正确的选项是( )。 任意个维向量线性相关 任意个维向量线性无关 任意个 维向量线性相关 任意个 维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的选项是( )。 假设，均可逆，那么可逆 假设，均可逆，那么 可逆 假设可逆，那么 可逆 假设可逆，那么 ，均可逆5. 假设是线性方程组的根底解系，那么是的 解向量 根底解系 通解 A的行向量四、计算题 ( 每题9分，共63
3、分)1. 计算行列式。解2. 设，且 求。解. ，3. 设 且矩阵满足关系式 求。4. 问取何值时，以下向量组线性相关？。5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7. 设，求的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)假设是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 5. 二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3.
4、4. 5. 四、计算题1. 2.3. 4. 当或时，向量组线性相关。5. 当且时，方程组有唯一解；当时方程组无解当时，有无穷多组解，通解为6. 那么 ，其中构成极大无关组，7. 特征值，对于11，特征向量为五、证明题一、选择题此题共4小题，每题4分，总分值16分。每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1、设，为n阶方阵，满足等式，那么必有 (A)或; (B)； C或; (D)。2、和均为阶矩阵，且，那么必有 (A) ； (B)； C . (D) 。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是 (A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；C 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性
5、相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是 (A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题此题共4小题，每题4分，总分值16分5、假设4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，那么= 。6、为阶矩阵，且，那么 。7、方程组无解，那么 。8、二次型是正定的，那么的取值范围是 。三、计算题此题共2小题，每题8分，总分值16分9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题此题共2小题，每题8分，总分值16分。写出证明过程11、假设向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1) 能有线性表出；(2) 不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明1
6、；2 。五、解答题此题共3小题，每题12分，总分值32分。解容许写出文字说明或演算步骤13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、方程组及方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三列得： 4分按第一行展开得按第三列展开得。 4分10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式 4分 4分四、证明
7、题11、证明：(1)、 因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。 (4分)2、反正法假设不，那么能由线性表出，不妨设。由1知，能由线性表出，不妨设。所以，这说明线性相关，矛盾。 12、证明 1 4分2由1得：，代入上式得 4分五、解答题13、解：1由得的特征值为，。 4分2的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。 3分3因为特征值不相等，那么正交。 2分4将单位化得， 2分5取6 1分14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，那么齐次线性方程组的根底解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的根底解系。 5分另一方面，记向量，那么直接计算得，就是它的一个根底解系。
8、根据非齐次线性方程组解的构造知，原方程组的通解为，。 7分15、解：将及联立得非齐次线性方程组:假设此非齐次线性方程组有解, 那么及有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵作初等行变换得: . 4分1当时，有，方程组有解, 即及有公共解, 其全部公共解即为的通解，此时那么方程组为齐次线性方程组，其根底解系为: ,所以及的全部公共解为，k为任意常数. 4分2 当时，有，方程组有唯一解, 此时故方程组的解为:, 即及有唯一公共解. 4分线性代数习题和答案好东西第一局部 选择题 (共28分)一、 单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的
9、，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，那么行列式等于 A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，那么A *中位于1，2的元素是 A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，那么必有 A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.34矩阵A的行向量组线性无关，那么秩AT等于 A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，那么 A.有不全为0的数1，2，s使1
10、1+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0 C.有不全为0的数1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，那么A中 A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，那么以下结论错误的选项是 A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b
11、的一个解9.设n阶方阵A不可逆，那么必有 A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是 A.如存在数和向量使A=，那么是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不一样的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，那么1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，那么必有 A. k3B. k312.设A是正交矩阵，那么以下结论错误
12、的选项是 A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.那么 A.A及B相似 B. A及B不等价 C. A及B有一样的特征值 D. A及B合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为 A.B. C.D.第二局部 非选择题共72分二、填空题本大题共10小题，每题2分，共20分不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无分。15. .16.设A=，B=.那么A+2B= .17.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式i,j=1,2,3,那么(a11A21+a12A22
13、+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量2，-3，5及向量-4，6，a线性相关，那么a= .19.设A是34矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，那么它的通解为 .20.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，那么齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为 .21.设向量、的长度依次为2和3，那么向量+及-的内积+，-= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，A有2个特征值-1和4，那么另一特征值为 .23.设矩阵A=，=是它的一个特征向量，那么所对应的特征值为 .2
14、4.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，那么其标准形为 .三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.设A=，B=.求1ABT；2|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；假设是，那么求出组合系数。29.设矩阵A=.求：1秩A；2A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化以下二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变
15、换。四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明11=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； 20，1，2线性无关。答案：一、单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题本大题共10空，每空2分，共20分15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)或2+c(2-1)，c为任意常数20. n-r21. 522
16、. 223. 124. 三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.解1ABT=2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64-2=-12826.解 27.解 AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以 B=(A-2E)-1A=28.解一 所以4=21+2+3，组合系数为2，1，1.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解2，1，1T，组合系数为2，1，1.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A及B的列向量组有一样的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第
17、1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是30.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=也可取T=.31.解 f(x1，x2，x3)=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.证 由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2 .33.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。2考虑l00+l11+l22=0，即 l0+l1+l20+l11+l22=0.那么l0+l1+l2=0，否那么0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。第 13 页