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1、第三章第三章粘性流体流动的微分方程粘性流体流动的微分方程 前面已讨论了总质量、总能量及总质前面已讨论了总质量、总能量及总质量衡算方程，用它们可以解决工程设计中量衡算方程，用它们可以解决工程设计中的许多问题。的许多问题。总衡算的对象是某一宏观控制体。总衡算的对象是某一宏观控制体。特点：特点：由进出口流股的状态、控制体范围由进出口流股的状态、控制体范围与环境之间的交换情况去确定内部某些量与环境之间的交换情况去确定内部某些量发生的总变化。发生的总变化。例：例：总质量衡算只是考察流体通过圆管的总质量衡算只是考察流体通过圆管的平均速度，而不能确定截面上的速度分布，平均速度，而不能确定截面上的速度分布，这
2、一问题要由微观衡算来解决，微观衡算这一问题要由微观衡算来解决，微观衡算所依据的定律与总衡算一样。所依据的定律与总衡算一样。微分衡算方程又称为变化方程，它们微分衡算方程又称为变化方程，它们描述与动量、热量和质量传递有关的物理描述与动量、热量和质量传递有关的物理量如速度、密度、压力、温度、组分浓度量如速度、密度、压力、温度、组分浓度等随位置和时间变化的普遍规律。等随位置和时间变化的普遍规律。本章重点是微分质量衡算和微分动量本章重点是微分质量衡算和微分动量衡算方程。衡算方程。第一节第一节 连续性方程连续性方程连续性方程：连续性方程：对于单组分系统或组成无变对于单组分系统或组成无变化的多组分系统，应用
3、质量守恒定律进行化的多组分系统，应用质量守恒定律进行微分衡算得到的方程。微分衡算得到的方程。31 连续性方程的推导连续性方程的推导yxz(X,Y,Z)dydzdx如图：在流动的流体如图：在流动的流体中选取一微元体，其中选取一微元体，其边长为边长为dx，dy，dz，相应的各边长分别与相应的各边长分别与x轴，轴，y轴和轴和z轴平行。轴平行。流体在任一点（流体在任一点（x，y，z）处的速度）处的速度u沿沿x，y，z方向的分量分别为方向的分量分别为ux，uy，和和uz，流体的密度为流体的密度为，为为x，y，z和和的函数。的函数。因此在点（因此在点（x，y，z）处的质量通量为）处的质量通量为u根据质量守
4、恒定律，对此微元体进行质量根据质量守恒定律，对此微元体进行质量衡算得：衡算得：输出的质量流率输入的质量流率输出的质量流率输入的质量流率累积的质量流率累积的质量流率0首先分析首先分析x方向流过此微元体的质量流率：方向流过此微元体的质量流率：设微元体左侧平面处的质量通量为设微元体左侧平面处的质量通量为ux，则输入微元体的质量流率则输入微元体的质量流率ux dydz右侧平面处的质量通量为右侧平面处的质量通量为则输出微体的质量流率则输出微体的质量流率沿沿x方向的净输出质量流率为上述二者之方向的净输出质量流率为上述二者之差即：差即：同理：沿同理：沿y方向的净输出质量流率为方向的净输出质量流率为沿沿z方向
5、的净输出质量流率为方向的净输出质量流率为三者相加便是此微元体中流体质量流率的三者相加便是此微元体中流体质量流率的总输出与总输入之差：总输出与总输入之差：即总净输出量为：即总净输出量为：(输出的质量流率）（输入的质量流率）输出的质量流率）（输入的质量流率）在在时，微元体的质量为时，微元体的质量为dxdydz，在在d 时，其质量变为时，其质量变为累积的质量速率为上述两项之差除以累积的质量速率为上述两项之差除以d累积质量速率累积质量速率于是可证流体流动时的微分质量衡算式为：于是可证流体流动时的微分质量衡算式为：写成向量形式为：写成向量形式为：（31）（32）散度散度此式即为流体流动时的通用微分衡算方
6、程，此式即为流体流动时的通用微分衡算方程，又称为连续性方程。又称为连续性方程。适用范围：适用范围：（1）由于推导时没作任何假定，故它适）由于推导时没作任何假定，故它适用于稳态或非稳态系统。用于稳态或非稳态系统。（2）理想流体和真实流体。）理想流体和真实流体。（3）可压缩和不可压缩流体。）可压缩和不可压缩流体。（4）牛顿型流体和非牛顿型流体。）牛顿型流体和非牛顿型流体。它是研究动量、热量和质量传递过程的最它是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。基本、最重要的微分方程之一。32 对连续性方程的分析和简化对连续性方程的分析和简化将连续性方程展开可得其另一种形式为：将连续性方程
7、展开可得其另一种形式为：上式的物理意义分析：上式的物理意义分析：与传递过程有关的许多物理量（如压力、与传递过程有关的许多物理量（如压力、密度、速度、温度、浓度等）都是位置和密度、速度、温度、浓度等）都是位置和时间的连续函数，时间的连续函数，对于对于有：有：将将进行全微分得：进行全微分得：（33）（34）写成全导数的形式为：写成全导数的形式为：（36）（35）各项物理意义：各项物理意义：（1）偏导数）偏导数表示某固定点处流体密度随时间的变化率。表示某固定点处流体密度随时间的变化率。因为因为x，y，z固定时，后三项均为零，固定时，后三项均为零，（2）全导数）全导数它可想象为当测量运动流体密度时，观
8、察它可想象为当测量运动流体密度时，观察者在流体中以任意速度运动（式中者在流体中以任意速度运动（式中为其速度分量，该速度不一定等于流体速为其速度分量，该速度不一定等于流体速度）时密度对时间的变化率。显然，全导度）时密度对时间的变化率。显然，全导数除了与时间和位置有关外，还与观察者数除了与时间和位置有关外，还与观察者的速度有关。的速度有关。（3）随体导数）随体导数若测量流体密度时，观察者在流体中的运若测量流体密度时，观察者在流体中的运动速度与流体运动的速度完全一致时，则动速度与流体运动的速度完全一致时，则为流体流速在三个坐标轴的分量。为流体流速在三个坐标轴的分量。此时，上述方程即可表明流体密度为位
9、置、此时，上述方程即可表明流体密度为位置、时间及流体速度时间及流体速度u的函数。此种随流体运动的函数。此种随流体运动的导数称为的导数称为“随体导数随体导数”或或“真实导数真实导数”，或称拉格朗日（，或称拉格朗日（Lagrangian)导数，记导数，记为为（37）随体导数中的物理量可以为标量如（压力、随体导数中的物理量可以为标量如（压力、密度、温度、浓度等），也可以为矢量如密度、温度、浓度等），也可以为矢量如（速度）（速度）流体密度流体密度的随体导数可表示为：的随体导数可表示为：（38）局部导数局部导数对流导数对流导数随体导数由两部分组成，其一为局部变化，随体导数由两部分组成，其一为局部变化，即
10、量在空间的一个固定点上随时间的变化，即量在空间的一个固定点上随时间的变化，称为称为“局部导数局部导数”另一部分是量的对流变化，即该量由于流另一部分是量的对流变化，即该量由于流体质点的运动，由一点移动到另一点时该体质点的运动，由一点移动到另一点时该量所发生的变化，称为量所发生的变化，称为“对流导数对流导数”。上式表明：当流体质点在上式表明：当流体质点在d时间内，由时间内，由空间的一点（空间的一点（x，y，z）移动到另一点）移动到另一点（xdx，ydy，zdz）时，流体密度）时，流体密度对时间的变化率。对时间的变化率。连续性方程用随体导数形式表达为：连续性方程用随体导数形式表达为：方程中的前三项是
11、速度向量的散度方程中的前三项是速度向量的散度现在来看第四项的物理意义：现在来看第四项的物理意义：考察随流体运动的一个单位质量的流体微元，考察随流体运动的一个单位质量的流体微元，质量衡定，但体积质量衡定，但体积v和密度和密度随时间而变，随时间而变，因为因为（310）两边求随体导数得：两边求随体导数得：（311）（312）代入方程（代入方程（39）得：）得：（313）流体微元的体积膨胀速率或形变速率流体微元的体积膨胀速率或形变速率速度向量的散度实际上表述了三个轴线方速度向量的散度实际上表述了三个轴线方向上的线性形变速率。向上的线性形变速率。速度向量的散度速度向量的散度 等于流体运动时体积等于流体运
12、动时体积膨胀速率。膨胀速率。此概念很重要，后面要用到多此概念很重要，后面要用到多次。次。上述方程的物理意义是上述方程的物理意义是：在进行动量、能量和质量衡算及对流体的在进行动量、能量和质量衡算及对流体的运动进行分析时，有两种方法。运动进行分析时，有两种方法。一是欧拉（一是欧拉（Euler）方法：在流体运动）方法：在流体运动的空间内固定某一位置，并且固定被研究的空间内固定某一位置，并且固定被研究流体的体积，但其质量随时间而变，据此流体的体积，但其质量随时间而变，据此来分析该固定位置流体状况的变化，从而来分析该固定位置流体状况的变化，从而获得整个流场流体运动的规律。获得整个流场流体运动的规律。另一
13、是拉格朗日（另一是拉格朗日（Lagrange）方法：）方法：在流体运动的空间内，选择某一固定质量在流体运动的空间内，选择某一固定质量的微元，观察者追随此流体微元一起运动，的微元，观察者追随此流体微元一起运动，并根据此运动着的流体微元的状态变化来并根据此运动着的流体微元的状态变化来研究整个流场流体运动的规律。此时，流研究整个流场流体运动的规律。此时，流体质量固定，位置变化，体积也可能变化。体质量固定，位置变化，体积也可能变化。在总衡算或微分衡算方程的推导过程在总衡算或微分衡算方程的推导过程中，两种观点都可以采用，最终结果也都中，两种观点都可以采用，最终结果也都一样，只是不同的情况用某一种方法会一
14、样，只是不同的情况用某一种方法会简化。而用另一种方法会繁琐罢了。简化。而用另一种方法会繁琐罢了。比如：推导连续性方程时采用欧拉法，比如：推导连续性方程时采用欧拉法，而分析该方程时又采用而分析该方程时又采用Lagrange方法。方法。后面的微分动量衡算和微分能量衡算后面的微分动量衡算和微分能量衡算方程的推导将采用方程的推导将采用Lagrange法。法。连续性方程的化简连续性方程的化简（1）稳态流动的连续性方程）稳态流动的连续性方程由于是稳态流动，密度不随时间而变，即由于是稳态流动，密度不随时间而变，即，方程（，方程（31）可简化为：）可简化为：（314）上式适用于可压缩和不可压缩流体。上式适用于
15、可压缩和不可压缩流体。（2）不可压缩流体的连续性方程）不可压缩流体的连续性方程由于此时由于此时为常数，故（为常数，故（31）式可简化）式可简化为：为：（315）适用于稳态和非稳态流动。适用于稳态和非稳态流动。此式非常有用！此式非常有用！33 柱坐标系和球坐标系中的连续性方程柱坐标系和球坐标系中的连续性方程 在研究圆管、圆筒形流道内的流动时，在研究圆管、圆筒形流道内的流动时，在相同半径上的所有各点都具有相同的速在相同半径上的所有各点都具有相同的速度及其它物理量，此时用柱坐标系表达连度及其它物理量，此时用柱坐标系表达连续性方程最为方便。同理，当流动系统的续性方程最为方便。同理，当流动系统的范围面为
16、球形或其一部分时，采用球坐标范围面为球形或其一部分时，采用球坐标最方便。最方便。这两种坐标系中的连续性方程的推导，这两种坐标系中的连续性方程的推导，原则上与直角坐标系相似，并且还可通过原则上与直角坐标系相似，并且还可通过坐标系间的对应关系由直角坐标系转换而坐标系间的对应关系由直角坐标系转换而得。这里就不详讲了，结果如下：得。这里就不详讲了，结果如下：柱坐标系上的连续性方程：柱坐标系上的连续性方程：R径向坐标径向坐标Z轴线坐标轴线坐标（316）方位角方位角时间时间为三个方向上的流体速度分量为三个方向上的流体速度分量全纬度全纬度方位角方位角（316）为球坐标系方向上的速度分量。为球坐标系方向上的速
17、度分量。球坐标系上的连续性方程：球坐标系上的连续性方程：第二节第二节 运动方程运动方程通过微分质量衡算，导出了连续性方程。通过微分质量衡算，导出了连续性方程。同样，微分动量衡算可以导出流体的运动同样，微分动量衡算可以导出流体的运动方程。两者结合便可解决许多流体运动问方程。两者结合便可解决许多流体运动问题。这两方程是三传的基础方程。题。这两方程是三传的基础方程。1 运动方程的推导运动方程的推导流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为：流体运动所遵循的牛顿第二定律可表述为：流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体的动量随时间的变化率等于作用在该流体上的诸外力的向量和。流体上的诸外力的向量和。（318）
18、采用采用Lagrange方法，对于质量衡定且以相方法，对于质量衡定且以相同流速跟随流体运动的微元流体，方程同流速跟随流体运动的微元流体，方程（318）可写成：）可写成：（319）方程（方程（319）是向量方程，可以分别为）是向量方程，可以分别为x，y，z三个方向的分量加以描述，其中的三个方向的分量加以描述，其中的质量质量M可用密度与体积的积表示为：可用密度与体积的积表示为：于是有：于是有：（320）分解为分解为x，y，z三轴方向上的分量时，分三轴方向上的分量时，分别为：别为：（321a）（321b）（321c）i表示惯性力表示惯性力为作用在上述流体微元上的为作用在上述流体微元上的合力在合力在x
19、，y，z方向上的分量。方向上的分量。合外力的每一个分量都由两类力组成：合外力的每一个分量都由两类力组成：（1）质量力或体积力，指作用在整个流）质量力或体积力，指作用在整个流体微元上的外力，记为体微元上的外力，记为（2）机械力或表面力，指作用在流体诸）机械力或表面力，指作用在流体诸表面上的外力，记为表面上的外力，记为分别说明如下：分别说明如下：1 质量力质量力在传递过程中，仅限于考察处于重力场作在传递过程中，仅限于考察处于重力场作用下的流体，所以对于一个流体微元来说，用下的流体，所以对于一个流体微元来说，在在x方向上的质量力分量方向上的质量力分量 为：为：（322）X单位质量流体的质量力在单位质
20、量流体的质量力在x方向上的分方向上的分量，因只考虑重力场的作用，所以量，因只考虑重力场的作用，所以X又指单又指单位质量流体所承受的重力在位质量流体所承受的重力在x方向上的分量方向上的分量 ，可写成：，可写成：式中式中为为x轴方向与重力方向之间的夹角。轴方向与重力方向之间的夹角。因因x方向为水平方向，故方向为水平方向，故X0，同理，同理Z0，Yg则有：则有：（323a）（323b）（323c）2 表面力表面力该力来自该流体微元毗邻的外部流体，由该力来自该流体微元毗邻的外部流体，由静压力和粘性力所提供，所以又称为机械静压力和粘性力所提供，所以又称为机械力。对单位表面而言称为表面应力或机械力。对单位
21、表面而言称为表面应力或机械应力。表面应力可分为法向和切向两部分，应力。表面应力可分为法向和切向两部分，即法向应力和剪应力。表面应力记为即法向应力和剪应力。表面应力记为。图中标出一个流体微元图中标出一个流体微元yz平面上三个机械应力分量平面上三个机械应力分量的作用情况，的作用情况，为法向应为法向应力分量，力分量，和和 为切向应为切向应力分量，即剪应力分量力分量，即剪应力分量zyx下标的含义为：下标的含义为：第一个下标第一个下标x为应力分量的作用面与为应力分量的作用面与x轴相轴相垂直，垂直，第二个下标表示应力分量的作用力方向分第二个下标表示应力分量的作用力方向分别为别为x轴，轴，y轴和轴和z轴方向
22、。轴方向。显然，两个下标均相同时，即表示法线应显然，两个下标均相同时，即表示法线应力。力。法线应力：法线应力：拉伸方向为正，即向外为正；拉伸方向为正，即向外为正；压缩方向为负，即向内为负。压缩方向为负，即向内为负。xzydxdzdyX方向上作用于流动的流体方向上作用于流动的流体微元的机械应力分量图微元的机械应力分量图考察一个流体微元在考察一个流体微元在x方向上所受到的机械方向上所受到的机械应力情况。此微元的应力情况。此微元的6个表面都受到与之个表面都受到与之毗邻的、由外部流体而来的机械应力。每毗邻的、由外部流体而来的机械应力。每一个应力又都可分解为一个应力又都可分解为x，y，z方向上的方向上的
23、分量。图中只示出了分量。图中只示出了x方向上的应力分量。方向上的应力分量。当流体微元的体积缩小为一点时，可当流体微元的体积缩小为一点时，可以想象，相对两表面上的法向应力与切向以想象，相对两表面上的法向应力与切向应力都相应地大小相等，方向相反。应力都相应地大小相等，方向相反。因此，在流场中，任何一点流体所承因此，在流场中，任何一点流体所承受的机械应力状态，仅采用受的机械应力状态，仅采用9个机械应力个机械应力分量即可完全表达，分量即可完全表达，3个法向应力和个法向应力和6个剪个剪应力，每个方向两个应力分量。应力，每个方向两个应力分量。可以证明上述可以证明上述6个剪应力可以使流体微元个剪应力可以使流
24、体微元发生旋转。同时可以证明它们彼此不是独发生旋转。同时可以证明它们彼此不是独立的，而是相互关联的。立的，而是相互关联的。下面将导出其相互关系。下面将导出其相互关系。将图中的流体微元的将图中的流体微元的xy平面上一个相平面上一个相应平面分离出来加以观察，则环绕该平应平面分离出来加以观察，则环绕该平面四周上所作用的面四周上所作用的4个剪应力表示如下图：个剪应力表示如下图：yx0(x,y,z)图中平面的形心点为图中平面的形心点为0，假设有一根平行，假设有一根平行于于z轴的轴线穿过形心点时，显然，这轴的轴线穿过形心点时，显然，这4个个剪应力对于该轴线会产生力矩，使得流体剪应力对于该轴线会产生力矩，使
25、得流体微元围绕轴线旋转起来。微元围绕轴线旋转起来。力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及角加速度三者之积。角加速度三者之积。应指出：只有剪应力才能对旋转轴产生力应指出：只有剪应力才能对旋转轴产生力矩，而法向应力和重力的作用是通过上述矩，而法向应力和重力的作用是通过上述形心的，故其不会产生力矩（即旋转半径形心的，故其不会产生力矩（即旋转半径为零所致）。为零所致）。令：逆时针方向旋转力为正，反之为负，令：逆时针方向旋转力为正，反之为负，则可写出如下力矩方程：则可写出如下力矩方程：简化上式得：简化上式得：（324）当流体微元小到趋于零时，则旋转半径当流体微元小到趋于
26、零时，则旋转半径 0因此上式右侧趋于因此上式右侧趋于0，于是可得：，于是可得：（325a）同样的道理可得：同样的道理可得：（325b）（325c）这就是说，前述这就是说，前述9个机械应力中只有个机械应力中只有6个是个是独立的。独立的。运动微分方程的推导：运动微分方程的推导：任参照上述流体微元的受力图，首先考察任参照上述流体微元的受力图，首先考察x方向上的净机械力分量方向上的净机械力分量显然可用下式表示：显然可用下式表示：（326）简化后：简化后：（327）再考察再考察x方向上的总外力分量：它等于机械方向上的总外力分量：它等于机械力分量与重力分量之和，即：力分量与重力分量之和，即：（328）将式
27、（将式（321a）、（）、（322）和（）和（327）代入方程（）代入方程（328）得：）得：（329）同理可得：同理可得：（330）（331）上式三式即为粘性流体的运动微分方程。上式三式即为粘性流体的运动微分方程。对运动微分方程的分析：对运动微分方程的分析：上述三个运动微分方程中，只有三个上述三个运动微分方程中，只有三个已知量已知量X，Y，Z，而独立的未知变量达，而独立的未知变量达10个之多，即：个之多，即：因此要想得到其解析解是根本不可能的。因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通过适当的简化、假设才能在某些特只有通过适当的简化、假设才能在某些特殊情况下求解。下面将通过牛顿型流体应殊情况
28、下求解。下面将通过牛顿型流体应力与形变速率之间的关系导出奈维斯托力与形变速率之间的关系导出奈维斯托克斯方程。克斯方程。2 应力与形变速率之间的关系应力与形变速率之间的关系一一 剪应力剪应力对牛顿型流体，剪应力与剪切速率成正比，对牛顿型流体，剪应力与剪切速率成正比，即对于一维流动，且速度梯度与即对于一维流动，且速度梯度与y轴方向轴方向相同时有：相同时有：（332）其中其中 为为x方向上的形变速率，或称剪切方向上的形变速率，或称剪切速率。速率。如果将形变速率表示成平面夹角如果将形变速率表示成平面夹角变化速变化速率的形式将更为方便。率的形式将更为方便。xy如图所示：如图所示：对于一维流动，设流体对于
29、一维流动，设流体微元的微元的xy平面原为矩平面原为矩形，由于剪切力的作用，形，由于剪切力的作用，此矩形必然发生形变，此矩形必然发生形变，经经d后，变成了虚线后，变成了虚线所示的平行四边形，这一变化可作如下解释：所示的平行四边形，这一变化可作如下解释：当粘性流体流动时，由于粘性的作用，会当粘性流体流动时，由于粘性的作用，会使平行于使平行于x轴的两相对平面产生相对运动，轴的两相对平面产生相对运动，亦即在图示的情况下，在亦即在图示的情况下，在d的时间内，相的时间内，相对运动使上层流体较下层流体多走行了对运动使上层流体较下层流体多走行了一段距离：一段距离：，与此相应，在，与此相应，在xy平平面上的原矩
30、形平面的夹角也变化了面上的原矩形平面的夹角也变化了d（以（以弧度表示），弧度表示），d的正切可表示为：的正切可表示为：（333）为何取负号，是因为当上层多行走一段距为何取负号，是因为当上层多行走一段距离时，离时，值减小了，故值减小了，故d 为负值。为负值。由于由于d 很小，所以很小，所以 故上式写成故上式写成（334）代入牛顿粘性定律得：代入牛顿粘性定律得：（335）为角形变速率，可理解为微分长度为角形变速率，可理解为微分长度dy以原点为圆心旋转时的角速度。以原点为圆心旋转时的角速度。利用该式分析三维流体流动时的情况：利用该式分析三维流体流动时的情况：粘性流体在流动过程中，必然产生体积形粘性流
31、体在流动过程中，必然产生体积形变，由原来的方形体变成菱形微元六面体。变，由原来的方形体变成菱形微元六面体。分析一下分析一下xy平面上所承受的剪应力分量平面上所承受的剪应力分量与形变速率之间的关系，与形变速率之间的关系，yxyx经微分时间经微分时间d后，后，由由 变成变成 （其中（其中 和和 均为负值），同一维流动均为负值），同一维流动相似，可以写成：相似，可以写成：故故（336）由于牛顿型流体的剪应力与形变速率成由于牛顿型流体的剪应力与形变速率成正比，所以将上式代入式正比，所以将上式代入式（3-35）后，后，便可写成：便可写成：同理：同理：（337a）（337b）（337c）二二 法向应力法向
32、应力由静压力的作用产生部分由静压力的作用产生部分流体微元承受压缩应力流体微元承受压缩应力体积形变体积形变由粘性应力的作用产生部分由粘性应力的作用产生部分微元在法线方向上承受拉伸或压缩微元在法线方向上承受拉伸或压缩线性形变线性形变1 如果流体微元静止，或虽流动，但无粘如果流体微元静止，或虽流动，但无粘性应力的作用（即理想流体）性应力的作用（即理想流体）则流体中各处或一点处各方向上的流速不则流体中各处或一点处各方向上的流速不会发生变化，此时可以认为在数值上法向会发生变化，此时可以认为在数值上法向应力的三个分量都等于压力，即：应力的三个分量都等于压力，即：“”表示法向应力方向与静压力方向反。表示法向
33、应力方向与静压力方向反。于是可知于是可知（338）（对于理想流体或静止的实际流体成立）（对于理想流体或静止的实际流体成立）2 对于流动的粘性流体对于流动的粘性流体流场中各处流速不同，所以流场中各处流速不同，所以 三者彼此间并不相等，且它们与三者彼此间并不相等，且它们与p的关系的关系也更复杂。也更复杂。代表了三个法向应力的平均代表了三个法向应力的平均值，该平均值与静压力值，该平均值与静压力p之间的关系仍然之间的关系仍然在数值上相等，即上式仍然成立。在数值上相等，即上式仍然成立。尽管如此，对于气体和不可压缩流体而言，尽管如此，对于气体和不可压缩流体而言，对于流动着的粘性流体，对于流动着的粘性流体，
34、但仍，但仍可写成：可写成：（339）式中式中 为为x方向上的法向粘性应力分量。方向上的法向粘性应力分量。通过变换可得出如下方程：通过变换可得出如下方程：（340）（341a）（a）（b）（c）同理可得：同理可得：（341b）（a）（b）（d）（341c）（a）（c）（c）这里共出现四项：这里共出现四项：a为为pb为为d为为c为为通过分析分别求出这四项对通过分析分别求出这四项对x方向上的线方向上的线性形变速率的影响，即性形变速率的影响，即对对 的影响如下：的影响如下：（342a）（342b）（342c）（342d）则在则在x方向上，由法向应力分量方向上，由法向应力分量 所引起所引起的形变速率之和
35、为的形变速率之和为 ，它等于，它等于（343）经代入整理并求解经代入整理并求解 得：得：（344a）同理得：同理得：（344b）（344c）上述三式可以看出：上述三式可以看出：法向应力与静压力虽有密切关联，但二者法向应力与静压力虽有密切关联，但二者概念明显不同。只有当流体静止或为理想概念明显不同。只有当流体静止或为理想流体时，二者在数值上相同，但方向相反。流体时，二者在数值上相同，但方向相反。36 奈维斯托克斯方程奈维斯托克斯方程（NavierStokes Equation）以前导出过以应力形式表示的运动微分方以前导出过以应力形式表示的运动微分方程，程，x方向的形式为：方向的形式为：（329）
36、上节分别导出了上节分别导出了 的函数表达的函数表达式，将（式，将（344a），（），（337a），和（），和（337c）代入（）代入（329）的）的x方向上的完全方向上的完全运动微分方程，经整理后得：运动微分方程，经整理后得：（345a）同理可得，同理可得，y，z方向上的运动微分方程：方向上的运动微分方程：（345b）（345c）将上述三式写成向量的形式为：将上述三式写成向量的形式为：（346）方程（方程（345a）（）（345c）称为奈维）称为奈维斯托克斯方程斯托克斯方程方程中共有五个未知数：方程中共有五个未知数：再加上连续性方程和流体状态方程，正好再加上连续性方程和流体状态方程，正好五个方
37、程，五个未知数，从理论上是可以五个方程，五个未知数，从理论上是可以求解的，但实际的求解过程极其复杂，几求解的，但实际的求解过程极其复杂，几乎不可能，所以只是针对一些特殊情况可乎不可能，所以只是针对一些特殊情况可以将解析式求出。以将解析式求出。比如，针对不可压缩流体这种特殊情况：比如，针对不可压缩流体这种特殊情况：连续性方程为：连续性方程为：代入上三式得不可压缩流体的奈维斯托代入上三式得不可压缩流体的奈维斯托克斯方程：克斯方程：（347a）（347b）（347c）通常所遇到的流体流动情况，大多数都可通常所遇到的流体流动情况，大多数都可按不可压缩流体流动处理，所以方程（按不可压缩流体流动处理，所以
38、方程（347）具有实用意义。）具有实用意义。它们为描述牛顿型粘性流体运动时所共同它们为描述牛顿型粘性流体运动时所共同遵循的基本规律。遵循的基本规律。37 柱坐标系和球坐标系中粘性流体柱坐标系和球坐标系中粘性流体的奈维斯托克斯方程的奈维斯托克斯方程（NavierStokes）与连续性方程一样，柱坐标系和球坐标系与连续性方程一样，柱坐标系和球坐标系内的奈维斯托克斯方程有时很便利：内的奈维斯托克斯方程有时很便利：柱坐标系：柱坐标系：球坐标系：球坐标系：奈维斯托克斯方程的推导有两种途径：奈维斯托克斯方程的推导有两种途径：（1）根据分子间力的作用，由奈维和泊松）根据分子间力的作用，由奈维和泊松（Navi
39、erPoisson）1831年导出年导出（2）假定剪应力和法向应力与形变速度为）假定剪应力和法向应力与形变速度为线性关系，即上述所用的方法，由圣魏南线性关系，即上述所用的方法，由圣魏南斯托克斯（斯托克斯（SaintvenantStokes）1845年导出年导出由于上述假设带有一定的随意性，所以不由于上述假设带有一定的随意性，所以不能肯定该方程是否能描述流体的真实运动能肯定该方程是否能描述流体的真实运动情况，必须通过实验验证。情况，必须通过实验验证。又由于数学求解极端困难，所以至今仍得又由于数学求解极端困难，所以至今仍得不到该方程的普遍解。不到该方程的普遍解。但就已知的某此特殊解来看，它们与实验
40、但就已知的某此特殊解来看，它们与实验结果非常符合，从而人们不再怀疑该方程结果非常符合，从而人们不再怀疑该方程在一般工程应用的可靠性。在一般工程应用的可靠性。奈维斯托克斯方程代表某瞬间、某一位奈维斯托克斯方程代表某瞬间、某一位置流体的运动规律。从原则上讲，方程既置流体的运动规律。从原则上讲，方程既适用于层流，又适用于湍流。适用于层流，又适用于湍流。可事实上，只能将该方程直接用于层流，可事实上，只能将该方程直接用于层流，而无法直接用于湍流，因为湍流中有旋涡而无法直接用于湍流，因为湍流中有旋涡的产生和散逸，各种物理量呈现高频脉动，的产生和散逸，各种物理量呈现高频脉动，而无法弄清千变万化的旋涡及其速度
41、变化而无法弄清千变万化的旋涡及其速度变化情况。情况。关于如何将该方程用于湍流，将在湍流部关于如何将该方程用于湍流，将在湍流部分讲解。分讲解。38 用动力压力表示的奈维斯托克用动力压力表示的奈维斯托克斯方程（斯方程（NS方程）方程）当流体运动时，当流体运动时，NS方程中的压力方程中的压力p可理解可理解为流动的总压力，对不可压缩流体，总压为流动的总压力，对不可压缩流体，总压力包括：静压力力包括：静压力ps 和动压力和动压力Pd 静压力静压力ps：流体静止时所呈现的压力流体静止时所呈现的压力动压力动压力pd：流体流动时所呈现的压力流体流动时所呈现的压力于是：于是：可以导出静压力梯度：可以导出静压力梯度：所以所以将该式代入不可压缩将该式代入不可压缩NS方程得：方程得：同理可写出：同理可写出：这就是用动压力表示的这就是用动压力表示的NS方程。方程。适用范围：用于解决不具有自由表面的流适用范围：用于解决不具有自由表面的流体流动问题，如封闭管道内的流动问题时体流动问题，如封闭管道内的流动问题时较方便。较方便。