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1、粘性流体流动的微分方程第1页，此课件共64页哦 前面已前面已讨论了了总质量、量、总能量及能量及总质量量衡算方程，用它衡算方程，用它们可以解决工程可以解决工程设计中的中的许多多问题。总衡算的衡算的对象是某一宏象是某一宏观控制体。控制体。特点：特点：由由进出口流股的状出口流股的状态、控制体范、控制体范围与与环境之境之间的交的交换情况去确定内部某些量情况去确定内部某些量发生生的的总变化。化。例：例：总质量衡算只是考察流体通量衡算只是考察流体通过圆管的管的平均速度，而不能确定截面上的速度分布，平均速度，而不能确定截面上的速度分布，这一一问题要由微要由微观衡算来解决，微衡算来解决，微观衡算衡算所依据的定
2、律与所依据的定律与总衡算一衡算一样。第2页，此课件共64页哦 微分衡算方程又称微分衡算方程又称为变化方程，它化方程，它们描述与描述与动量、量、热量和量和质量量传递有关的物理有关的物理量如速度、密度、量如速度、密度、压力、温度、力、温度、组分分浓度度等随位置和等随位置和时间变化的普遍化的普遍规律。律。本章重点是微分本章重点是微分质量衡算和微分量衡算和微分动量量衡算方程。衡算方程。第一第一节 连续性方程性方程连续性方程：性方程：对于于单组分系分系统或或组成无成无变化化的多的多组分系分系统，应用用质量守恒定律量守恒定律进行微分行微分衡算得到的方程。衡算得到的方程。第3页，此课件共64页哦31 连续性
3、方程的推性方程的推导yxz(X,Y,Z)dydzdx如如图：在流：在流动的流体的流体中中选取一微元体，其取一微元体，其边长为dx，dy，dz，相相应的各的各边长分分别与与x轴，y轴和和z轴平行。平行。流体在任一点（流体在任一点（x，y，z）处的速度的速度u沿沿x，y，z方向的分量分方向的分量分别为ux，uy，和和uz，流体，流体的密度的密度为，为x，y，z和和的函数。的函数。因此在点（因此在点（x，y，z）处的的质量通量量通量为u第4页，此课件共64页哦根据根据质量守恒定律，量守恒定律，对此微元体此微元体进行行质量衡量衡算得：算得：输出的出的质量流率量流率输入的入的质量流率量流率累累积的的质量
4、流率量流率0首先分析首先分析x方向流方向流过此微元体的此微元体的质量流率：量流率：设微元体左微元体左侧平面平面处的的质量通量量通量为ux，则输入微元体的入微元体的质量流率量流率ux dydz右右侧平面平面处的的质量通量量通量为则输出微体的出微体的质量流率量流率第5页，此课件共64页哦沿沿x方向的方向的净输出出质量流率量流率为上述二者之上述二者之差即：差即：同理：沿同理：沿y方向的方向的净输出出质量流率量流率为沿沿z方向的方向的净输出出质量流率量流率为第6页，此课件共64页哦三者相加便是此微元体中流体三者相加便是此微元体中流体质量流率的量流率的总输出与出与总输入之差：入之差：即即总净输出量出量为
5、：(输出的出的质量流率）（量流率）（输入的入的质量流率）量流率）在在时，微元体的，微元体的质量量为dxdydz，在在d 时，其，其质量量变为第7页，此课件共64页哦累累积的的质量速率量速率为上述两上述两项之差除以之差除以d累累积质量速率量速率于是可于是可证流体流流体流动时的微分的微分质量衡算式量衡算式为：写成向量形式写成向量形式为：（31）（32）散度散度此式即此式即为流体流流体流动时的通用微分衡算方程，的通用微分衡算方程，又称又称为连续性方程。性方程。第8页，此课件共64页哦适用范适用范围：（1）由于推）由于推导时没作任何假定，故它适没作任何假定，故它适用于用于稳态或非或非稳态系系统。（2）
6、理想流体和真）理想流体和真实流体。流体。（3）可）可压缩和不可和不可压缩流体。流体。（4）牛）牛顿型流体和非牛型流体和非牛顿型流体。型流体。它是研究它是研究动量、量、热量和量和质量量传递过程的最基本、程的最基本、最重要的微分方程之一。最重要的微分方程之一。第9页，此课件共64页哦32 对连续性方程的分析和性方程的分析和简化化将将连续性方程展开可得其另一种形式性方程展开可得其另一种形式为：上式的物理意上式的物理意义分析：分析：与与传递过程有关的程有关的许多物理量（如多物理量（如压力、密力、密度、速度、温度、度、速度、温度、浓度等）都是位置和度等）都是位置和时间的的连续函数，函数，对于于有：有：将
7、将进行全微分得：行全微分得：（33）（34）第10页，此课件共64页哦写成全写成全导数的形式数的形式为：（36）（35）各各项物理意物理意义：（1）偏）偏导数数表示某固定点表示某固定点处流体密度随流体密度随时间的的变化率。化率。因因为x，y，z固定固定时，后三，后三项均均为零，零，第11页，此课件共64页哦（2）全）全导数数它可想象它可想象为当当测量运量运动流体密度流体密度时，观察者在察者在流体中以任意速度运流体中以任意速度运动（式中（式中为其速度分量，其速度分量，该速度不一定等于流体速度）速度不一定等于流体速度）时密度密度对时间的的变化率。化率。显然，全然，全导数除了与数除了与时间和位置有关
8、外，和位置有关外，还与与观察者的速度有关。察者的速度有关。（3）随体）随体导数数若若测量流体密度量流体密度时，观察者在流体中的运察者在流体中的运动速速度与流体运度与流体运动的速度完全一致的速度完全一致时，则第12页，此课件共64页哦为流体流速在三个坐流体流速在三个坐标轴的分量。的分量。此此时，上述方程即可表明流体密度，上述方程即可表明流体密度为位置、位置、时间及流体速度及流体速度u的函数。此种随流体运的函数。此种随流体运动的的导数数称称为“随体随体导数数”或或“真真实导数数”，或称拉格，或称拉格朗日（朗日（Lagrangian)导数，数，记为（37）随体随体导数中的物理量可以数中的物理量可以为
9、标量如（量如（压力、力、密度、温度、密度、温度、浓度等），也可以度等），也可以为矢量如矢量如（速度）（速度）第13页，此课件共64页哦流体密度流体密度的随体的随体导数可表示数可表示为：（38）局部局部导数数对流流导数数随体随体导数由两部分数由两部分组成，其一成，其一为局部局部变化，即化，即量在空量在空间的一个固定点上随的一个固定点上随时间的的变化，称化，称为“局部局部导数数”另一部分是量的另一部分是量的对流流变化，即化，即该量由于流体量由于流体质点的运点的运动，由一点移，由一点移动到另一点到另一点时该量所量所发生生的的变化，称化，称为“对流流导数数”。第14页，此课件共64页哦上式表明：当流体
10、上式表明：当流体质点在点在d时间内，由空内，由空间的的一点（一点（x，y，z）移）移动到另一点（到另一点（xdx，ydy，zdz）时，流体密度，流体密度对时间的的变化率。化率。连续性方程用随体性方程用随体导数形式表达数形式表达为：方程中的前三方程中的前三项是速度向量的散度是速度向量的散度现在来看第四在来看第四项的物理意的物理意义：考察随流体运考察随流体运动的一个的一个单位位质量的流体微元，量的流体微元，质量衡定，但体量衡定，但体积v和密度和密度随随时间而而变，第15页，此课件共64页哦因因为（310）两两边求随体求随体导数得：数得：（311）（312）代入方程（代入方程（39）得：）得：（31
11、3）流体微元的体流体微元的体积膨膨胀速率或形速率或形变速率速率第16页，此课件共64页哦速度向量的散度速度向量的散度实际上表述了三个上表述了三个轴线方向上方向上的的线性形性形变速率。速率。速度向量的散度速度向量的散度 等于流体运等于流体运动时体体积膨膨胀速速率。率。此概念很重要，后面要用到多次。此概念很重要，后面要用到多次。上述方程的物理意上述方程的物理意义是是：在在进行行动量、能量和量、能量和质量衡算及量衡算及对流体的流体的运运动进行分析行分析时，有两种方法。，有两种方法。一是欧拉（一是欧拉（Euler）方法：在流体运）方法：在流体运动的空的空间内固定某一位置，并且固定被研究流体的体内固定某
12、一位置，并且固定被研究流体的体积，但其，但其质量随量随时间而而变，据此，据此第17页，此课件共64页哦来分析来分析该固定位置流体状况的固定位置流体状况的变化，从而化，从而获得得整个流整个流场流体运流体运动的的规律。律。另一是拉格朗日（另一是拉格朗日（Lagrange）方法：在）方法：在流体运流体运动的空的空间内，内，选择某一固定某一固定质量的量的微元，微元，观察者追随此流体微元一起运察者追随此流体微元一起运动，并根据此运并根据此运动着的流体微元的状着的流体微元的状态变化来化来研究整个流研究整个流场流体运流体运动的的规律。此律。此时，流，流体体质量固定，位置量固定，位置变化，体化，体积也可能也可
13、能变化。化。在在总衡算或微分衡算方程的推衡算或微分衡算方程的推导过程中，程中，两种两种观点都可以采用，最点都可以采用，最终结果也都一果也都一样，只，只是不同的情况用某一种方法会是不同的情况用某一种方法会第18页，此课件共64页哦简化。而用另一种方法会繁化。而用另一种方法会繁琐罢了。了。比如：推比如：推导连续性方程性方程时采用欧拉法，采用欧拉法，而分析而分析该方程方程时又采用又采用Lagrange方法。方法。后面的微分后面的微分动量衡算和微分能量衡算方量衡算和微分能量衡算方程的推程的推导将采用将采用Lagrange法。法。连续性方程的化性方程的化简（1）稳态流流动的的连续性方程性方程由于是由于是
14、稳态流流动，密度不随，密度不随时间而而变，即，即，方程（，方程（31）可）可简化化为：第19页，此课件共64页哦（314）上式适用于可上式适用于可压缩和不可和不可压缩流体。流体。（2）不可）不可压缩流体的流体的连续性方程性方程由于此由于此时为常数，故（常数，故（31）式可）式可简化化为：（315）适用于适用于稳态和非和非稳态流流动。此式非常有用！此式非常有用！第20页，此课件共64页哦33 柱坐柱坐标系和球坐系和球坐标系中的系中的连续性方程性方程 在研究在研究圆管、管、圆筒形流道内的流筒形流道内的流动时，在相同半径上的所有各点都具有相同的速度在相同半径上的所有各点都具有相同的速度及其它物理量，
15、此及其它物理量，此时用柱坐用柱坐标系表达系表达连续性性方程最方程最为方便。同理，当流方便。同理，当流动系系统的范的范围面面为球形或其一部分球形或其一部分时，采用球坐，采用球坐标最方便。最方便。这两种坐两种坐标系中的系中的连续性方程的推性方程的推导，原，原则上与直角坐上与直角坐标系相似，并且系相似，并且还可通可通过坐坐标系系间的的对应关系由直角坐关系由直角坐标系系转换而得。而得。这里就里就不不详讲了，了，结果如下：果如下：第21页，此课件共64页哦柱坐柱坐标系上的系上的连续性方程：性方程：R径向坐径向坐标Z轴线坐坐标（316）方位角方位角时间为三个方向上的流体速度分量三个方向上的流体速度分量第2
16、2页，此课件共64页哦全全纬度度方位角方位角（316）为球坐球坐标系方向上的速度分量。系方向上的速度分量。球坐球坐标系上的系上的连续性方程：性方程：第23页，此课件共64页哦第二第二节 运运动方程方程通通过微分微分质量衡算，量衡算，导出了出了连续性方程。性方程。同同样，微分，微分动量衡算可以量衡算可以导出流体的运出流体的运动方程。两者方程。两者结合便可解决合便可解决许多流体运多流体运动问题。这两方程是三两方程是三传的基的基础方程。方程。1 运运动方程的推方程的推导流体运流体运动所遵循的牛所遵循的牛顿第二定律可表述第二定律可表述为：流体的流体的动量随量随时间的的变化率等于作用在化率等于作用在该流
17、流体上的体上的诸外力的向量和。外力的向量和。第24页，此课件共64页哦（318）采用采用Lagrange方法，方法，对于于质量衡定且以相同流量衡定且以相同流速跟随流体运速跟随流体运动的微元流体，方程（的微元流体，方程（318）可写成：可写成：（319）方程（方程（319）是向量方程，可以分）是向量方程，可以分别为x，y，z三个方向的分量加以描述，其中的三个方向的分量加以描述，其中的质量量M可用密度与体可用密度与体积的的积表示表示为：于是有：于是有：（320）第25页，此课件共64页哦分解分解为x，y，z三三轴方向上的分量方向上的分量时，分，分别为：（321a）（321b）（321c）i表示表示
18、惯性力性力为作用在上述流体微元上的作用在上述流体微元上的合力在合力在x，y，z方向上的分量。方向上的分量。第26页，此课件共64页哦合外力的每一个分量都由两合外力的每一个分量都由两类力力组成：成：（1）质量力或体量力或体积力，指作用在整个流体微力，指作用在整个流体微元上的外力，元上的外力，记为（2）机械力或表面力，指作用在流体）机械力或表面力，指作用在流体诸表表面上的外力，面上的外力，记为分分别说明如下：明如下：1 质量力量力在在传递过程中，程中，仅限于考察限于考察处于重力于重力场作用作用下的流体，所以下的流体，所以对于一个流体微元来于一个流体微元来说，在，在x方向上的方向上的质量力分量量力分
19、量 为：第27页，此课件共64页哦（322）X单位位质量流体的量流体的质量力在量力在x方向上的分量，方向上的分量，因只考因只考虑重力重力场的作用，所以的作用，所以X又指又指单位位质量流量流体所承受的重力在体所承受的重力在x方向上的分量方向上的分量 ，可写成：，可写成：式中式中为x轴方向与重力方向之方向与重力方向之间的的夹角。因角。因x方向方向为水平方向，故水平方向，故X0，同理，同理Z0，Yg则有：有：（323a）（323b）（323c）第28页，此课件共64页哦2 表面力表面力该力来自力来自该流体微元毗流体微元毗邻的外部流体，由的外部流体，由静静压力和粘性力所提供，所以又称力和粘性力所提供，
20、所以又称为机械机械力。力。对单位表面而言称位表面而言称为表面表面应力或机械力或机械应力。表面力。表面应力可分力可分为法向和切向两部分，法向和切向两部分，即法向即法向应力和剪力和剪应力。表面力。表面应力力记为。图中中标出一个流体微元出一个流体微元yz平面上三个机械平面上三个机械应力分量的力分量的作用情况，作用情况，为法向法向应力分力分量，量，和和 为切向切向应力分量，力分量，即剪即剪应力分量力分量zyx第29页，此课件共64页哦下下标的含的含义为：第一个下第一个下标x为应力分量的作用面与力分量的作用面与x轴相垂相垂直，直，第二个下第二个下标表示表示应力分量的作用力方向分力分量的作用力方向分别为x
21、轴，y轴和和z轴方向。方向。显然，两个下然，两个下标均相同均相同时，即表示法，即表示法线应力。力。法法线应力：力：拉伸方向拉伸方向为正，即向外正，即向外为正；正；压缩方向方向为负，即向内，即向内为负。第30页，此课件共64页哦xzydxdzdyX方向上作用于流方向上作用于流动的流体微元的流体微元的机械的机械应力分量力分量图考察一个流体微元在考察一个流体微元在x方向上所受到的机械方向上所受到的机械应力力情况。此微元的情况。此微元的6个表面都受到与之个表面都受到与之第31页，此课件共64页哦毗毗邻的、由外部流体而来的机械的、由外部流体而来的机械应力。每一力。每一个个应力又都可分解力又都可分解为x，
22、y，z方向上的分量。方向上的分量。图中只示出了中只示出了x方向上的方向上的应力分量。力分量。当流体微元的体当流体微元的体积缩小小为一点一点时，可以，可以想象，相想象，相对两表面上的法向两表面上的法向应力与切向力与切向应力力都相都相应地大小相等，方向相反。地大小相等，方向相反。因此，在流因此，在流场中，任何一点流体所承中，任何一点流体所承受的机械受的机械应力状力状态，仅采用采用9个机械个机械应力分力分量即可完全表达，量即可完全表达，3个法向个法向应力和力和6个剪个剪应力，每个方向两个力，每个方向两个应力分量。力分量。第32页，此课件共64页哦可以可以证明上述明上述6个剪个剪应力可以使流体微元力可
23、以使流体微元发生生旋旋转。同。同时可以可以证明它明它们彼此不是独立的，而彼此不是独立的，而是相互关是相互关联的。的。下面将下面将导出其相互关系。出其相互关系。将将图中的流体微元的中的流体微元的xy平面上一个相平面上一个相应平平面分离出来加以面分离出来加以观察，察，则环绕该平面四周上平面四周上所作用的所作用的4个剪个剪应力表示如下力表示如下图：yx0(x,y,z)第33页，此课件共64页哦图中平面的形心点中平面的形心点为0，假，假设有一根平行于有一根平行于z轴的的轴线穿穿过形心点形心点时，显然，然，这4个剪个剪应力力对于于该轴线会会产生力矩，使得流体微元生力矩，使得流体微元围绕轴线旋旋转起来。起
24、来。力矩力矩应等于流体等于流体质量、旋量、旋转半径平方以及角半径平方以及角加速度三者之加速度三者之积。应指出：只有剪指出：只有剪应力才能力才能对旋旋转轴产生力矩，生力矩，而法向而法向应力和重力的作用是通力和重力的作用是通过上述形心的，上述形心的，故其不会故其不会产生力矩（即旋生力矩（即旋转半径半径为零所致）。零所致）。令：逆令：逆时针方向旋方向旋转力力为正，反之正，反之为负，第34页，此课件共64页哦则可写出如下力矩方程：可写出如下力矩方程：简化上式得：化上式得：（324）当流体微元小到当流体微元小到趋于零于零时，则旋旋转半径半径 0因此因此上式右上式右侧趋于于0，于是可得：，于是可得：（32
25、5a）第35页，此课件共64页哦同同样的道理可得：的道理可得：（325b）（325c）这就是就是说，前述，前述9个机械个机械应力中只有力中只有6个是个是独立的。独立的。运运动微分方程的推微分方程的推导：任参照上述流体微元的受力任参照上述流体微元的受力图，首先考察，首先考察x方方向上的向上的净机械力分量机械力分量显然可用下式表示：然可用下式表示：第36页，此课件共64页哦（326）简化后：化后：（327）再考察再考察x方向上的方向上的总外力分量：它等于机械力外力分量：它等于机械力分量与重力分量之和，即：分量与重力分量之和，即：（328）将式（将式（321a）、（）、（322）和（）和（327）代
26、）代入方程（入方程（328）得：）得：第37页，此课件共64页哦（329）同理可得：同理可得：（330）（331）上式三式即上式三式即为粘性流体的运粘性流体的运动微分方程。微分方程。对运运动微分方程的分析：微分方程的分析：上述三个运上述三个运动微分方程中，只有三个已知量微分方程中，只有三个已知量X，Y，Z，而独立的未知，而独立的未知变量达量达10第38页，此课件共64页哦个之多，即：个之多，即：因此要想得到其解析解是根本不可能的。只因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通有通过适当的适当的简化、假化、假设才能在某些特殊情才能在某些特殊情况下求解。下面将通况下求解。下面将通过牛牛顿型流体型流体
27、应力与形力与形变速率之速率之间的关系的关系导出奈出奈维斯托克斯方程。斯托克斯方程。第39页，此课件共64页哦2 应力与形力与形变速率之速率之间的关系的关系一一 剪剪应力力对牛牛顿型流体，剪型流体，剪应力与剪切速率成正比，即力与剪切速率成正比，即对于一于一维流流动，且速度梯度与，且速度梯度与y轴方向相同方向相同时有：有：（332）其中其中 为x方向上的形方向上的形变速率，或称剪切速速率，或称剪切速率。率。如果将形如果将形变速率表示成平面速率表示成平面夹角角变化速率化速率的形式将更的形式将更为方便。方便。第40页，此课件共64页哦xy如如图所示：所示：对于一于一维流流动，设流体微流体微元的元的xy
28、平面原平面原为矩形，矩形，由于剪切力的作用，此矩由于剪切力的作用，此矩形必然形必然发生形生形变，经d后，后，变成了虚成了虚线所示的平行四所示的平行四边形，形，这一一变化可作如下解化可作如下解释：当粘性流体流当粘性流体流动时，由于粘性的作用，会使平，由于粘性的作用，会使平行于行于x轴的两相的两相对平面平面产生相生相对运运动，亦即在，亦即在图示的情况下，在示的情况下，在d的的时间内，相内，相对运运动使使上上层流体流体较下下层流体多走行了流体多走行了第41页，此课件共64页哦一段距离：一段距离：，与此相，与此相应，在，在xy平面上平面上的原矩形平面的的原矩形平面的夹角也角也变化了化了d（以弧度（以弧
29、度表示），表示），d的正切可表示的正切可表示为：（333）为何取何取负号，是因号，是因为当上当上层多行走一段距离多行走一段距离时，值减小了，故减小了，故d 为负值。由于由于d 很小，所以很小，所以 故上式写成故上式写成（334）代入牛代入牛顿粘性定律得：粘性定律得：第42页，此课件共64页哦（335）为角形角形变速率，可理解速率，可理解为微分微分长度度dy以以原点原点为圆心旋心旋转时的角速度。的角速度。利用利用该式分析三式分析三维流体流流体流动时的情况：的情况：粘性流体在流粘性流体在流动过程中，必然程中，必然产生体生体积形形变，由原来的方形体，由原来的方形体变成菱形微元六面体。成菱形微元六面体
30、。分析一下分析一下xy平面上所承受的剪平面上所承受的剪应力分量与形力分量与形变速率之速率之间的关系，的关系，第43页，此课件共64页哦yxyx经微分微分时间d后，后，由由 变成成 （其中（其中 和和 均均为负值），同一），同一维流流动相似，可以写相似，可以写成：成：第44页，此课件共64页哦故故（336）由于牛由于牛顿型流体的剪型流体的剪应力与形力与形变速率成正速率成正比，所以将上式代入式比，所以将上式代入式（3-35）后，便可后，便可写成：写成：同理：同理：（337a）（337b）（337c）第45页，此课件共64页哦二二 法向法向应力力由静由静压力的作用力的作用产生部分生部分流体微元承受流
31、体微元承受压缩应力力体体积形形变由粘性由粘性应力的作用力的作用产生部分生部分微元在法微元在法线方向上承受拉伸或方向上承受拉伸或压缩线性形性形变1 如果流体微元静止，或如果流体微元静止，或虽流流动，但无粘性，但无粘性应力的作用（即理想流体）力的作用（即理想流体）则流体中各流体中各处或一点或一点处各方向上的流速不会各方向上的流速不会发生生变化，此化，此时可以可以认为在数在数值上法向上法向第46页，此课件共64页哦应力的三个分量都等于力的三个分量都等于压力，即：力，即：“”表示法向表示法向应力方向与静力方向与静压力方向反。力方向反。于是可知于是可知（338）（对于理想流体或静止的于理想流体或静止的实
32、际流体成立）流体成立）2 对于流于流动的粘性流体的粘性流体流流场中各中各处流速不同，所以流速不同，所以 三者三者彼此彼此间并不相等，且它并不相等，且它们与与p的关系也更复的关系也更复杂。第47页，此课件共64页哦 代表了三个法向代表了三个法向应力的平均力的平均值，该平均平均值与静与静压力力p之之间的关系仍然在数的关系仍然在数值上上相等，即上式仍然成立。相等，即上式仍然成立。尽管如此，尽管如此，对于气体和不可于气体和不可压缩流体而言，流体而言，对于流于流动着的粘性流体，着的粘性流体，但仍可写，但仍可写成：成：（339）式中式中 为x方向上的法向粘性方向上的法向粘性应力分量。力分量。通通过变换可得
33、出如下方程：可得出如下方程：第48页，此课件共64页哦（340）（341a）（a）（b）（c）同理可得：同理可得：（341b）（a）（b）（d）（341c）（a）（c）（c）这里共出里共出现四四项：第49页，此课件共64页哦a为pb为d为c为通通过分析分分析分别求出求出这四四项对x方向上的方向上的线性形性形变速率的影响，即速率的影响，即对 的影响如下：的影响如下：（342a）（342b）（342c）（342d）第50页，此课件共64页哦则在在x方向上，由法向方向上，由法向应力分量力分量 所引起的形所引起的形变速率之和速率之和为 ，它等于，它等于（343）经代入整理并求解代入整理并求解 得：得：
34、（344a）同理得：同理得：（344b）（344c）第51页，此课件共64页哦上述三式可以看出：上述三式可以看出：法向法向应力与静力与静压力力虽有密切关有密切关联，但二者概，但二者概念明念明显不同。只有当流体静止或不同。只有当流体静止或为理想流体理想流体时，二者在数，二者在数值上相同，但方向相反。上相同，但方向相反。36 奈奈维斯托克斯方程斯托克斯方程（NavierStokes Equation）以前以前导出出过以以应力形式表示的运力形式表示的运动微分方程，微分方程，x方向的形式方向的形式为：（329）第52页，此课件共64页哦上上节分分别导出了出了 的函数表达式，将（的函数表达式，将（344
35、a），（），（337a），和（），和（337c）代入（）代入（329）的）的x方向上的完全运方向上的完全运动微分方程，微分方程，经整整理后得：理后得：（345a）同理可得，同理可得，y，z方向上的运方向上的运动微分方程：微分方程：（345b）（345c）第53页，此课件共64页哦将上述三式写成向量的形式将上述三式写成向量的形式为：（346）方程（方程（345a）（）（345c）称）称为奈奈维斯托斯托克斯方程克斯方程方程中共有五个未知数：方程中共有五个未知数：再加上再加上连续性方程和流体状性方程和流体状态方程，正好五方程，正好五个方程，五个未知数，从理个方程，五个未知数，从理论上是可以求解上是可
36、以求解的，但的，但实际的求解的求解过程极其复程极其复杂，几乎不可，几乎不可能，所以只是能，所以只是针对一些特殊情况可以将解析一些特殊情况可以将解析式求出。式求出。第54页，此课件共64页哦比如，比如，针对不可不可压缩流体流体这种特殊情况：种特殊情况：连续性方程性方程为：代入上三式得不可代入上三式得不可压缩流体的奈流体的奈维斯托克斯托克斯方程：斯方程：（347a）（347b）（347c）第55页，此课件共64页哦通常所遇到的流体流通常所遇到的流体流动情况，大多数都可按不情况，大多数都可按不可可压缩流体流流体流动处理，所以方程（理，所以方程（347）具有）具有实用意用意义。它它们为描述牛描述牛顿型
37、粘性流体运型粘性流体运动时所共同遵所共同遵循的基本循的基本规律。律。37 柱坐柱坐标系和球坐系和球坐标系中粘性流体的系中粘性流体的奈奈维斯托克斯方程斯托克斯方程（NavierStokes）与与连续性方程一性方程一样，柱坐，柱坐标系和球坐系和球坐标系内系内的奈的奈维斯托克斯方程有斯托克斯方程有时很便利：很便利：第56页，此课件共64页哦柱坐柱坐标系：系：第57页，此课件共64页哦球坐球坐标系：系：第58页，此课件共64页哦奈奈维斯托克斯方程的推斯托克斯方程的推导有两种途径：有两种途径：（1）根据分子）根据分子间力的作用，由奈力的作用，由奈维和泊松和泊松（NavierPoisson）1831年年导
38、出出（2）假定剪）假定剪应力和法向力和法向应力与形力与形变速度速度为线性关系，即上述所用的方法，由圣魏南性关系，即上述所用的方法，由圣魏南第59页，此课件共64页哦斯托克斯（斯托克斯（SaintvenantStokes）1845年年导出出由于上述假由于上述假设带有一定的随意性，所以不能有一定的随意性，所以不能肯定肯定该方程是否能描述流体的真方程是否能描述流体的真实运运动情况，情况，必必须通通过实验验证。又由于数学求解极端困又由于数学求解极端困难，所以至今仍得不，所以至今仍得不到到该方程的普遍解。方程的普遍解。但就已知的某此特殊解来看，它但就已知的某此特殊解来看，它们与与实验结果非常符合，从而人
39、果非常符合，从而人们不再不再怀疑疑该方程方程在一般工程在一般工程应用的可靠性。用的可靠性。第60页，此课件共64页哦奈奈维斯托克斯方程代表某瞬斯托克斯方程代表某瞬间、某一位置流体、某一位置流体的运的运动规律。从原律。从原则上上讲，方程既适用于，方程既适用于层流，流，又适用于湍流。又适用于湍流。可事可事实上，只能将上，只能将该方程直接用于方程直接用于层流，流，而无法直接用于湍流，因而无法直接用于湍流，因为湍流中有旋湍流中有旋涡的的产生和散逸，各种物理量呈生和散逸，各种物理量呈现高高频脉脉动，而无法弄清千而无法弄清千变万化的旋万化的旋涡及其速度及其速度变化化情况。情况。关于如何将关于如何将该方程用
40、于湍流，将在湍流部分方程用于湍流，将在湍流部分讲解。解。第61页，此课件共64页哦38 用用动力力压力表示的奈力表示的奈维斯托克斯方斯托克斯方程（程（NS方程）方程）当流体运当流体运动时，NS方程中的方程中的压力力p可理解可理解为流流动的的总压力，力，对不可不可压缩流体，流体，总压力包括：静力包括：静压力力ps 和和动压力力Pd 静静压力力ps：流体静止流体静止时所呈所呈现的的压力力动压力力pd：流体流流体流动时所呈所呈现的的压力力于是：于是：第62页，此课件共64页哦可以可以导出静出静压力梯度：力梯度：所以所以将将该式代入不可式代入不可压缩NS方程得：方程得：同理可写出：同理可写出：第63页，此课件共64页哦这就是用就是用动压力表示的力表示的NS方程。方程。适用范适用范围：用于解决不具有自由表面的流体流：用于解决不具有自由表面的流体流动问题，如封，如封闭管道内的流管道内的流动问题时较方便。方便。第64页，此课件共64页哦